线性常微分方程组

Review 常系数齐次线性ODE的特征解法x(n)n

+ a1 x

( n 1)

λ + a1λ特征根 重数

n 1

+ L + an 1 x′ + an x = 0

+ L + an 1λ + an = 0.线性无关解 λt

λ (实) λ (实)

1kλt αt

e

e ,te , , t Lαt αt αt

λt

k 1 λt

e

α ± iβ

1k

e cos β t , e sin β t e cos β t , te cos β t ,L , t e cos β t , eα t sin β t , teα t sin β t ,L , t k 1eα t sin β tk 1 α t

α ± iβ

常系数非齐次线性ODE的待定系数法

x ( n ) + a1 x ( n 1) + L + an 1 x′ + an x = f (t ) f (t ) special solution x(t )

q (t )t k eλt , q real polynomial, p (t )e , λ ∈ deg(q ) ≤ deg( p ), p real polynomial, k = multiplicity of λ as an eigenvalueλt

p (t )e , λ ∈ , p real

λt

q (t )t e , q complex, deg(q) ≤ deg( p), k = multiplicity of λt [ P (t ) cos β t + Q (t ) sin β t ]e , k = multiplicity of λ = α + iβ , P, Q real, deg( P ) ≤ deg( p ), deg(Q ) = deg( p ),k

k λt

p (t )e cos β t αt or p (t )e sin β t p (t ), α , β real

αt

αt

§6.线性常微分方程组1.解的叠加原理及存在唯一性定理 a11 (t ) a12 (t ) L a1n (t ) a21 (t ) a22 (t ) L a2 n (t ) 可简 矩阵函数A(t ) = M M M M a (t ) a (t ) L a (t ) mn m2 m1 记为A(t ) = aij (t )

)m×n .分别定义其导数和积分为 dA(t ) ′ , A′(t ) ( aij (t ) ) m×n dtt

(

t a ( s )ds . ∫t0 A(s)ds = ∫t0 ij m×n

利用上面的记号,一阶非齐次线性常微分方程组 ′ x1 (t ) = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 + L + a1n (t ) xn + f1 (t ) ′ x2 (t ) = a21 (t ) x1 + a22 (t ) x2 + L + a2n (t ) xn + f 2 (t ) M xn (t ) = a (t ) x + a (t ) x + L + ann (t ) xn + f n (t ) n1 1 n2 2 ′可以记作

其中x(t ) = ( x1 (t ), x2 (t ),L , xn (t ))T , A(t ) = ( aij (t ) )n×n ,

x′(t ) = A(t ) x(t ) + f (t ),T

(1)

f (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t ),L , f n (t )) .

若f (t ) = 0, 则得到齐次线性方程组 x′(t ) = A(t ) x(t ).

(2)

Thm. (I)若 (t ),ψ (t )为齐次线性方程组(2)的解,则

α (t ) + βψ (t )也为(2)的解,其中α , β 为任意常数.(II)若 (t )为非齐次线性方程组(1)的特解,则(1)的 任意一个解x(t )可以表示为 x(t ) = (t ) +ψ (t ), 其中ψ (t )为(2)的一个解. Thm. 设矩阵函数A(t )和向量值函数f (t )在区间I 上 连续, t0 ∈ I .则 ξ = (ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n ) ∈ , 初值问题T

n

x′(t ) = A(t ) x + f (t ), x(t0 ) = ξ 在区间I 上存在唯一解.

2.线性方程组解的结构 由解的叠加原理, 齐次线性方程组(2)的解集合是一 个线性空间.我们需要知道这个解空间的维数,并求出 一组基.为此,需要引入向量值函数线性无关的概念.Def. 称向量值函数 1 (t ) = ( 11 (t ), 21 (t ),L , n1 (t ))T , 2 (t ) = ( 12 (t ), 22 (t ),L , n 2 (t ))T , M n (t ) = ( 1n (t ), 2 n (t ),L , nn (t ))T ,

在区间I

上线性相关, 若存在不全为零的常数 c1, c2 ,L, cn , 使得 t ∈ I , c (t ) + c (t ) + L + c (t ) ≡ 0.1 1 2 2 n n

否则, 称 1, 2 ,L , n在I 上线性无关.

Def.设区间I 上有向量值函数

k (t ) = ( 1k (t ), 2 k (t ),L , nk (t ))T , ( k = 1, 2,L , n.)称以这些向量值函数为列的行列式 11 (t ) 12 (t ) L 1n (t ) 21 (t ) 22 (t ) L 2 n (t ) det M M M M (t ) (t ) L (t ) nn n2 n1 为向量值函数 1 , 2 ,L , n的Wronsky行列式,记作 W (t ) = W [ 1 , 2 ,L , n ](t ).

Thm. 若向量值函数 1 (t ), 2 (t ),L , n (t )在区间I 上线性 相关, 则Wronsky行列式W [ 1, 2 ,L , n ](t ) ≡ 0, t ∈ I .

Proof: 1 , 2 ,L , n在I 上线性相关,则存在不全为零的 常数c1 , c2 ,L , cn , s.t. t ∈ I , c1 1 (t ) + c2 2 (t ) + L + cn n (t ) ≡ 0. 于是, t ∈ I , c1 , c2 ,L , cn是下面线性方程组的非零解. c1 11 (t ) + c2 12 (t ) + L + cn 1n (t ) = 0 c1 21 (t ) + c2 22 (t ) + L + cn 2 n (t ) = 0 M c (t ) + c (t ) + L + cn nn (t ) = 0 2 n2 1 n1 故方程组的系数矩阵W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) ≡ 0, t ∈ I .

Thm. 设齐次线性方程组(2)有n个解

k (t ) = ( 1k (t ), 2 k (t ),L , nk (t ))T , (k = 1, 2,L , n.)则以下条件等价: I) 1 , 2 ,L , n在区间I 上线性相关. II) W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) ≡ 0, t ∈ I . III)存在t0 ∈ I , 使得W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) = 0. Proof: (I) (II)即上一定理, (III)显然. 只要证 (II) (III) (I).设存在t0 ∈ I , 使得 W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) = 0. 则方程组

c1 11 (t0 ) + c2 12 (t0 ) + L + cn 1n (t0 ) = 0 c1 21 (t0 ) + c2 22 (t0 ) + L + cn 2 n (t0 ) = 0 M c (t ) + c (t ) + L + cn nn (t ) = 0 2 n2 0 0 1 n1 0有非零解. 即存在不全为0的c1, c2 ,L , cn , 使得 c1 1 (t0 ) + c2 2 (t0 ) + L + cn n (t0 ) = 0. 令 x(t ) = c1 1 (t ) + c2 2 (t ) + L + cn n (t ), 由解的叠加原理, x(t )为齐次方程组(2)的解, 且满足初 值条件x(t0 ) = 0. 由解的存在唯一性定理,x(t ) ≡ 0,即 c1 1 (t ) + c2 2 (t ) + L + cn n (t ) ≡ 0(t ∈ I ).

Remark: 设 1 , 2 ,L , n ∈ C ( I )为n次齐次线性常n

微分方程组的n个解, t0 ∈ I .则 (1) W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) = 0 W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) = 0, t ∈ I . 1 , 2 ,L , n在I 上线性相关. (2) W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) ≠ 0 W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) ≠ 0, t ∈ I . 1 , 2 ,L , n在I 上线性无关.

至此, 不难得出(2)的解空间的结构.

Thm. A(t )为区间I 上连续的n × n矩阵函数,则1阶齐次线 性常微分方程组 x′(t ) = A(t ) x(t ), 的解集合是一个n维线性空间. Proof: 我们要找出(2)的n个线性无关的解, 并证明(2)的 任意一个解都可以由这n个解线性表出. dx 设 k (t )是初

值问题 = A(t ) x, x(t0 ) = ek的唯一解.其 dt n 中ek 为 中列向量,第k 个分量为1,其它分量都为0.则 W [ 1, 2 ,L, n ](t0 ) = 1. 由上一定理, 1, 2 ,L, n在区间I 上线性无关. t∈I (2)

其次, 设x(t ) = ( x1 (t ), x2 (t ),L , xn (t ))是齐次方程组 (2)的一个解.令 y (t ) = x1 (t0 ) 1 (t ) + x2 (t0 ) 2 (t ) + L + xn (t0 ) n (t ), 则y (t )是方程组(2)的解,且满足初值条件 y (t0 ) = ( x1 (t0 ), x2 (t0 ),L , xn (t0 )). 由解的存在唯一性定理, x(t ) = y (t ) = x1 (t0 ) 1 (t ) + x2 (t0 ) 2 (t ) + L + xn (t0 ) n (t ), 即x(t )可以由 1, 2 ,L , n线性表出.

Def.齐次线性常微分方程组(2)的n个线性无关解

k (t ) = ( 1k (t ), 2k (t ),L, nk (t ))T , (k = 1, 2,L, n.)称为(2)的一个基本解组. 称矩阵 11 (t ) 12 (t ) L 1n (t ) 21 (t ) 22 (t ) L 2n (t ) Φ(t ) = M M M M (t ) (t ) L (t ) nn n2 n1 为齐次方程组(2)的一个基本解矩阵.Remark:已知(2)的一个基本解矩阵Φ(t ), 则(2)的通解 可以表示为x(t ) = Φ(t )c.其中c ∈ n为常向量.

et tet et + tet tet 例:Φ(t ) = 和Ψ (t ) = 都是方程组 t t t e 0 e e dx 1 1 = x的基本解矩阵. 事实上, dt 0 1 d et et 1 1 et d tet tet + et 1 1 tet = = , t = t = t , dt 0 0 0 1 0 dt e e 0 1 e 即Φ(t )的列向量都是方程组的解而Ψ (t )的列向量都是 . Φ(t )的列向量的线性组合,因而也都是的解.又 det Φ(0) = 1 ≠ 0, det Ψ (0) = 1 ≠ 0, 故Φ(t )和Ψ (t )的列向量都构成基本解组, 而Φ(t )和Ψ (t ) 都是基本解矩阵.

Remark: 齐次方程组 x′(t ) = A(t ) x(t )

(2)

的基本解组和基本解矩阵都不唯一. 这是因为基本解 组实际上是(2)的解空间的一组基, 而线性空间有不同 的基.事实上, 设Φ(t )是(2)的一个基本解矩阵, T 为任意 (2) 一个n × n可逆矩阵, 则Φ(t )T 也是(2)的一个基本解矩阵. 反之,任给(2)的两个基本解矩阵Φ(t ), Ψ (t ), 必存在可 逆矩阵(T由Φ, Ψ唯一确定)s.t , Ψ (t ) = Φ(t )T . T ,

3.常数变易法设Φ(t )为(2)的基本解矩阵,则(2)的通解为x(t ) = Φ(t )c, 其中c为 中任意常向量.常数变易法是这样一种方法: 假设(1)的通解为 x(t ) = Φ(t )u (t ), 其中u (t )为n维向量值函数,待定.再将该通解表达式代入 方程组 x′(t ) = A(t ) x(t ) + f (t ), 进而确定u (t ), 从而得到(1)的通解. (1)n

利用常数变易法可得 Φ′(t )u (t ) + Φ(t )u′(t ) = A(t )Φ(t )u (t ) + f (t ). 注意到Φ(t )是(2)的基本解矩阵,即Φ′(t ) = A(t )Φ(t ), 有 Φ(t )u′(t ) = f (t ), 即 u′(t ) = Φ 1 (t ) f (t ), u (t ) = c + ∫ Φ 1 (

s) f ( s)ds,t0 t

(3)

其中Φ 1 (t )是Φ(t )的逆矩阵.于是,

其中c ∈ n为任意常向量.于是有下面的定理:

Thm.设Φ(t )是齐次方程组(2)的一个基本解矩阵,则非 齐次方程组(1)的通解为 x(t ) = Φ(t )c + Φ(t ) ∫ Φ 1 ( s) f ( s)ds,t0 t

其中c ∈ n为任意常向量. 且(1)的满足初值条件x(t0 ) = ξ ∈ n的解为 x(t ) = Φ(t )Φ (t0 )ξ + Φ(t ) ∫ Φ 1 ( s) f ( s)ds. t0 1 t

1 1 e t dx 例 : 求解初值问题 = x + , x(0) = ( 1,1)T . dt 0 1 0 et tet dx 1 1 解 : 前面的例子已验证Φ(t ) = 是 = x t 0 e dt 0 1 的一个基本解矩阵.由常数变易法得初值问题的解 x(t ) = Φ(t )Φ (0)ξ + Φ(t ) ∫ Φ 1 ( s) f ( s)ds0 1 t

et = 0

1 et te + t e 1 0t

et + tet et = + t e 0

t s 1 s e s te e ds t ∫0 e 0 1 0 tet t e 2 s t t t t ds = ( te (e +e ) 2, e ) . t ∫0 e 0 t

4. 以方程组的观点看n阶线性ODE 记y1 = x, y2 = x′,L , yn = x( n 1) , 则n阶线性方程x + a1 (t ) x + L + an 1 (t ) x′ + an (t ) x = 0 x( n) + a1 (t ) x( n 1) + L + an 1 (t ) x′ + an (t ) x = f (t ) 可以化为 y′ = A(t ) y y′ = A(t ) y + g (t ).(n) ( n 1)

(4) (5)

(6) (7)

1 0 L 0 0 0 1 L 0 0 M M O M , 其中 A(t ) = M 0 0 L 1 0 a (t ) a (t ) a (t ) L a (t ) n 1 n 2 1 n T T y = ( y1, y2 ,L , yn ) , g (t ) = (0, 0,L 0, f (t )) .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j8f1.html