数学系毕业论文 - 图文

本科生毕业论文设计

题目 函数的极限与连续

作者姓名 程雅 指导教师 谢永红 所在学院 数学与信息科学学院 专业（系） 数学与应用数学 班级（届） 07级c班

完成日期 2011 年 4 月 25 日

河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述

数学分析与初等代数的根本区别在于引入了极限运算（微分与积分的实质也是极限运算），数学分析中几乎所有的内容都离不开极限，极限理论是数学分析的基础，数学分析主要研究微分和积分，而极限又是微积分学大厦的基石，可以说没有充分的极限理论，就不可能有今天数学蓬勃发展的局面。如今数学分析已经成为一门重要的数学分支，对整个数学的面貌的改变起到了不可磨灭的贡献。微积分作为一种重要的数学工具，已经渗透到科学的各个领域。作为微积分基石的极限理论也随着科学技术的发展而发展，极限理论为整个科学提供了一个强大工具。因此极限的内容以及求极限的方法尤为重要，有必要对极限理论中的基础知识以及求极限的方法进行研究和总结。连续函数是数学分析着重讨论的一类函数，连续以及一致连续的问题也是数学分析中要着重理解的问题，因此本文也研究了连续函数的性质以及一致连续函数的判定方法。本文介绍了求函数极限的一些常用的方法：定义法，用定义法关键是找到?(?)，通常找?(?)的方法有求最大的?；适当放大法和分步法。另外求函数极限除了根据定义以外，柯西收敛准则也是一种很好的方法，不需要知道函数的极限，即可判断函数极限的收敛性或发散性。有些函数的极限还可以根据函数的性质来求．常用的判别方法有迫敛性和四则运算法。另外，本文还提供了求函数极限的归结原则、洛必达法则、等价无穷小替换、对数法、变量替换等方法，并研究了关于函数连续以及一致连续的判别方法，便于读者对函数一致连续的深刻理解，并为以后的学习奠定了基础． 为了写好文章我着重查阅参考了以下文献:高等教育出版社出版、华东师范大学数学系编写的《数学分析》上册第三版,此书在求函数极限方法上，重点介绍了定义法、归结原则、洛必达法则、等价无穷小替换、重要极限等方法．另外，本书还详细阐述了函数极限以及一致连续函数的性质．黄永辉编写的《数学分析选讲》详细阐述了求函数极限的若干方法并给出了详细的证明。钱吉林编写的《数学分析题解精粹》此书在函数极限的概念、性质、求法以及函数连续与一致连续的知识上对问题进行总结、分析、归纳、举例,在提升知识,解析疑难的基础上用大量的例题为读者诠释概念、演绎技巧、举证方法,使读者通过例题边分析、边联系、边讨论、边总结,从而更好的融会知识,理解概念,熟悉技巧和掌握方法,将书本上的抽象理论真正化为自己的切实有用的知识. 汪文瑞，李本庆写的“一

致连续的判定”一文，对一致连续的相关问题进行了分类汇总，提供了解决相关问题的基本方法和解题思路，便于我们对一致连续问题的深刻理解。

河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章

出自《数学分析原理》（第三版） （美）Walter Rudin著 北京：机械工业出版社，2004.1. 函数的极限 4.1 定义 令X和Y是度量空间，假设E?X，f将E映入Y内，且p是E的极限点。凡是我们写当x?p时f(x)?q,或 limf(x)?q （1） x?p的时候，就是存在一个点q?Y具有以下的性质：对于每个?>0，存在着?>0，使得 dY(f(x),q)?? （2） 对于满足 0?dx(x,p)?? （3） 的一切点x?E成立。 记号dX和dY分别表示X和Y中的距离。 如果X和（或）Y换成直线，复平面或某一欧式空间Rk，那么，距离dX和dY自然该换成绝对值或相应的范数。 应当注意p?X，但是上面的定义中，并不一定要求p是E的点。此外，即使p?E,也完全可能f(p)≠limf(x). x?p 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为： 4.2 定理 令X,Y,E,f和p是定义4.1说的那些，那么 limf(x)?q （4） x?p当且仅当 limf(pn)?q （5） n??对于E中合于 pn?p，limpn?p （6） n??的每个序列?pn?成立。

证：假定（4）成立，取E中满足（6）的?pn?，给定了??0，那么就有??0，使得当x?E且0?dX(x,p)??时，dY(f(x),q)??。同样又有N使得当n>N时，0?dX(pn,p)??。这样，对于n>N，我们有dY(f(pn),q)??。这就证明了（5）成立。 反过来 ，假定（4）不成立，这时便有某个??0，使得对于每个??0，都有点x?E（依赖于?），对这个x来说，dY(f(x),q)??但0?dX(x,p)??。取1，（n=1,2,3…）我们就在E中找到一个满足（6），但使（5）式不成立的n序列。 推论 如果f在p有极限，那么这极限是唯一的。 4.3 定义 设有定义在E上的两个复函数f和g，我们用f+g表示一个函数，它给E的每个点x配置的数是f(x)+g(x)。我们用类似的方法定义两个函数的差f-g，?n?积fg及商f/g,约定商只定义在E的那些使g(x)≠0的点x上。如果f给E的每点或者简单地叫做一个常数，并记x配置同一个数c,那么f就叫做一个常数函数，作f=c.设f和g都是实函数，如果对于每个x?E来说f(x)?g(x),那么有时为了方便，就记作f?g. 类似地，如果f和g把E映入Rk内，便用 (f+g)(x)=f(x)+g(x),(f·g)(x)=f(x)·g(x) 来定义f+g及fg;再若?是实数，便定义(?f)(x)??f(x). 4.4 定理 假设E?X，X是度量空间，p是E的极限点，f与g是E上的复函数，而且 limf(x)?A,limg(x)?B x?px?p那么 (a)lim(f?g)(x)?A?B, x?p (b)lim(fg)(x)?AB, x?p (c)lim(f/g)(x)?A/B,假定B≠0. x?p连续函数 4.5 定义 设X和Y是度量空间，E?X，p?E,并且f将E映入Y内，如果对于每一个??0，总存在??0，对于一切满足dX(x,p)??的点x?E来说， dY(f(x),f(p))??

就说f在p点连续. 如果f在E的每一点都连续，就说f在E上连续。 应该注意，要使f在点p连续，f必须在点p有定义.(这一点请与定义4.1后面的说明对比一下) 如果p是E的一个孤立点，那么由我们的定义推知，每一个以E为定义域的函数都在点p连续。因为不管取的哪个??0，总可以选一个??0，使得满足dX(x,p)??的点x?E只有x=p;于是dY(f(x),f(p))?0??. 4.6 定理 在定义4.5里所假定的情况下，再假定p是E的极限点。那么，f在点p连续当且仅当 limf(x)?f(p) x?p 4.7定理 设X,Y,Z是度量空间，E?X，f将E映入Y内，g将f的值域f(E)映入Z内，而h是由 h(x)?g(f(x)) （x?E） 定义的E到Z内的映射。如果f在点p?E连续，并且g在点f(p)连续，那么h在点p连续。 这个函数h叫做f与g的复合函数或f和g合成。记号 h?g?f 在本书中经常用。 证明： 设??0已经给定。因为g在f(p)连续，便有??0使得当dY(y,f(p))??和y?f(E)有dZ(g(y),g(f(p)))??。又因为f在p点连续，那么存在着??0，使得当dX(x,p)??和x?E有dY(f(x),f(p))??。由此知道：当所以h在点p连dX(x,p)??和x?E有dZ(h(x),h(p))?dZ(g(f(x)),g(f(p)))??。续。 间断 如果x是函数f的定义域中的一点，而在这点f不连续，那么我们说f在x间断。如果f定义在一个闭区间或定义在一个开区间上，那么习惯上把间断分为两类。在讲这分类之前，我们必须定义f在x的右极限和左极限，对此，分别用

f(x?)和f(x?)表示它们。 4.25 定义 设f定义在?a,b?上，考虑任一点x，a?x?b。如果对于(x,b)中一切满足tn?x的序列?tn?来说，f(tn)?q（当n??），那么我们就写成 f(x?)?q. 为了对于a?x?b，得到f(x?)的定义，我们就把序列?tn?限制在?a,x?之内。 显然，在?a,b?的任一点x，limf(t)存在，当且仅当 t?x f(x?)?f(x?)?limf(t). t?x4.26 定义 设f定义在?a,b?上，如果f在一点间断，并且如果f(x?)和f(x?)都存在，就说f在x发生了第一类间断，或简单间断。其他的间断称为第二类间断。 函数发生简单间断的方式有两种：f(x?)?f(x?)，（在这种情况下数值f(x)无关紧要）或f(x?)?f(x?)?f(x)。 4.27 例 （a）定义 ?1 （当x是有理数）, f(x)?? ?0 （当x是无理数）.这时f在每个点x发生一次第二类间断，因为f(x?)和f(x?)都不存在。 （b）定义 ?x (当x是有理数) f(x)?? ?0 (当x是无理数).这时f在x?0连续，而在每个其他的点发生第二类间断。 （c）定义 ? x?2 (?3?x??2),? f(x)???x?2 (?2?x?0), ?x?2 (0?x?1).?这时f在x?0发生一次简单间断，而在??3,1?的其他每个点连续。 (d)定义

?1?sin (x?0), f(x)??x ??0 (x?0).因为f(0?)和f(0?)都不存在，所以f在x?0发生一次第二类间断。我们尚未证明sinx是连续函数。如果我们暂时承认这个结果，那么定理4.7就说明f在每个点x?0连续。

英文原版 LIMITS OF FUNCTIONS 4.1 Definition Let X and Y be metric spaces;suppose E?X,f maps E into Y,and p is a limit of E.We write f(x)?q as x?p,or (1) limf(x)?q x?p if there is a point q?Y with the following property: For every ??0 there exists a ??0 such that (2) dY(f(x),q)?? For all points x?E for which (3) 0?dX(x,p)??. The symbols dX and dY refer to the distances in Xand Y,respectively. If X and/or Yare replaced by the real line,the complex plane, or by some euclidean space Rk,the distance dX,dY are of course replaced by absolute values, or by norms of differences. It should be noted that p?X, but that p need not be a point of E in the above definition. Moreover, even if p?E,we may very well have f(p)?limf(x). x?p We can recast this definition in terms of limits of sequences: 4.2 Theorem Let X,Y,E,fand pbe as in Definition 4.1. Then (4) limf(x)?q x?pIf and only if (5) limf(pn)?q n??For every sequence ?pn?in E such that (6) pn?p，limpn?p. n?? Proof Suppose (4) holds. Choose ?pn?in E satisfying (6). Let ??0be given.Then there exists ??0such that dY(f(x),q)?? if x?Eand 0?dX(x,p)??. Also, there exists N such that n?N implies

0?dX(pn,p)??. Thus, for n?N,we have dY(f(pn),q)??, which shows that (5) holds. Conversely, suppose (4) is false. Then there exists some ??0 such that for every ??0there exists a pointx?E(depending on ?),for which 1（n=1,2,3…）, we thus dY(f(x),q)?? but 0?dX(x,p)??.Taking ?n?，nfind a sequence in E satisfying (6) for which (5) is false. Corollary Iffhas a limit atp, this limit is unique. 4.3 Definition Suppose we have two complex functions, fandg,both defined on E.Byf?gwe mean the function which assigns to each point x of E the numberf(x)?g(x).Similarly we define the difference f?g,the product fg,and the quotient f/gof the two functions,with the understanding that the quotient is defined only at those points x of E at which g(x)?0. If f assigns to each point x of E the same number c, then f is said to be a constant function, or simply a constant, and we write f?c. If fand gare real functions, and if f(x)?g(x) for every x?E, we shall sometimes write f?g, for brevity. Similarly, if f and g map E into Rk, we define f?g and f?g by (f?g)(x)?f(x)?g(x), (f?g)(x)?f(x)?g(x); and if ? is a real number, (?f)(x)??f(x). 4.4 Theorem Suppose E?X, a metric space, pis a limit point of E, f and g are complex functions on E, and limf(x)?A,limg(x)?B. x?px?p Then (a) lim(f?g)(x)?A?B; x?p (b) lim(fg)(x)?AB; x?p

fA (c)lim()(x)?,if B?0. x?pgB CONTINUOUS FUNCTIONS 4.5 Definition Suppose Xand Y are metric spaces, E?X,p?E, and f maps E into Y.Then f is said to be continuous at p if for every ??0there exists a ??0 such that dY(f(x),f(p))?? for all points x?E for which dX(x,p)??. If f is continuous at every point of E, then f is said to be constinuous on E. It shoule be noted that f has to be defined at the point p in order to be constinuous at p.(Compare this with the remark following Definition 4.1.) If p is an isolated point of E, then our definition implies that every function f which has E as its domain of definition is continuous at p. For, no matter which ??0we choose, we can pick??0so that the only point x?Efor which dX(x,p)??is x?p; then dY(f(x),f(p))?0??. 4.6 Theotem In the situation given in Definition 4.5, assume also that pis a limit point of E. Then f is continuous at p if and only if limf(x)?f(p). x?p4.7 Theorem Suppose X,Y,Z are metric spaces, E?X, f maps E into Y , g maps the range of f,f(E),into Z,and h is the mapping of E into Zdefined by h(x)?g(f(x)) (x?E) If f is continuous at a point p?E and if g is continuous at the point

f(p), then h is continuous at p. This function h is called the composition or the composite of f and g. The notation h?g?f is frequently used in this context. Proof Let ??0 be given. Since g is continuous at f(p), there exists ??0 such that dZ(g(y),g(f(p)))?? if dY(y,f(p))??and y?f(E) Since f is continuous at p, there exists ??0such that dY(f(x),f(p))?? if dX(x,p)??and x?E It follows that dZ(h(x),h(p))?dZ(g(f(x)),g(f(p)))?? if dX(x,p)?? and x?E.Thus h is continuous at p. DISCONTINUITIES If x is a point in the domain of definition of the function f at which f is not continuous, we say that f is discontinuous at x,or that f has a discontinuity at x.If fis defined on an interal or on a segment, it is customary to divide discontinuities into two types. Before giving this classification, we have to define the right-hand and the left-hand limits of f at x, which we denote by f(x?) and f(x?), respectively. 4.25 Definition Let f be difined on ?a,b?.Consider any point x such that a?x?b.We write f(x?)=q if f(tn)?q as n??, for all sequences ?tn? in ?x,b?such that tn?x. To obtain the definition of f(x?),for a?x?b,we restrict ourselves to sequences

?tn? in ?a,x?. It is clear that any point x of ?a,b?,limf(t) exists if and only if t?x f(x?)?f(x?)?limf(t). t?x4.26 Definition Let f be defined on ?a,b?.If f is discontinuous at a point x,and if f(x?) and f(x?) exist,then f is said to have a discontinuity of the first kind,or a simple discontinuity,at x.Otherwise the discontinuity is said to be of the second kind. There are two ways in which a function can have a simple discontinuity:either f(x?)?f(x?)?in which case the value f(x) is immaterial? Or f(x?)?f(x?)?f(x). 4.27 Examples (a) Define ?1 (x rational ), f(x)?? 0 (x irrational).? Then f has a discontinuity of the second kind at every point x,since neither f(x?) nor f(x?) exists. (b) Define ?x (x rational), f(x)?? 0 (x irrational).? Then f is continuous at x?0 and has a discontinuity of the second kind at every other point. (c) Define ?x?2 (?3?x??2),? f(x)???x?2 ( ?2?x?0 ), ?x?2 ( 0?x?1 ).? Then f has a simple discontinuity at x?0 and is continuous at every other point of ??3,1?. (d) Define

?1?sin (x?0), f(x)??x??0 (x?0). Since neither f(0?) nor f(0?) exists, f has a discontinuity of the second kind at x?0.We have not yet shown that sinx is a continuous function.If we assume this result for the moment,Theorem 4.7 implies that f is continuous at every point x?0.

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题目 函数的极限与连续

作者姓名 程雅 指导教师 谢永红 所在学院 数学与信息科学学院 专业（系） 数学与应用数学 班级（届） 07级c班

完成日期 2011 年 4 月 25 日

目录

中文摘要、关键词???????????????（Ⅱ） 1、绪论 ????????????????? （1） 2、函数的极限 ??????????????? （1） 2.1函数极限的概念及性质 ???????????（1） 2.2求函数极限的方法总结 ???????????（3） 3、函数的连续与一致连续????????????（15） 3.1函数的连续及其性质 ????????????（15） 3.2 一致连续的判定方法????????????（22） 参考文献???????????????????（26） 英文摘要、关键词???????????????（27）

函数的极限与连续

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

指导教师 谢永红

作 者 程雅

摘要：论文分为两大部分，第一大部分主要介绍一元函数极限的有关知识，包

括函数极限的概念、性质、存在条件并详细总结了函数极限的求法有：（1）?─?定义法；（2）两边夹求极限；（3）归结原则；（4）柯西收敛准则；（5）四则运算法；（6）初等方法；（7）洛必达法则；（8）等价无穷小替换；（9）自然对数法；（10）级数法；（11）积分中值定理；（12）变量替换；（13）因式分解；（14）放缩法共14种方法。第二大部分介绍了一元函数连续性的有关知识，包括函数连续的定义，连续函数的局部性质、整体性质，以及一致连续的定义及证明方法并通过例题体现。

关键词 极限，洛必达法则，柯西收敛，连续，一致连续

1、绪论：极限理论是学习高等数学和数学分析的基础，目前数学分析领域极限

的求法已经研究的比较透彻，论文主要是将前人研究的结论和成果进行总结，使人们对于极限的求法更容易操作，遇到相关问题更容易去解决。在论文中首先介绍极限理论中的基本概念及性质，然后用较多的篇幅来介绍各种类型的函数极限的相应求解方法。连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数，论文中从连续函数的定义、性质、间断点的类型做了比较系统的概述，通过例题具体应用了连续函数的性质来解决问题，最后具体讲解了一致连续函数的判定方法。

2、函数的极限

2.1函数极限的概念及性质

2.1.1概念：

函数极限定义的六种形式：

（1）limf(x)?A????0,???0,当0??x?x0???时，有?f(x)?A???；

x?x0（2）lim?f(x)?A????0,???0,当0?x?x0??时，有?f(x)?A???；

x?x0（3）lim?f(x)?A????0,???0,当???x?x0?0时，有?f(x)?A???；

x?x0（4）limf(x)?A????0,?M?0，当│x│>M时，有?f(x)?A???；

x??（5）limf(x)?A????0,?M?0，当x>M时，有?f(x)?A???；

x???（6）limf(x)?A????0,?M?0，当x<-M时，有?f(x)?A???。

x??? 函数在某过程中以零为极限，则称为在该过程下的无穷小量，理解无穷小量阶的比较的定义及其意义，掌握等价无穷小量在极限计算中的应用。 例如 当x?0时，有x ～sinx～ tanx ～arctanx～ arcsinx～

x2ln(1+x)～ e-1 1-cosx ～

2x当极限为无穷时，定义为：

（7）limf(x)????G?0,?M?0，当│x│>M时，有│f(x)│>G.

x??（8）limf(x)?????G?0,?M?0，当│x│>M时，有f(x)>G.

x??（9）limf(x)?????G?0,?M?0，当│x│>M时，有f(x)<-G.

x??注意：仅以x?x0为例，对函数极限定义（1）中的?和?的特性进行讨

论：

① 该定义称为函数极限?─?定义（精确化定义），相当于数列极限的?─N 定义； ② 0<│x-x0│< ? , 要求x?x0 （x趋于x0）但x≠x0 ，这一点非常重要；

③ 函数极限定义中的?与数列极限定义中的?一样，具有两重性，即任意性和相对固定性，?是用来控制精度的。另外，若?为任意正数，

?则 ， ?2，? 等均为任意正数，均可扮演? 的角色，也即?的第

2三个特性─多值性； ④ 一般来说?是用来控制自变量x的，它表示x与x0的接近程度，相当于数列极限?─N 定义中的N，它的第一个特性是相应性，即对给定的?> 0，都（至少）有一个?与之相对应，?依赖于?，但不是由?所唯一确定的，

所以?是依赖于?而适当选取的，为此常记为?（x0；?） ；一般说来，?越小，?也相应的要小一些，而且?可以取得更小些，但是定义中是要求由 0<│x-x0 │

??，等等比?还小的正数均可满足要求，由此?不是唯23一的。这就是?的第二个特性─多值性。 此要求，则

⑤ 函数极限的等价定义：任给 ?>0 ，存在正数?，使对一切x?U0 (x0 ;

?) 有f (x)?U (A;?) ；

?正数?，?x'满足 0<│x'-x0 ⑥ 函数 f(x) 不以A为极限定义：??0>0 ，

│

2.1.2函数极限的性质; ① 唯一性：若极限存在，则必是唯一的；

② 局部有界性：若极限存在，则存在x0的某去心邻域，使得 f(x)在其内有界；

③ 局部保号性：若limf(x)=A>0(或<0)，则对于任何正数r

x?x0存在U0(x0)，使得对一切x?U0(x0)有f(x)>r>0(或f(x)<-r<0); ④ 保不等式性：设limf(x)与limg(x)都存在，且在某邻域U0(x0;?')内

x?x0x?x0有f(x)?g(x),则limf(x)?limg(x)；

x?x0x?x0

⑤ 迫敛性：设limf(x)=limg(x)=A,且在某U0(x0;?')内有

x?x0x?x0f(x)?h(?x),(则gxlimh(x)=A；

x?x0x?x0x?x0⑥ 极限四则运算法则：若极限limf(x)与limg(x)都存在，则函数f(x)±g(x), f(x)·g(x) ,当x?x0时极限也存在,且(1)

x?x0lim?f(x)?g(x)?x?x0x?x0=

x?x0x?x0limf(x)?limg(x)x?x0x?x0；

(2)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)；又若limg(x)≠0，则f/g当

x?x0时极限存在，且有(3)limx?x0f(x)?limf(x)/limg(x)；

x?x0g(x)x?x0⑦ 复合函数的极限

sinx1?1；lim(1?)x=e；

x?0x??xx1.1.3函数极限存在的条件：

（1） 左极限=右极限；

（2） 归结原则（海涅定理）； （3） 柯西收敛准则； （4） 单调有界定理；

⑧ 两个重要极限：lim2.2 、求函数极限的方法总结

概述求函数极限的基本方法：

2.2.1按???定义证明（验证）极限：

条件:已知极限值

关键：寻找?(?) 使用方法

（1） 求最大的?；由不等式︳f(x)-A︳

求解过程较复杂，可先将︳f(x)-A︳化简，适当放大，成为关于

于是要使?x?x0?的简单函数g(?x?x0?)即︳f(x)-A︳?g(?x?x0?)，︳f(x)-A︳

（3） 分步法：尤其是函数极限，若不对x进行限制，便无法化简和放

大，为此先限定x的取值范围，然后按（2）方法求得?(?)即可。

例1.（用第（1）种方法）

cosxsinx =limx?0x2sinx?xcosx=lim 2x?0xsinxsinx?xcosx=lim x?0x3cosx?cosx?xsinx=lim x?03x2xsinx=lim x?03x21= 31?xexsinx?x(1?x)例18.求lim

x?0x3exsinx?x(1?x)解： lim

x?0x3exsinx?excosx?1?x?x =lim 2x?03xex(sinx?cosx)?1?2x =lim x?03x2ex(sinx?cosx)?ex(cosx?sinx)?2 =lim x?06x2excosx?2 =lim x?06x2excosx?2ex(?sinx) =lim x?061 = 32.2.8用等价无穷小替换求极限。

要点: 在求函数极限时常用以下等价无穷小进行等价替换：sinx ～

x,tanx～x,arcsinx～x,ex?1～x,ln(1?x)～x,1?cosx～

x2x,ax?1?xlna,n1?x?1～,(1?x)n?1～nx (x? 0)

n2

1?x2?1例19．求极限lim

x?01?cosx1?x2?1解：lim

x?01?cosxx2 =lim22

x?0x2 =1

38?f(x)?2f(x)例20.设lim=?，（?为常数），求lim。

x?0x?0xx解： limx?038?f(x)?2

x38(1?=limx?0f(x))?28 x?f(x)?32?1??1?8? =lim?x?0xf(x)2??8)3 =limx?0x?= 12例21.求limarctanx

x?0ln(1?sinx)解：lim =limarctanx

x?0ln(1?sinx)x

x?0sinxx =lim

x?0x =1

2.2.9自然对数法:

要点：对于幂指数函数y= u(x)v(x) 的极限在多数情况下都不能单纯地利用

常规方法来解，这时可采用对数法求函数取自然对数，再求极限。

x)例22.求lim(cot?x?0x?01lnx

1lnxx)解：lim(cot?

=ex?0?limlncotxlnx

=e =e =e =e?csc2xlimcotx1x?0?xlim?x1

?x?0?sinxsinxcosx2

x?0?sinxcosxlim?x

x?0?sinxlim?x

=e?1

例23.求极限：（1） limx(1?cosx)

x?0(1?ex)sinx2x(1?coxs) 解： lim x2x?0(1?e)sixn =lim1?cosx

x?0x(1?ex)x22 =lim x?0x(1?ex)x =lim2x

x?01?e1 =lim2x

x?0?e1 =-

2?sinx? （2）lim??x?0?x?11?cosx

=esinxxlimx?01?cosxln

=exxcosx?sinx?sinxx2limx?0sinx

=ex?0 =ex?0limxcosx?sinxx3?xsinx3x2

lim =e

2.2.10级数法：

要点：级数法一般是利用麦克劳林级数

f''(0)2x+…+Rn(x) 将函数展开，取有效部分求f(x)=f(0)+f(0)x+2!'?13极限。

例24.求极限：lim(6x6?x5?6x6?x5)

x??? 解： lim(6x6?x5?6x6?x5)

x?????111166 =limx?(1?)?(1?)?

x???xx??1111?? =limx?1??o(2)?1??o(2)?

x???x6xx??6x =limx?x???1 3x1 =

3ex?1?x例25.求极限：lim

x?01?x?cosxx2 解：e?1?x??o(x2)

2!xxx21??ox2( ) cosx??24!xx2(2 ) 1?x?1???ox28

x2?o(x2)ex?1?x ∴ lim=lim2=-3

x?01?x?cosxx?012?x?o(x2)62.2.11利用积分中值定理：

要点：一般根据积分第一中值定理若f(x)在?a,b?上连续，则

????a,b?,s..t?f(x)dx?f(?)(b?a)将某些含有积分的变量化为一般形式再

ab求极限。

1例26.求极限： lim???013?x?101dx

解：?1dx?(0???1) 33?x?1???1011 ∴lim???013?x?10dx=lim??01??3?1=1

2.2.12变量替换：

要点：为了将未知极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点适当引入新变量，以替换原来的变量。

12例27.求极限：lime?x(1?)x

x???x1 解: 令t=

x1x2?x ∴lime(1?)

x???x =lime(1?t)t

t?01ln(1?t)??tt2?1t12 =limet?0

ln(1?t)?t =limet?0t2

=e =e1?1lim1?tt?02t

?1t?02(1?t)lim

=e

1??例28.求极限：limn?e?(1?)n?

n??n??1 解：令t=

n?121?? limn?e?(?1n?)

n??n??1? =lim?e?et?0t?t?ln(1?t)t?? ? =limt?0e?et2?o(t2)2tte?eto(t2)1??2t

=limt?0t1?eto(t2)??2t

=elimt?0t

t??o(t) =-elim2

t?0t1 =-e×(-)

21 =e

22.2.13因式分解法：

要点：如果可以通过因式分解将变量化简或转化为已知的极限，即可利用此方法求变量极限。

4sin2x?3sinx?1例29.求极限：lim ?sin2x?3sinx?2x?24sin2x?3sinx?1 解：lim ?sin2x?3sinx?2x?2 =lim2(sinx?1)(4sinx?1)

?(sinx?1)(sinx?2)x? =lim24sinx?1

?sinx?2x?

4?1 1?2 =-5

=

例30.求极限：limx???x?x?x

2x?1x?x?x

2x?1 解：limx???1? =limx???11?3xx 12?x =2 22.2.14放缩法求极限：

'f(x)?f(x)?例31.设f(x)在?1,???上有连续导数，且lim??=0. x????证明：limf(x)?0。

x???'f(x)?f(x)?证明：∵lim??=0 x???? ∴???0,?M?1,当x>M时，?f'(x)?f(x)?<

xxx'?ef(x) 又? = ef(x)?ef(x) ??'? 2x

ef(x)?ef(M)??(etf(t)?etf'(t))dt

两边从M到x积分， Mxxt'xMt'xM? ︳e? ︳?f(t)?f(t)dte?f(t)?f(t)?dt?(e?e) ??2MM???x ∴ef(x)=ef(M)+?(etf(t)?etf'(t))dt

MxMx ∴︱f(x)︱?︱

ef(M)??et(f(t)?f'(t))dtMMex︱

? ?eM?xf(M)?(ex?eM)e?x

2? ?eM?xf(M)?

2f(M)? 又存在N>M，使当x>N时，︳x?M ︳<

e2

∴当x>N时，︳f(x) ︳

x???

3、 函数的连续与一致连续 3.1函数的连续及其性质

3.1.1函数f(x)在点x0连续的定义：

设f(x)在点 x0的某邻域内有定义，f(x)在点x0连续可归纳为以下几种等价形式：

（1） 极限形式：limf(x)?f(x0)

x?x0（2） 增量极限形式：lim?y?0，其中?y=f(x0+?x)-f(x0)

?x?0（3） ???语言：???0，???0，?x：︱x-x0︱

f(x)-f(x0) ︱

（4） 左、右极限：f(x0+0)=f(x0-0)=f(x0)

（5） 邻域形式：???0，???0，有f(U(x0,?))?U(f(x0),?) （6） 离散形式：??xn??U(x0)，xn?x0（n??）,有

limf(xn)?f(x0)。

n??3.1.2函数f(x)在点x0左（右）连续的定义：

如果limf(x)?f(x0)则称函数f(x)在点x0左连续。（右连续类似）

x?x0注意：

（1） 函数f(x)在点x0连续，描述的是在x0的一个充分小的邻

域内，自变量x所对应函数值f(x)和x0对应的函数值f(x0)能任意地接近，但这不意味着在点x0的邻域内，自变量所对应的函数值f(x)是一条曲线。

?（2） 定义中的?的大小当然是和?有关的，要特别注意的是，

还可能与x0点有关。

（3） 由定义不难看出，函数f(x)在点x0连续必须具备三个条

件：①函数f(x)在点x0有定义；

②函数f(x)在点x0有极限；

③函数f(x)在点x0的极限值与函数值相等。

3.1.3函数f(x)的间断点及其分类： 函数f(x)的不连续点称为间断点。

如果函数f(x)在点x0间断，根据函数f(x)在点x0是否有左、右极限，可以把间断点分为三类：（1）可去间断点：如果函数f(x)在点x0有极限，但是极限值与函数值不相等，则称x0是可去间断点；对于可去间断点，总可以通过改变或补充定义f(x)在点x0的函数值使f(x)在点x0连续；（2）第一类间断点：如果函数f(x)在点x0的左、右极限都存在但是不相等，即f(x0+0)≠f(x0-0),则称x0是第一类间断点，第一类间断点又称跳跃间断点；（3）第二类间断点：如果函数f(x)在点x0的左、右极限至少有一个不存在，则称x0是第二类间断点。

3.1.4连续函数的局部性质：

（7） 连续函数的局部有界性：若函数f(x)在点x0连续，则f(x)

在点x0局部有界，即?M>0，??>0，?x?(x0??,x0??),有︳f(x) ︳?M.

（8） 连续函数的局部保号性：若函数f(x)在点x0连续，且f(x0)

≠0,则f(x)在点x0的邻域保号，即若f(x0)>0(<0),则

??>0，?x ?(x0??,x0??)，有f(x)>0(<0).

3.1.5连续函数的整体性质（闭区间上连续函数的性质）

（9） 有界性：若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上有界；

（10）最值性：若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上有最大值与最小值；

（11）介值定理1：若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，M与m是

f(x)在?a,b?上的最大值与最小值，则?c:m?c?M,????a,b?,使得f(?)=c;

（12）康托定理：f(x)在闭区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上一致连续；

（13）稠密定理：设函数f(x)在区间I上连续，如果对I中的任

意的有理数q,f(x)具有性质p,则f(x)在区间I上具有性质p.

3.1.6一致连续：

设函数f(x)在区间I上有定义，若???0，???0，?x1,x2?I，当︳x1?x2 ︳

3.2基本方法及应用：

论证f(x)在点x0连续（1）利用定义证明；（2）利用左、右极限证明；（3）利用序列极限证明；（4）利用邻域语言证明；（5）利用连续函数的四则运算以及复合函数的连续性证明。

①证明函数f(x)在区间I上连续只要证明函数f(x)在区间I上的每一点都连续，如果区间端点属于I证明在区间端点的单侧连续性。 ②根据连续函数性质证题

连续函数的局部性质与闭区间上连续函数的性质，对于不满足性质定理条件的，缩小范围，使之满足定理条件再由性质定理证明。 ③证明函数f(x)在区间I上一致连续或不一致连续

（14）按照定义证明；

（15）利用李普希兹条件或导函数有界证明； （16）利用康托定理证明。

p?1,当x?其中p,q?Z,q?0,且p,q互质?q例32.证明黎曼函数R（x）=?q

?0， 当x为无理数时?(1)在无理点连续；（2）在有理点间断。

证明：（1）?x0为无理数，??>0，使R（x）??的点x的个数至多有

有限多个（因为x=

pp11，则有R（）=??，或0?p

?qqq于是总可以找到一个?>0，使得在?x0??,x0???内没有使式子①

成立的点，或?x??x0??,x0???总有R（x）

x?x0=0=R(x0)，因此R（x）在无理点连续。

（2）?x1为有理点??0?1>0，??>0，?x'?U(x1,?)且x'为无理2q11由x1?=??0∴x1为R(x)的间断点，

qq数，使?R(x')?R(x1)?=?0?的任意性知R(x)在有理点间断。

例33． 设f(x)在（-?，+?）有定义，?x?（-?，+?）有f(x2)=f(x),

且f(x)在x=0与x=1连续，证明f(x)为常值函数。

证明：由f(x2)=f(x)得到对于任意的自然数n,?x>0，有

f(x)=f(x)=f(x)=…=f(x),由于f(x)在x=1连续及

lim1=0，所以?x>0，令n??取极限，有

n??2n12nn??121412nf(x)=limf(x)=f(1).

f(x)?limf(1)=f(1) 再由f(x)在x=0连续，所以f(0)=lim??x?0x?0 ∴?x??0,???,f(x)=f(1)再由f(x)为偶函数 f(x)=f(-x) ∴?x????,0? ,f(x)=f(1) ∴?x?（-?，+?）f(x)=f(1) ∴f(x)为常值函数.

m?m,x是既约分数?n?0??例34.讨论函数f(x)=?n?1 n???x????????????????x是无理数时的连续性，并指出间断点的类型。

解：（1）当x<0，若取﹛xk﹜为趋于x的无理数列，有limf(xk)=︳x ︳;

k??取﹛xk﹜为比x小且趋于x的有理数列

mk则必有nk??，事nk实上，由于

mkm?nkx?0，而mk≠nk，且x固定∴-x=knknkmknx若取﹛xk﹜为比)?limk=x?0；

k??n?1nkk

nk??因此，limf(k??x小且趋于x的无理数列则limf(xk)=lim?xk?=︳x ︳>0,故

k??k??x<0是f(x)的第二类间断点。

（2）当x0>0时，若x0=

m（n>0）分别取趋于x0的无理数列和有理nmm数列，由（1）的推导过程可知x0=（n>0）的极限limf(xk)=

k??nnmm≠=f()故正有理数是f(x)的可去间断点。 n?1nk?? （3）若x0>0为无理数，由于limf(x)?f(x0)故正无理数是f(x)

的连续点，又显然f(x)在x=0处连续。

例35. 设函数f(x),g(x)都在???,???上连续，且在所有有理点上相等，

证明：f(x)≡g(x)

证明：?x????,???,x为无理数，xn?x，?xn?为有理点列；

limf(xn)?limg(xn) limxn?x, f(xn)=g(xn) ,当n??时，

n??n??n?? 即：f(x)=g(x) ,又∵在所有有理点f(x)=g(x)

∴f(x)≡g(x)，x????,???

例36. 证明:

(1)f(x),g(x)连续,则函数?(x)= min﹛f(x),g(x)﹜,?(x)=max

﹛f(x),g(x)﹜都连续； （2）设f1(x),f(2x),f()x3在?a,b?上连续，对任意的x??a,b?,令f(x) 是

这三个函数值中间的那个值，则f(x)在?a,b?上连续。

??n,x??n? （3）设f(x)为实函数，令un(x)??x,?n?x?n 则f(x)连续的充分必

?n,x?n?要条件是gn(x)?un?f(x)?，对任何正整数n,都是x的连续函数。

证明：(1)?(x)=

f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?，

2f(x)?g(x)??f(x)?g(x)??（x）=

2∵f(x),g(x)连续∴f(x),g(x)的和、差、绝对值都连续

∴?(x)，?（x）都连续。

(2) f(x)=f1(x)?f2(x)?f3(x)-max﹛f1(x),f2(x),f3(x)﹜-

min﹛f1(x),f2(x),f3(x)﹜故f（x）在?a,b?上连续。

(3) 必要性：当f(x)连续,因为gn(x)=-n+f(x)+n-max﹛-n,f(x),n﹜

-min﹛-n,f(x),n﹜∴gn(x)连续。

充分性：∵gn(x)?un?f(x)?，对任何正整数n,都是x的连续

函数，

∴??>0,???0,当︳x-x0 ︳

?gn(x)?gn(x0)?=?un?f(x)??un?f(x0)??

例37.（利用连续函数的性质）

证明若f(x)在?a,b?上连续，f(a+0)与f(b-0)为有限值，且????a,b? ，

使得f(?)?max﹛f(a+0), f(b-0)﹜则f(x)在?a,b?上取得最大值。

?f(a?0),x?a? 证明：设F(x)=?f(x),x??a,b? F(x)在?a,b?上连续， 因此F(x)在?a,b??f(b?0),x?b?上存在最大值F（c）且F（c）?f(?)=F（?）

① 若F（c）=f（?）则F（c）=F（?）∴?为f(x)在?a,b?内最

大值点；

② 若F（c）> f（?）则F（c）> f(a+0)=F(a), F（c）>f(b-0)=F(b) ∴a

例38.设函数f(x)在?a,b?上连续，且对每一个x??a,b?,存在y??a,b?,使得︳

f(y) ︳?

1 ︳f(x) ︳,证明存在???a,b?，使得f(?)=0. 2

证明：取定x0??a,b?，由题意，存在x1??a,b?，使得︳f(x1) ︳?

f(x0) ︳，再由题意，使得︳f(x2) ︳??x2??a,b?，

21 ︳21 ︳f(x1) ︳2?1?即：︳f(x2) ︳???︳ f(x0) ︳?因此xn??a,b?，有︳f(xn)

?2??1?︳????f(x0)?,n?N.

?2? 我们得到?a,b?中的点列﹛xn﹜，由致密性定理，设﹛xni﹜是﹛xn﹜

的一个收敛子列：limxni??，因为???a,b?，f(x)在?点处连续，

i??n有lim?f(xni)??limi??1?f(x0)?=0，即：lim?f(xni)?=0=f(?),

i??i??2ni ∴存在???a,b?，使f(?)=0.

例39.设非负函数f(x)在?0,1?上连续，且f(0)=f(1)=0,证明对开区间（0，

1）内的任一实数a,存在x0??0,1?，使得x0+a??0,1?,且f(x0)=f(x0+a). 证明：构造辅助函数，令F(x)=f(x)-f(x+a)

∴F(0)=f(0)-f(0+a)=-f(a)?0 F(1-a)=f(1-a)-f(1)=f(1-a)?0 分三种情况讨论：

① 若F(0)=0，则f(a)=0,令x0=0，则F(x0)=f(x0)-f(x0+a)=0， 即：f(x0)=f(x0+a)；

② 若F(1-a)=0,则f(1-a)=0,令x0=1-a,则F(x0)=F(1-a) =f(x0)-f(x0+a)=0, 即：f(x0)=f(x0+a)；

③ 若F(0)<0，F(1-a)>0,由于F(x)在?0,1?a?上连续，由界值性定理，从而存在x0??0,1?a?使F(x0)=0即f(x0)-f(x0+a)=0 ∴f(x0)=f(x0+a)。

例40.设f(x)为闭区间?a,b?上的增函数但不一定连续如果f(a)?a,f(b)?b,

试证：?x0??a,b?，使得f(x0)=x0.

证明：作第1、3象限的角平分线y=x，由题意知A(a,f(a))在y=x上方，

a?bB(b,f(b))在y=x下方，取?a,b?中点c1=,若点C（c1，f(c1)）在直线

2y=x上，则得证。否则点C或在直线上方或在直线下方，总之存在?a1,b1?使两端点在直线y=x上、下方各一个。这样继续下去存在区间套

?a,b???a1,b1??...??an,bn??...使两端点位于直线y=x上、下方各一点，

bn?an?即：an?f(an)，bn?f(bn)，

n??n??b?a由区间套原理?1???an,bn?，?0，n2n=1,2,3?且liman?limbn??，由f(x)为增函数得，对?n有an?bn且

an

n??limfan(?n??n??)fblni?mf?(，an?f(?)?bn，由?的唯一性得f(?)=?。

令?=x0即得结论。

3.3 一致连续的判定方法

我们研究了连续函数的性质，而一致连续函数是数学分析的热点问题，有必要做进一步讨论。本文通过连续函数的性质寻求一致连续函数的判定方法。 一致连续函数的等价条件

3.3.1 定理1 函数f(x)在区间I上一致连续函数的充要条件是对区间I上任意两个数列{xn}与{yn}，当lim(xn?yn)?0时，lim[f(xn)?f(yn)]?0。

x??x??证明：必要性显而易见，先仅给出充分的证明。

假设f(x)在I非一致连续，即存在?0?0，对任意的??0，存在

x,y?I:|x?y|??，有|f(x)?f(y)|??0。

取??1，存在x1,y1?I当|x1?y1|?1，有|f(x1)?f(y1)|??0， 取??? 取???

从而在区间I是上构造了两个数列{xn}与{yn}，显然

lim(xn?yn)?0，但是lim[f(xn)?f(yn)]?0。

x??x??11，存在x2,y2?I当|x2?y2|?，有|f(x2)?f(y2)|??0， 2211，存在x2,y2?I当|xn?yn|?，有|f(xn)?f(yn)|??0， 2n

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