数学模型 实验报告

重 庆 交 通 大 学 学 生 实 验 报 告

实验课程名称 数 学 模 型 开课实验室 学 院 年级 专业班 学 生 姓 名 学 号 开 课 时 间 2013 至 2014 学年 第 1 学期

假设合理 建模求解全面 结果分析完善 文档清晰 综合成绩 教师姓名

优 优 优 优 良 良 良 良 中 中 中 中 差 差 差 差 韩逢庆

雨中行走问题

摘要

在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。利用MATLAB软件对各个问题进行了求解。

一、 问题提出

生活中我们常常会遇到下雨却没有遮雨工具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往很多人会在雨中快走或奔跑以使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，跑步距离d=1000m，跑步最大速度

vmax =5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2㎝/h，记跑步速度为ν 。

1.当我们不考虑雨的方向时，假设降雨会淋遍全身，这时如果我们最大速度奔跑会淋多少雨？ 2.雨从迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度ν及参数a b c d u ω θ之间的关系。问速度ν多大，总淋雨量最少。 计算θ=0°，θ=30°时的总淋雨量。

3.雨从背面吹来，设雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，建立总淋雨量与速度ν及参数a b c d u w α之间的关系。问速度ν多大，总淋雨量最少。计算 α=30°时的总淋雨量。

4.以总淋雨量为纵轴，速度ν为横轴对第3问作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

1

5.若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？

二、 模型假设

1. 人在奔跑过程中，ν大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2. 对问题1人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3. 对问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。在此过程中左右两次因

与雨速平行而不沾雨。

4. 假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变 5. 假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

6. 将人体理想化为一个长、宽、高、已知的长方体模型，且人体行走过程中的震荡引起的误差可

忽略不计。

三、 符号说明

a b c d u w θ β 人体高度 人体宽度 人体厚度 跑步距离 雨速 降雨量

雨迎面吹来时与人体的夹角 俯视图中雨速与人速的夹角 跑步最大速度 总淋雨量 头顶面积 人前或后表面积

雨点相对人头顶速度的垂直分量 雨点相对人前后面速度的垂直分量

vmax W s1 s2 u1 u2

2

w1 w2 W1 头顶单位时间接收雨量 前后面单位时间接收雨量 头顶接收雨量 人体前后面接收雨量 人体左右面接收雨量

W2 W3 四、模型建立与求解

4.1问题一

不考虑雨的方向，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W的求解公式如下：

W??2ab?bc?2ac?w利用MATLAB编程求解（见附录一），可得：

3 W?0.0024m dvmax

4.2问题二

雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为θ，如图1所示。根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向上。雨迎面吹来时，由于雨相对于人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。据此，推算出前后侧上单位时间接受雨量。同理，头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。分别计算出头顶侧与前后侧单位时间接雨量，并分别乘以各自面积以及时间d/t,即得到头顶及两侧淋雨的总量。在人体总的淋雨量.据此可得W与v之间关系，并能求出θ=0和θ=30°时的总淋雨量。

根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量

s1 （顶部）s2（前面）

，人体接收的雨量和头

u1、行走时间有关。

3

列式求解如下：

头顶：

u1?ucosθ

s1?bc

假设降雨量w与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：

w1?u1 w?wcosθ1W1?w1s1t?wcosθbc正面：

dbcdw?cosθvvv2?vsinθ?u

w2?v2w2?vsinθ?uu?w2wvsinθ?uwu?v?abdW2?w2s2t??sinθ+1?wv?u?bd?av?W?W1?W2?w?c?sinθ?a?vu?? 而

利用MATLAB编程求解（见附录二），可得： 当v=5m/s时，淋雨量W最小； 当θ=0°时，W=0.0012 当θ=30°时，W=0.0016

mm3

34.3问题三

雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为α，如图2所示。左右方向上淋雨量为0。头顶上单位时间内接收雨的量w1与雨速垂直方向上的分量成正比，W1为头顶面积bc与时间的d/v以及w1之积。当v?usin?时，前方不受雨，前后方向上单位时间内淋雨量w2与人前进方

4

向上人相对于雨的速度（usinθ-v）成正比，据此推算出W2；而当v?usin?时，后方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞上雨滴，即w2与v?usin?成正比。W2为人体前面积ab和跑步时间d/v顶淋雨量以及w2之积。 由此可计算出总的淋雨量。

W?W1?W2

据此可得W与v之间关系，并能求出α=30°时的总淋雨量。 根据题意，根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，积为

s1 （顶部）s2（前后两面）s，1面

s1?bc 假设：w1与雨点密度，雨点与人的相对速度成正比而雨点均匀分布。

w1?v1头顶：

v1?ucos??w1?wcos?

dW1?s1w1t?bcwcos?v正面：

当usin?

w2?v2v2?v?usin?W2??w2?v?usin?

wuv?usin?dwab uv当usinθ?v时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的后面

w2?v2v2?usin??vW2??w2?usin??v

wuusin??vdwab uv因为W?W1?W2

d?bcw?cos??dusin??v?wab??vuv所以W???bcw?cos??d?v?usin?wabd?vuv?用lingo编程（见附录三）求解可得：

?u?sin?>v?

?u?sin??v? 5

当v=2m/s时，总淋雨量最少;

雨线方向与人体夹角为30°时，淋雨量为0.2405556E-03。

4.4问题四

根据问题三的结论，列出总的淋雨量W和人速度v之间的关系式，利用MATLAB画出α取不同值时的函数图像如下：

0.030.0250.020.015W轴0.010.0050-0.005-0.0100.511.522.5v轴33.544.5

分析图像可知，当v=2时，总淋雨量最少。 4.5问题五

应用（3）中的结论

W1?bcwdcosθ v前后侧，当v?usin?cos?时，相对速度 v?usin?cos?，

W2?可总结为

v?usin?cos?dwab

uvW2?同理，可得左右侧接收雨量

v?usin?cos?dwab

uvW3?

usin?sin?dwac

uv6

三者相加得

v?usin?cos?ddusin?sin?dW?bcwcosθ+wab?wac

vuvuv

csinβ bcosβ β

五、模型评价

通过对本题的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。本文忽略了降雨密度不均匀，风向不稳定等次要因素，以便更好的对问题进行分析和研究。但在实际问题中的限制性因素远远超过这些，因此此文的分析方法仍存在一定的局限性，有待改进和提高。

参考文献

[1] 薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解.北京：清华大学出版社，2008年10月。 [2] 陈杰.MATLAB宝典.北京：电子工业出版社，2007年。

附录

附录1：问题一求解程序

clear; a=1.5; b=0.5; c=0.2;

w=0.02/3600; d=1000; Vm=5;

W=(2*a*b+2*a*c+b*c)*w*d/Vm W=

0.0024

7

附录2：问题二求解程序

附录2.1：分析当v=vm时总淋雨量最小程序

clear; syms t v; a=1.5; b=0.5; c=0.2;

w=0.02/3600; d=1000; u=4;

minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u; h=diff(minss,'v') %导数 h =

-(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t))/v^2

%h=-(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t))/v^2恒小于零，原函数为减函数

附录2.2：当θ=0时总淋雨量程序

clear; t=0; v=5; a=1.5; b=0.5; c=0.2;

w=0.02/3600; d=1000; u=4;

minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u

minss =

0.0012

附录2.3：当θ=30°时总淋雨量

clear; t=pi/6; v=5; a=1.5; b=0.5; c=0.2;

8

w=0.02/3600; d=1000; u=4;

minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u minss =

0.0016

附录3：问题三中α=30°时总淋雨量 程序一：

min=0.5*0.2*1.732/2*1000/v*0.02/3600+(2-v)/2*1.5*0.5*0.02/3600*1000/v; v>=0; v<=2; 运行结果

Local optimal solution found at iteration: 8

Objective value: 0.2405556E-03

Variable Value Reduced Cost V 2.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2405556E-03 -1.000000 2 2.000000 0.000000 3 0.000000 0.1161944E-02 程序二：

min=0.5*0.2*1.732/2*1000/v*0.02/3600+(v-2)/2*1.5*0.5*0.02/3600*1000/v; v>=2; v<=5;

运行结果：

Local optimal solution found at iteration: 8

Objective value: 0.2405556E-03

Variable Value Reduced Cost V 2.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2405556E-03 -1.000000 2 0.000000 -0.9213884E-03 3 3.000000 0.000000

9

附录4：问题四的程序 t=sin(t0);

v1=0:0.1:t(1); v11=t(1):0.1:5;

y1=(5.556e-4.*cos(t(1))+41.67e-4.*sin(t(1)))./v1-4.167e-3/4; y11=(5.556e-4.*cos(t(1))-41.67e-4.*sin(t(1)))./v11+4.167e-3/4;

plot(v1,y1,'r'); hold on

plot(v11,y11,'r');

xlabel('v?á'); ylabel('W?á'); v2=0:0.1:t(2); v22=t(2):0.1:5;

y2=(5.556e-4.*cos(t(2))+41.67e-4.*sin(t(2)))./v2-4.167e-3/4; y22=(5.556e-4.*cos(t(2))-41.67e-4.*sin(t(2)))./v22+4.167e-3/4;

plot(v2,y2,'g-.'); hold on

plot(v22,y22,'g-.'); v3=0:0.1:t(3); v33=t(3):0.1:5;

y3=(5.556e-4.*cos(t(3))+41.67e-4.*sin(t(3)))./v3-4.167e-3/4; y33=(5.556e-4.*cos(t(3))-41.67e-4.*sin(t(3)))./v33+4.167e-3/4;

plot(v3,y3,'k:'); hold on

plot(v33,y33,'k:'); v4=0:0.1:t(4); v44=t(4):0.1:5;

y4=(5.556e-4.*cos(t(4))+41.67e-4.*sin(t(4)))./v4-4.167e-3/4; y44=(5.556e-4.*cos(t(4))-41.67e-4.*sin(t(4)))./v44+4.167e-3/4;

plot(v4,y4,'b'); hold on

plot(v44,y44,'b'); v5=0:0.1:t(5); v55=t(5):0.1:5;

y5=(5.556e-4.*cos(t(5))+41.67e-4.*sin(t(5)))./v5-4.167e-3/4; y55=(5.556e-4.*cos(t(5))-41.67e-4.*sin(t(5)))./v55+4.167e-3/4;

plot(v5,y5,'c'); hold on

10

plot(v55,y55,'c'); v6=0:0.1:t(6); v66=t(6):0.1:5;

y6=(5.556e-4.*cos(t(6))+41.67e-4.*sin(t(6)))./v6-4.167e-3/4; y66=(5.556e-4.*cos(t(6))-41.67e-4.*sin(t(6)))./v66+4.167e-3/4;

plot(v6,y6,'y'); hold on

plot(v66,y66,'y'); v7=0:0.1:t(7); v77=t(7):0.1:5;

y7=(5.556e-4.*cos(t(7))+41.67e-4.*sin(t(7)))./v7-4.167e-3/4; y77=(5.556e-4.*cos(t(7))-41.67e-4.*sin(t(7)))./v77+4.167e-3/4;

plot(v7,y7,'m'); hold on

plot(v77,y77,'m'); v8=0:0.1:t(8); v88=t(8):0.1:5;

y8=(5.556e-4.*cos(t(8))+41.67e-4.*sin(t(8)))./v8-4.167e-3/4; y88=(5.556e-4.*cos(t(8))-41.67e-4.*sin(t(8)))./v88+4.167e-3/4;

plot(v8,y8,'k'); hold on

plot(v88,y88,'k'); v9=0:0.1:t(9); v99=t(9):0.1:5;

y9=(5.556e-4.*cos(t(9))+41.67e-4.*sin(t(9)))./v9-4.167e-3/4; y99=(5.556e-4.*cos(t(9))-41.67e-4.*sin(t(9)))./v99+4.167e-3/4;

plot(v9,y9,'m-.'); hold on

plot(v99,y99,'m-.'); v10=0:0.1:t(10); v1010=t(10):0.1:5;

y10=(5.556e-4.*cos(t(10))+41.67e-4.*sin(t(10)))./v10-4.167e-3/4; y1010=(5.556e-4.*cos(t(10))-41.67e-4.*sin(t(10)))./v1010+4.167e-3/4;

plot(v10,y10,'k'); hold on

plot(v1010,y1010,'k');

legend('y1','y11','y2','y22','y3','y33','y4','y44','y5','y55','y6','y66','y7','y77','y8','y88','y9','y99','y10','y1010');t0=0:pi/10:pi/2;

11

钢管下料模型

摘要

本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。

生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。

本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。数学规划问题在实际生产、生活中非常常见，因此本文的建模思想对于该类其他问题的处理方法也具有一定的启发作用。

一、问题提出

某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm。现有一客户需要15根290 mm、28根315 mm、21根350 mm和30根455 mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的一种切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品)。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm。为了使总费用最小，问我们应如何下料？

通过阅读问题题目可知，该问题主要目的是要从一批长度为1850mm的原料钢管中切割出15根290mm，28根315mm，21根350mm和30根455mm三种特定长度的成品钢管。合理的切割模式确定后，

12

需要得出使切割总费用最小的切割方案。问题中的原料和成品长度都有限定，切割费用也与切割模式的使用频率有关。其中约束条件主要有：

（1） 原料钢管长度的约束，在不同切割模式下，成品的总长度不能大于1850mm； （2）切割产生的成品根数的约束，每根根钢管最多生产5根成品钢管；

（3） 切割后余料长度的约束，每根钢管在每种切割模式下的余料不能超过100mm； （4）切割模式种类的约束，最终使用的切割模式不能超过4种； （5）费用的计算方式是与切割模式的使用频率有关的。

二、模型假设

1、切割过程中不会产生报废的情况； 2、切割过程中不会发生长度的损失； 3、客户的需求不发生变化；

4、切割费用只与切割模式的使用频率有关，与其他因素无关； 5、假设不同的切割模式所使用的频率不相同

三、符号说明

符号 代表的意义 L 原料钢管的总长度，即L?1850mm? 表示第j种成品钢管的需求根数（i?1,2,3,4） 表示第j种成品钢管的长度 表示在第i种切割模式下切割的原料钢管的根数（i=1、2、3、4） 表示在第i种切割模式下一根原料钢管切割出的第j种成品钢管根数 13

用作下标，代表切割模式， 用作下标，表示成品类型， 表示一根原料钢管的价值 表示不同使用频率的切割模式下所需的费用 P 切割总费用 四、模型的建立与求解

1、问题分析

本题属于一维整数数学规划类问题，解决的基本思路为：由一系列约束条件确定不超过4个合理的切割模式组成最优切割方案，使总费用最少。

但是又考虑到切割费用与切割模式的使用频率有关，而不同切割模式的使用频率可以相同。所以目标函数是不确定的，即需要建立多种不同的模型，然后利用lingo软件求出每种模型下的最优解。最后通过将各个模型进行对比，得出最有切割方案。 2、模型的建立

1、由于切割模式不多于4种，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），可以列出下列2个约束条件： （1）每根原料切割最多根数约束

（2）原料总长度约束

2、由原料长度，余料限制等条件可得以下几个约束条件

14

（1）余料最大长度约束

（2）客户需求数量约束

综合上述约束条件以及假设5可以得到以下数学模型：

即目标函数： 约束条件 利用lingo软件计算模型一（源程序和运行结果见附录）结果如下表：

切割模式 1 2 3 4 最优解 钢管数 14 4 1 0 290 1 0 2 1 315 2 0 0 0 21.5 350 0 5 1 3 455 2 0 2 1 余料 20 100 10 55 由表可知：最优方案为选取19根钢管，其中14根原料钢管分别切割90mm、315mm、350mm、455mm钢管为1根，2根，0根，2根；4根原料钢管切割为0根，0根，5根，0根；1根原料钢管

15

切割为2根，0根，1根，2根。

五、模型的分析与改进

1.模型优点：

（1）建模思路清晰，模型的建立方案比较简单，易于读懂； （2）模型结构分明； 2.模型缺点：

（1）没有对模型进行进一步的优化和更深层次的推广； （2）各模型的源程序近乎相同，过程显得有些繁琐。

（3）模型在处理切割问题时，为了简化起见没有考虑到多种切割模式使用频率可能相同的情况。 （4）由于再假设中对问题进行了简化，因此该模型不便于推广 3、模型的改进方向：

（1）处理切割问题时，考虑多种切割模式使用频率可能相同的情况。并通过改变目标函数表达式，或者利用其他程序（如C语言程序）来解决，其中通过改变目标函数表达式的方法比较容易实现，并且各种不同情况下的源程序基本相同，只是过程稍显繁琐。

六、模型的评价

该模型尽管有很多不足之处，但是其基本思想是正确的，因此对于解决其他的一维数学规划类问题还是具有一定的参考价值的。

参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8 [2] lingo基本教程：http://wenku.http://www.wodefanwen.com//view/114af46527d3240c8447ef3a.html，2012.4.2

附录

程序代码： model:

16

min=1.1*a1+1.2*a2+1.3*a3+1.4*a4; b11+b12+b13+b14<=5; b21+b22+b23+b24<=5; b31+b32+b33+b34<=5; b41+b42+b43+b44<=5;

b11*290+b12*315+b13*350+b14*455<=1850; b21*290+b22*315+b23*350+b24*455<=1850; b31*290+b32*315+b33*350+b34*455<=1850; b41*290+b42*315+b43*350+b44*455<=1850; b11*290+b12*315+b13*350+b14*455>=1750; b21*290+b22*315+b23*350+b24*455>=1750; b31*290+b32*315+b33*350+b34*455>=1750; b41*290+b42*315+b43*350+b44*455>=1750; b11*a1+b21*a2+b31*a3+b41*a4>=15; b12*a1+b22*a2+b32*a3+b42*a4>=28; b13*a1+b23*a2+b33*a3+b43*a4>=21; b14*a1+b24*a2+b34*a3+b44*a4>=30; a1+a2+a3+a4>=19; a1+a2+a3+a4<=22; a1>a2; a2>a3; a3>a4;

@gin(a1);@gin(a2);@gin(a3);@gin(a4); @gin(b11);@gin(b12);@gin(b13);@gin(b14);

17

@gin(b21);@gin(b22);@gin(b23);@gin(b24); @gin(b31);@gin(b32);@gin(b33);@gin(b34); @gin(b41);@gin(b42);@gin(b43);@gin(b44); end 运行结果：

Local optimal solution found.

Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations:

Variable A1 A2 A3 A4 B11 B12 B13 B14 B21 B22 B23

21.50000 21.50000 0.000000 275 9208 Value Reduced Cost 14.00000 1.100000 4.000000 1.200000 1.000000 1.300000 0.000000 1.400000 1.000000 0.000000 2.000000 0.000000 0.000000 0.000000 2.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 5.000000 0.000000

18

B24 0.000000 0.000000 B31 2.000000 0.000000 B32 0.000000 0.000000 B33 1.000000 0.000000 B34 2.000000 0.000000 B41 0.000000 B42 0.000000 B43 0.000000 B44 4.000000 Row Slack or Surplus 1 21.50000 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 5 1.000000 6 20.00000 7 100.0000 8 10.00000 9 30.00000 10 80.00000 11 0.000000 12 90.00000 13 70.00000 14 1.000000 19

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Dual Price -1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

15 0.000000 0.000000 16 0.000000 0.000000 17 0.000000 0.000000 18 10.00000 0.000000 19 3.000000 0.000000 20 1.000000 20

0.000000

15 0.000000 0.000000 16 0.000000 0.000000 17 0.000000 0.000000 18 10.00000 0.000000 19 3.000000 0.000000 20 1.000000 20

0.000000

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