最新高三数学上学期第一次月考试卷（集合简易逻辑三角导数立体几

莆田四中2013-2014学年高三数学上学期第一次月考试卷

命题者：潘劲森 审核者：陈苏凡 13.10.05 说明：本卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x?x}，则M∩N ＝（ ）

A．{0} 2.若函数f(x)?B．{0,1}

C．{－1,1}

D．{－1,0,1}

22，则函数f(x)的定义域是（ ）

lg(1?x)A. (1,??) B. (0,1)?(1,??) C.(??,?1)?(?1,0) D. (??,0)?(0,1) 3．已知a?0，则“

?a0xdx?2”是“a?2”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设函数f(x)?2，则下列结论中正确的是( ) A. f(?1)?f(2)?f(?2) C. f(2)?f(?2)?f(?1) 5．下列说法错误的是 ( )

A．“cos??

B. f(?2)?f(?1)?f(2) D. f(?1)?f(?2)?f(2)

x37”是“cos2???”的充要条件 5252 3B．命题p：关于x的函数y?x2?3ax?4在[1，+∞）上是增函数，则a?22C．命题p：存在x0?R,使得x0?x0?1?0，则?p：任意x?R,都有x?x?1?0 22D．命题“若x?3x?2?0，则x?1”的逆否命题为“若x?1，则x?3x?2?0”

6．将函数f(x)?sin2x的图象向右平移

则它的一个对称中心是（ ） A．(?

?个单位，得到函数y?g(x)的图象， 6?2,0) B. (??,0) C. (,0) D. (,0)663

?? 1

7．设函数f(x)?g(x)?x2，曲线y?g(x)在点?1,g?1??处的切线方程为y?2x?1，

则曲线y?f(x)在点?1,f?1??处的切线的斜率为（ ） A．2 B．? C．4 D．?

8．已知函数f(x)?x3?12x，若f(x)在区间(2m,m?1)上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）

[来源:Z*xx*k.Com]1412A．?1?m?1 B．?1?m?1 C．?1?m?1 D．?1?m?1

9．如下图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全

2 部移到另一根针上。 3 1 (1)每次只能移动一个金属片；

(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能

放在较小的金属片上面。

若将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动 的次数记为f(n)，则f(5)=（ ） A. 33 B. 31 C.17 D. 15

第9题图

?1?x?1,x?(??,2)?10．设函数f(x)??1，则函数F(x)?xf(x)?1的零点的个数为( )

?f(x?2),x?[2,??)?2 A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．） 11. 已知含有三个实数的集合既可表示成{a,2b,1}，又可表示成{a2,a?b,0}，则a2011?b2012? a12. 一扇形的面积为1cm,它的周长是4cm，则其圆心角为 弧度 13．化简：cos(2?4??)?cos2(?4??)=

π

14.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如图所示，

2则函数f(x)的解析式是 .

15．若对于定义在R上的函数f (x) ,其图象是连续不断的，且存在常数?(??R)使得

f (x +?) +?f (x) = 0对任意实数x都成立，则称f (x) 是一个“?—伴随函数”. 有下列关于 “?—伴随函数”的结论：

①f (x) =0 是常数函数中唯一个“?—伴随函数”； ②f (x) = x不是“?—伴随函数”； ③f(x) = x2是一个“?—伴随函数”； ④“

1—伴随函数”至少有一个零点. 2其中不正确的序号是_______________（填上所有不正确的结论序号）． ．．．．．．

2

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

2x?1q:x?(2a?5)x?a(a?5)?0 若 ?? 016．（本小题满分13分）已知 p : ； p 是 q 的

x?3充分不必要条件，求实数a的取值范围。

17．（本小题满分13分）已知函数f(x)?3sinxcosx?cos2x?a． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若f(x)在区间[???3,]上的最大值与最小值的和为，求a的值． 632

18．（本小题满分13分）如图，四棱锥P?ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PA?底面ABCD，且PA?2，E是侧棱PA上的动点。

（1）求三棱锥C?PBD的体积； （2）如果

是

的中点，求证在侧棱

平面

；

？证明你的结论。

（3）是否不论点的任何位置，都有

19．（本小题满分1３分）

x2y2已知椭圆C: 2?2?1(a?b?0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2?y2?1上．

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点，试探讨k为何值时，

3

△OAB为直角三角形？

20．（本小题满分1４分）已知函数f(x)?x2?(a?2)x?alnx,其中常数a?0.

（1）当a?2时，求函数f(x)的单调递增区间；

（2）当a?4时，若函数y?f(x)?m有三个不同的零点，求m的取值范围； （3）设定义在D上的函数y?h(x)在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l:y?g(x),

当x?x0时，若

h(x)?g(x)则称P为函数y?h(x)的“类对称点”， ?0在D内恒成立，

x?x0请你探究当a?4时，函数y?f(x)是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个

“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.

21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．

如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应 题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中． （１）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

?1?二阶矩阵M有特征值??8，其对应的一个特征向量e=??，并且矩阵M对应的变换

?1?将点(?1,2)变换成点(?2,4)． （Ⅰ）求矩阵M；

（Ⅱ）求它的另一个特征值及对应的一个特征向量．

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

??x?t?3，已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数），在极坐标系

??y?3t（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，

2曲线C的极坐标方程为??4?cos??3?0. ①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；

②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围.

4

（３）（本小题满分7分）选修4-5:不等式选讲

已知a∈R，设关于x的不等式|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4的解集为A． （Ⅰ）若a＝1，求A；

（Ⅱ）若A＝R，求a的取值范围．

莆田四中2013-2014学年上学期第一次月考

高三数学（理科）试卷参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题

1 号 答

D 案

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

?ππ?

??

11. -1 12. 2 13. 1 14. f(x)＝2sin?x＋?

4??415. ①③

D

C

D

A

C

C

B

B

C

2

3

4

5

6

7

8

9

10

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

16.

解

：

P??xx?3或x?1??3分

??????????????????????????????

?p???

1???3?????????????????????????????????4分

5

qxa???a?5? ???????????????????????????????

??7分 ??p是q的

充

分

不

必

要

条

件

。

???p?q?????????????????????????9分

?a?5?3???a?1等号不同时成

立。??????????????????????????????12分

??2?a?1????????????????????????????????????

?13分

17. 解：（Ⅰ）f(x)?

31?cos2xsin2x??a 22?1?sin(2x?)?a?.?????????????????????????????3分

62 所

以

T??． ?????????????????????????????????4分

由

??3??2k??2x???2k?， 262?2? 得?k??x??k?．

63 故

函

数

f(x)的单调递减区间是

?2?[?k?,?k?]63（k?Z）．?????????????7分

???x?， 63??5? 所以??2x??．

666 （Ⅱ）因为? 所

以

?1?10分 ?sixn?(?2．??????????????????????????)1266

??f(x)在[?,]上的最大值与最小值的和

631113(1?a?)?(??a?)?，

2222 因为函数 所

以

a?0．?????????????????????????????????13分

18

、

解

：（

1

）

∵

平

面

，

∴

平

面

BC????????????????????1分

VC?PBD?VP?BCD? 即四棱锥

111111S?BCD?PA??BC?CD?PA???1?1?2? 332323的体积为

1。………………………………………………………4分 3 （2）连结 ∵四边形 又∵ ∵ ∴ （3）不论点

是交

于

，连结

。………………………………………5分 是

的中点。

是正方形，∴的中点，∴

，

……………………………………6分 平面

…… ……………………7分

平面平面

。 ……………………………………………………8分

。…………………………………9分

是正方形，∴平面平面

平面

，∴

。

。………10分

来源学科网在何位置，都有

证明如下：∵四边形 ∵ 又∵ ∵不论点 ∴不论点

底面

，且，∴

在何位置，都有

。………………………………11分

。

在何位置，都有。 ?????????????13分

19．解：（Ⅰ）?b?c?1

7

?a2?b2?c2?2?????????????????????????3分

所以椭圆方程为

??????????????????????????4分 x22?y?1 2 （Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y?k(x?2)

?y?k(x?2)?2222 由?x2得 (1?2k)x?8kx?8k?2?0 2?y?1??22 由??0得：k?122，即k?(?,)----6分 222 设

A(x1,y1),B(x2,y2)，

8k28k2?2x1?x2?,x1?x2?????????????5分 221?2k1?2k???????? （1）若O为直角顶点，则OA?OB?0 ，即有x1x2?y1y2?0 ，

?y1y2?k(x1?2)?k(x2?2)，所以上式可整理得，

8k2?24k2??0221?2k 1?2kk?(?，解，得

k??55，满足

22????????????8分 ,)22 （2）若A或B为直角顶点，不妨设以A为直角顶点，kOA??21，则A满足： k?2k1?4x?2?y??x，解得?k，代入椭圆方程，整理得，?k?1k????y??2ky?k(x?2) ??k2?1??2k2?1?0

解得，

k??2?1，满足

k?(?22,) ??????????????????10分 22k??5或k??52?1时，三角形OAB为直角三角

? 8

形．????????????13分.

21.解：（1）由f(x)?x2?(a?2)x?alnx可知，函数的定义域为{x|x?0}， 且

a2x2?(a?2)x?a(2x?a)(x?1)f?(x)?2x?(a?2)??? .??????????1分

xxxa?1. 2aa 当0?x?1或x?时，f?(x)?0；当1?x?时，f?(x)?0，

22 因为a?2，所以 所

以

f(x)的单调递增区间为

a(0,1),(,??)..????????????????????4分

22(x?1)(x?2) （2）当a?4时，f?(x)?.

x 所以，当x变化时，f/(x)，f(x)的变化情况如下：

x f/(x)

（0,1）

+

1 0

（1,2）

—

2 0

（2，??)

+

2f(x) 单调递增 f(x)取极大值 单调递减 f(x)取极小值 单调递增

所以f(x)极大值?f（1）?1?6?1?4ln1??5，

f(x)极小值?f（2）?22?6?2?4ln2?4ln2?8 .??????????????????7

分

函数f(x)的图象大致如下：

所以若函数y?f(x)?m有三

个不

9

同的零点，则

m??4ln2?8,?5?.??????????9分

（3）由题意,当a?4时，f?(x)?2x?/4?6， x 则在点P处切线的斜率k切?f(x0)?2x0?4?6. x0 所以y?g(x)??2x0????42?6??x?x0??x0?6x0?4lnx0 x0?

??4??2x0??6?x?x02?4lnx0?4..????????????????????10分

x0?? 令

??x??f?x??g?x??x2?6x?4lnx??2x0?? 则

??42?6??x?x0???x0?6x0?4lnx0?， x0?，

?(x0)?04x????42?22???6??2?x?x0??1????x?x0??x0??. x0x????x0x?x0???x??2x??6??2x0? 当x0?2时，??x?在?x0,???2?2?上单调递减，所以当?(x)??(x0)?0. x?x,??0?时，x0??x0???(x)2? 从而有x??x0,?时，?0；

x?xx00?? 当x0?2时，??x?在??2??2?所以当x??,x0?时，?(x)??(x0)?0. ,x0?上单调递减，

?x0??x0???x??2? 从而有x??,x0?时，所以在(0,2)?(2,??)上不存在“类?0；

x?xx0?0?对称点”.

2x? 当x0?2时，??(x)?x?2，所以??x?在(0,??)上是增函数，故

?2 10

?(x)x?x0?0.???13分

所以

x?2是一个类对称点的横坐

标. ????????????????????????14分 ?ab??ab?21．(１) 解：（Ⅰ）设M=?，则由????cd??cd??1??1??a?b??8?=8?1??1?得?c?d?=?8?，即a+b=c+d=8． ????????

?ab? 由???cd???1???2???a?2b???2?=,得??c?2d???4?，从而-a+2b=-2，-c+2d=4． ?2??4????????? 由a+b =8及-a+2b=-2，解得a=6，b=2； 由c+d =8及-c+2d=4，解得c=4，b=4

以

所

?62?M=??，??????????????????????????????3分 44?? （f(?)?Ⅱ）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为

??6?4?2?(??6)(??4)?8??2?10??16 ??4 令f(?)?0，得矩阵M的特征值为8与2． 当??2时，

?(??6)x?2y?0?2x?y?0 ??4x?(??4)y?0? ∴矩阵M的属于另一个特征值?1的一个特征向量为

分

?1???2???．????????????7

（2） 解：①直线l的普通方程为：3x?y?33?0.

曲线C的直角坐标方程为：x?y?4x?3?0【或

22(x?2)2?y2?1】. ????3分

22 ②曲线C的标准方程为(x?2)?y?1，圆心C(2,0)，半径为1；

lC(2到 ∴圆心直线的距

为:d?离

|23?0?33|53? ??????????6分

22 所以点P到直线l的距离的取值范围是

11

[5353?1,?1] ?????????7分 22 (３) 解：（Ⅰ）当x≤－3时，原不等式化为－3x－2≥2x＋4，综合得x≤－3．

1

当－3

2

1

当x>时，原不等式为3x＋2≥2x＋4，得x≥2．

2

综上，A＝{x|x≤0或

x≥2}．???3分

（Ⅱ）当x≤－2时，|2x－a|＋|x＋3|≥0≥2x＋4成立．

a－1

当x>－2时，|2x－a|＋|x＋3|＝|2x－a|＋x＋3≥2x＋4，得x≥a＋1或x≤，

3

a－1

，得a≤－2，综上，a的取值范围为a≤－3

所以a＋1≤－2或a＋1≤

2． ??????7分

12

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