《概率论与数理统计》期末试题一答案

1、 设A与B为互不相容的两个事件，P(B)?0，则P(A|B)? 0 。

2、 事件A与B相互独立，P(A)

3、 设离散型随机变量X的分布函数为 0 x??1

F(x)? a ?1?x?1

且P(X?2)?12?0.4,P(A?B)?0.7, 则 P(B)? 0.5 。

23?a 1?x?2

a?b

16x?2

56 ，则a? ,b? 。

4、 某人投篮命中率为

5、 设随机变量X与Y相互独立，X服从“0-1”分布，p?0.4；Y服从?布?(2)，则E(X?Y)?____2.4_______,

6、 已知D(X)?16,D(Y)?9,?

7、 设总体X服从正态分布

XX2123XY45，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___

4625________。

?2的泊松分

.

D(X?Y)?____2.24_______?13, 则D(X?2Y)?___36___.

N(0,?2),从总体中抽取样本X1,X2,X3,X4,则统

计量

??XX2224服从_______F(2,2)______________分布。

8、 设总体X服从正态分布

为16的样本，样本均值____。（u0.975 9、 若

X~N(?1,?21N(X?,1),其中?为未知参数，从总体X中抽取容量

?5,则总体均值?的95%的置信区间为____（4.51，5.49）

?1.96）

),Y~N(?2,?22)，且

X与Y相互独立，则Z?X?Y服从

______N(?1??2,?21??22)______分布。

1

一、 计算题（每小题10分，共60分）

1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽

样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。

解： （1）一只是正品一只是次品的概率为：

C6CC82112?37…………………

（2）第二次才取得次品的概率为：

6?28?7＝314………………………

（3）令A1表示“第一次取出的是正品” ，A2表示“第一次取出的是次品” B表示“第二次取出的是次品”

第二次取出的是次品的概率为：

P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?27?68?17?28?14

……………………………

2、 （10分）设随机变量X的概率密度

f(x)?

Ax?1

0?x?2

0 其它

求：（1）A的值；（2）X的分布函数F(x)；（3）P{1.5?x?2.5}. 解：（1）由?????f(x)dx?1可得，(Ax?1)dx?1?A???0212………………

所以，

f(x)? ?12x?1 0?x?2

0 其它

（2）F(x)? 0， x?0 ?14x2?x， 0?x?2 ………………….

1 x?2

2

（3）P{1.5?x?2.5}?

2?(?12x?1)dx?1161.5 …………………..

3、 （10分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为

0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）X和Y的联合分布律；（2）X和Y的边缘分布律。 解：（1）X和Y的联合分布律为：

P(X?m,Y?n)?Cm,n分别为0,1,2。m2(0.2)m(0.8)2?mC2(0.5)(0.5)nn2?n?125Cm2Cn2?4(1?m)

………………………………… （2）X和Y的边缘分布律。

由于X与Y相互独立，所以X和Y的边缘分布律分别为： P(X?m)?C2(0.2)(0.8)P(Y?n)?C2(0.5)(0.5)nn2?nmm2?m，m?0,1,2。

，n?0,1,2。……………

4、 （10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f(x,y)?18(x?y), 0?x?2,0?y?2

0， 其它

(X,Y) 求：（1）E(X) （2）D(X) （3）E(XY) （4）COV

解：（1）E(X)?22

??020x?0182(x?y)dxdy18?76?76……………………

532E(X)?22 （2）

??x0?(x?y)dxdy2,1136D(x)?E(X)?(E(X))2?53…………

?()? （3）E(XY)? （4）E(Y)?222??0200xy?018(x?y)dxdy??7643……………………

??y?18(x?y)dxdy

43?76?76??136COV(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?

……………………….

5、 （10分）设总体X的概率密度为 ?x??1, 0?x?1

3

f(x)? 0， 其它

（1） 求?的最大似然估计量；（2）求?的矩估计量。

n解：（1）似然函数为：L(x1,x2,...,xn;?)???xii?1??1n??n(?xi)i?1??1,0?xi?1

……………………………

n取对数为：lnL?nln??(??1)?lnxi……………………….

i?1 由

dlnLd??0得，

n?n??i?1lnxi?0????nn

?i?1lnxi …………………………

??? 则?的最大似然估计量为：?nn。………

i?i?1lnX （2）EX?1?x?x0??1dx????1 ………………………………

X1?X?? 由EX?X得，?的矩估计量为：?……………

三．证明题（本大题共1小题，总计10分） 证：因为

??i?2lniE(Xk)=?2i?1?2?i??i?1122lni???i?114lni???i?11iln4??? (k=1,2,?) (8分)

由辛钦大数定律可知{Xk}服从大数定律.

一、单项选择题

1. 对于事件A和B，下述命题正确的是 ( B )

(A) 如果A与B互不相容，则A与B相互对立 (B) 如果A与B相互对立，则A与B互不相容 (C) 如果A与B相互独立，则A与B互不相容 (D) 如果A与B互不相容，则A与B相互独立

2. 一个寝室住有4个同学，那么他们中至少有两人的生日在一个星期内的同一

天的概率是 ( D )

(A) 0.25 (B) 0.35 (C) 0.55 (D) 0.65 3. 若P（B|A）=0，则下列命题中正确的是 ( B )

4

(A) B?A (B) AB=? (C) A?B (D) A-B=? 4. ?,?相互独立且都服从正态分布N(1,3)，则D(2?2??)? ( C )

(A) -8 (B) 9 (C) 45 (D)60

5. 若函数sinx为随机变量X的概率密度，则X的可能取值区间 ( D )

(A)

[0,2?]

(B)

[0,3?2] (C) [0,?] (D)

[0,?2]

6. 3人独立编写同一计算机程序，他们各自能成功的概率分别是0.3, 0.6, 0.5，

则能将此程序编写成功的概率是（ B ） (A) 0.09 (B) 0.86 (C) 0.14 (D) 0.91 7设A,B是两个事件，则以下关系中正确的是( B ) (A) (C)

(A?B)?B?A (A?B)?B?A (B)

(A?B)?B?B(A?B)?B?AB

(D)

8 10个产品中有8个正品2个次品,从中无放回地任取3个, 则恰有1个次品的概率是（ A ） (A)

715 (B)

815 (C)

160 (D)

745

1. 若P（B|A）=1，则下列命题中正确的是（ C ）

(A) B?A (B) P（A-B）=O (C) A?B (D)A-B=? 9 ?,?相互独立且都服从正态分布N(3,2)，则D(?2?2?)?( B )

(A) 8 (B) 20 (C) －16 (D) 12

10 设X1，X2，X3是来自（0,?）上的均匀分布的样本，?>0未知，则下列样本数中（ C ）不是统计量。 (A)2X1+X2 (B)

min(X1,X2,X3) (C)X3??(X1? (D)14X2?X3)

（统计量无未知数）

11 两个随机变量的协方差cov(?,?)?0,则?,?____Ｃ______.

(A)相互独立 (B)互不相容 (C)不相关 (D)相等

5

二、判断题

1、若随机事件A、B相互独立，则事件A、B互斥。 （ F ） 2、事件A的概率P（A）等于O, 事件 A也有可能发生。 （ T ） 3、事件的独立性具有传递性。 （ F ） 4、X函数的期望值等于

X期望的函数。 （ F ）

5 若随机事件A、B相互独立，则事件A与B也相互独立。 （ T ） 6 事件的概率与试验的先后次序无关 。 （条件分布） （ F ） 7 若事件X,Y的相关系数?xy=0，则相互独立。 （ F ） （

?xy=0，可以推出不相关）

n?(xi?x)28 估计量s2=1

三、填空题 1. 设

是总体方差的无偏估计量。 （ F ）

??{1,2,3,4,5,6}，

A?{2,3,4}，

B?{3,5}，

C?{4,6}，那么

A?B?

{1,2,3,4,6} ，AB? {1,6} ，A(BC)? Φ空集 。

2. 设随机变量X与Y相互独立，X服从二项分布B(5,0.6)，Y服从二项分布

N(?,?)2，且E(X?Y)?6,D(X?Y)?1.36，则?1 ??6-5=1 ；?=根号0.76。 2 3. 设随机变量X的分布列为 X -2 -1 P0 0.25 0.2 0.1 ?0.15 （XP ）0.1 ，则c= 36/49 则?= （1-0.2-0.1-0.25-0.15） 0.3 ，X的期望E(x)4．离散型随机变量ξ的分布律为P(ξ=k)=c(1+1/4+1/9)=1,解得c;

ck2,k?1,2,35. 从总体X中抽取样本，得到5个样本值为5、2、3、4、1。则该总体平均数

的矩估计值是___5____，总体方差的矩估计是___15/2____。 6 设两个事件A、B相互独立，P(A)P(A?B)??0.6，P(B)?0.7，则P(A?B)? 0.18 ， 0.12 。

7设随机变量X服从正态分布N(?2,16)，则

6

P{0?X?2}?P{X??6}? Φ（1）-Φ（0.5） ，

Φ（1） ，

1-Φ（1.5）+Φ（0.5） 。

P{x?2?2}?8 设总体ξ服从参数为?的泊松分布，X1,X2,?,Xn为来自ξ的样本，X为 样本均值, 则E(X)?______?， D(X)?______.

9设随机变量X的分布列为 X -2 -1 0.2 0.1 P 则E(x)?0 ?? 1 0.25 2 0.15 0.05 ，E(x2) 1.75 。

c2k,k?1,2,3.，则

11 离散型随机变量ξ的分布律为P(ξ=k)=c= 12/11

一．选择题（将答案填写在答题纸上，每题3分，共30分） 1．设A,B为两个随机事件，且B?A，则下列正确的是[ B ] (A) P(AB)?P(A) (B) P(A?B)?P(A) (C) P(BA)?P(B) (D) P(B?A)?P(B)?P(A) 2. 已知A,B,C为随机事件，P(A)?P(B)?P(C)?1/4，

P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?1/6,则A,B,C全不发生的概率为[ A ]

(A)

712 (B)

512 (C)

14 (D)

16

3.如果事件A,B满足B?A，则下述结论正确的是[ C ] (A) A,B必然同时发生 (B) A发生，B必发生 (C) A不发生，B必不发生 (D) B不发生，A必不发生

4.甲乙两班学生同次考试的数学成绩分别为X,Y，则甲班学生的数学水平不如乙班高，但比乙班整齐可表示为 [ B ] (A)E(X)?E(Y),D(X)?D(Y) (B) 总分 7

E(X)?E(Y),D(X)?D(Y)

(C)E(X)?E(Y),D(X)?D(Y) (D) E(X)?E(Y),D(X)?D(Y)

5.设两个随机变量X,Y相互独立且方差分别为4和2，则

D(3X?2Y)?[ D ]

(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44

6.设X为一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x),分布函数为

F(x)，则对于任意的x值有 [ A ]

(A) P{X?x}?0 (B) F?(x)?f(x) (C) P{X?x}?f(x) (D) P{X?x}?F(x) 7. 设X~N(0,1)，则Y?2X?1服从[ A ] (A) Y~N(1,4) (B) Y~N(0,1) (C) Y~N(2,4) (D) Y~N(1,2)

8. 设X~N则Y~【 D 】

??,?2?，Y?aX?b，其中a,b为常数，且a?0，

?A??B??C?NNNN?a??b,?a??b,?a??b,?a??b,a?a?a?a?22222?b?b2?； ?；

222?； ?．

?D?29.X,Y是两个任意的随机变量，则D(X?Y)? [ D ] (A) D(X)?D(Y) (B) D(X)?D(Y)

8

(C) D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y) (D) D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y) 10．设随机变量X~N?1,2?,Y~N(A)2X?Y~N且X?2,4?，

2X?Y23~N,Y相互独立，则（ B ）

?0,1?; (B)~N?0,1?;

(C)2X?Y?1~N?1,9?; (D)2X?Y?123?0,1?

二、填空题（将答案填写在答题纸上，每题3分，共30分）

1.已知A,B事件满足P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(BA)?0.8,则

P(A?B)= 0.7 .

2.设随机变量X服从参数为7的泊松分布，则

E(X)D(X)? 1 .

3.若A,B相互独立，P(A)?0.7,P(B)?0.5,则P(A?B)? 0.85 . 4.随机变量X的概率密度函数为

?Ax,0?x?1p(x)??，则A? 3 .

?0,其它2?05.设X的分布为?1??2a??1，若E(X)?D(X),则a? 2 . ?2?6.设X~N(0,1),则Y?2X?2~ N(2,4) .

7.重复掷一枚硬币4次，恰有2次正面向上的概率为 0.375 。

?08.设X的分布函数为F(X)???x1?e?e?3,x?0,x?0，则P(X?3)?

。

f9．设随机变量X的密度函数为

??2x,x????0,9

0?x?1,其他，用Y表示对X的3次

1??独立重复观察中事件?X??出现的次数，则P?Y?2?? 9/64 .

2??10.设X服从参数为?的泊松分布，且E[(X?1)(X?3)]??1，则?? 2 。

三、综合题（每题10分，共40分）

1.已知某地区中男子有35%是高血压患者，女子有15%是高血压患者。此地区男女比例为1:1，现今从此地区随机的挑选一人，恰好是高血压患者，问此人是男性的概率是多少？

2.随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?kxyf(x,y)???0,0?x?1,0?y?x，其它

12求（1）k的值; （2）X的边缘概率密度；（3）P{X?}。

3、两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A)的概率.

4、二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?Aef(x,y)????(x?2y),x?0,y?0其他

0,求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。 解答

三、计算题（每题10分，共40分）

1.解：设A={被观察者是高血压患者}，B1={被观察者是女子}，B2={被观察者是男子}，则B1，B2互不相容，且B1?B2??， 2分

P（B1）=P（B2）=1/2，P（A/B1）=15%，P（A/B2）=35% 2分 故又贝叶斯公式可知所求概率为

P(B2A)?P(B2)P(AB2)P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)35%?15%?50%?505?% 2分

?50% 2分

10

?710 2分

2.解：（1）因为?

1x?????????f(x,y)dxdy?1

??0kxydydx?0k8?1?k?8 （2）因

?8xy为f(x,y)???0,0?x?1,0?y?x，其它

fX(x?)x????? y f(x,y ) dx032???8xydy?4xy??0??0?4x,0?x?1 （3）

,其它116方法一：P(X?121)?12?2??fX(x)dx?12

方法二：P(X?)?FX()

?0?4 FX(x)??x??11212116x?00?x?1 x?1P(X?)?FX()?

3.解：设Bi=“取出的零件由第 i 台加工”(i?1,2)

P?A??P?B1?P?AB1??P?????B2?P?A??2yB2????Ae23?0.97?134.

?0.98?0.973解：（1）由1????????A?f(x,y)dxdye?x?0?012???(x?2y)dxdy

??0dx???0edy?A 所以A?2

11

（2）X的边缘密度函数：Y的边缘密度函数：（3）因

??fX(x)???????e x?0f(x,y)dy??其他?0,?2y?x

fY(y)?????2e y?0f(x,y)dx??其他?0,

f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以

X，Y是独立的

一、判断题（每小题2分，共20分）

( )1. P(A)?0是事件A为不可能事件的必要但是不充分条件. ( )2. 若事件A,B相互独立，则事件A与B也相互独立. ( )3. 若P(A)?0，对任意事件B，都成立P(B|A)?P(B).

( )4. 对于连续型和离散型随机变量?，?a?R，都有P(??a)?P(??a)成立. ( )5. 二维离散型随机变量的联合分布列和边沿分布列可以相互确定. ( )6. 设二维连续型随机变量(?,?)在D?{(x,y)|x?y?1}上服从均匀分布，

则其联合密度函数为f(x,y)?2221?,(x,y)?D.

( )7. 若r.v?~N(?,?)，则P(|??????|??)?2????1.

???( )8. 若随机变量?、?满足D(???)?D(???)，则?、?相互独立.

2( )9. 从总体X~N(?,?)中抽取样本X1,X2,X3，则

13(X1?X2?X)3和

12X1?14X2?14X3都是总体均值的无偏估计，但前者比后者更有效.

( )10. 参数假设检验的原理是“小概率原理”.

二、填空题（每小题2分，共20分）

1. 从发芽率为0.9的一批种子里,随机地取100粒,用?表示100粒中不发芽 的种子粒数，则 ?~______________.

2. 设p(A)?0.6,p(B)?0.5,且事件A,B相互独立，则P(A?B)?___________．

12

3. 设r.v.?~??0?0.110.32c3??0.25?,则c?_______．

4. 设r.v.?~U[1,5],则P(?1???2)? ．

5. 设F1(x),F2(x)分别为r.v.?、?的分布函数,若F(x)?0.4F1(x)?kF2(x)也是某随机变

量的分布函数, 则k? ． 6. 设

??????f(x,y)为二维随机变量(?,?)的联合密度函数，则

????f(x,y)dxdy? ．

7. 设r.v.?~N(1,4),r.v.?~E(),且?、?独立，则D(2????3)? ．

218. 设r.v.?~B(n,p)，则对于区间

(ab,恒有

ln???Pi?a?m????b??__________________(结果用

?)np(?p1???np标准正态函数?(x)的值来表示).

?1/n?2/m1n29. 设?1~??n?,?2???m?，且?1,?2独立，则有

n2222222~ .

(?,10. 设总体X~N?2,)X??i?1Xi,S?2?n?1(Xi?X),

(n?1)S2i?1?2~-

___________． 得分 评卷人

三、计算题（每小题10分，共60分）

1. 设10件产品中有7件正品，3件次品，每次随机从中抽取一件，直到取到正品为止. 记抽取次数为随机变量?，在下列两种情形下：（1）有放回（2）无放回，分别求r.v.?的概率分布列.

2. 设r.v.?的概率密度函数为f(x)????Ax?1,0,0?x?2;其它，分别求

（1）常数A的值；（2）?的分布函数F(x)；（3）P(1???2.5).

3. 盒子里有3个黑球，2个红球，2个白球，从中一次随机地抽取4个球， X表示其中黑

13

球的个数，而Y表示其中红球的个数，求（1）(X,Y)的联合分布列；（2）(X,Y)边沿分布列.

4. 设二维随机变量(?,?)的概率密度函数为f(x,y)???8xy,?0,0?x?1,0?y?x;其它.

(1)分别求r.v.?与?的边沿密度函数f?(x)和f?(y); (2)判断?和?是否独立.

5. 已知X~N(1,3),Y~N(0,4),?XY??2212,Z?X3?Y2，

求（1）E(Z)和D(Z)； （2）X和Z的相关系数?XZ.

?(??1)x,6. 设总体X的概率密度为f(x)??0,??0?x?1;其它.，其中???1是未知参

数,X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个简单随机样本.分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量.

一、判断题（每题2分，共计20分） 题号 1 2 3 4 5 6 对错 √ √ × × × √ 7 × 8 × 9 √ 10 √ 二、填空题（每题2分，共计20分）.

1、B(100,0.1) 2、0.8 3、0.35 4、0.25 5、0.6 6、1 7、20 8、?(b)??(a) 9、F(n,m) 10、?2(n?1)

三、计算题（每题10分，共计60分）. 1、解：（1）p(? （2） 1 2 ? p?k)?(310)k?1(710)(k?1,2,?) ----------------4分

3 27?1098?34 21??1 1098?3 710 3109?7 ---------------8分

14

即 ? 1 2 3 p4 1120 710 730 7120 ---------------10分 2、解：（1）1???????2f(x)dx??(Ax?1)dx?2A?20

A??12 -----------------2分

x(2)F(x)x????????f(t)dt?????????00dt?0,??x?014x?x,2x(?11212t?1)dt??t?1)dt?1,0?x?2x?2 ------------8分

(?0(3)p(1??3、解： ?2.5)?F(2.5)?F(1)?14 --------------------10分2 1 6 3 0 10 X Y 0 1 2 3 p0 0 0 3 2 1 0 6 12 2 20 pi? 1 12 18 4 ?j 5 上式中分母为35 -----------10分

4、解：(1)

??f?(x)?????8xydy?4x3,?f(x,y)dy???0??01x0?x?1其它 ------------4分

??f?(y)?????8xydx?4y(1?y2),??f(x,y)dx??y?0?320?y?1其它 ----------8分

?16xy(1?y),(2)?f?(x)f?(y)??0?0?x?1,0?y?x其它?f(x,y)

??,?不独立. ---------10分

15

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