概率论与数理统计浙大四版习题答案第四章

概率论与数理统计浙大四版教材习题解答

第四章

2.[二] 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E (X)。（设诸产品是否是次品是相互独立的。）

解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ

P=P（调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]1－0.7361=0.2639.

04

因此X表示一天调整设备的次数时X～B(4, 0.2639). P (X=0)= ×0.2639×0.7361

查二项分布表

4 0

=0.2936.

4

4

1322P (X=1)= ×0.2639×0.7361=0.4210, P (X=2)= ×0.2639×0.7361=0.2264. 1 2

4 3

P (X=3)= 0.2639×0.7361=0.0541, P (X=4)= 3 ×

4 0

0.2639×0.7361=0.0049.从而 4 ×

E (X)=np=4×0.2639=1.0556

3.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E (X)。

∵ 事件 {X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）

∴

1 3 3 1 37 1

P(X 1) 3 3

4 4 4 4 64 4

2

2

3

∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒”

∴

1 2 2 1 19 1

P(X 2) 3 3

4 4 44464 1 1 1 1 7 1

P(X 3) 3 3

4 4 4 4 64 4

2

2

3

2

2

3

同理：

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1 1

P(X 4)

464

E(X) 1

37197125

2 3 4

6464646416

3

故

5.[五] 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为

1

x,0 x 1500

(1500)2 1

f(x) (x 3000),1500 x 1500 2

(1500)

其他 0

求E (X) 解：E(X)

15000

xf(x)dx

x(1500)

2

x dx

30001500

x

(3000 x)(1500)

2

dx

1(1500)

2

33

x1x 30002

1500x 2 33 01500(1500)

1500(分)

6.[六] 设随机变量X的分布为

求 E (X)， E (3X+5) 解：

E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4

2

X Pk

－2 0.4

0 0.3

2 0.3

7.[七] 设随机变量X的概率密度为

e x,x 0

f(x)

0,x 0

求（1）Y=2X

（2）Y=e－2x的数学期望。

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解：（1）E(y)

2xf(x)dx

2xe

x

dx

2xe x 2e x

2x

0

2

（2）E(Y)

ef(x)dx

e

2x

e

x

ex

1 3x 1

e 330

8.[八] 设（X，Y）的分布律为

(1) 求E (X)，E (Y )。 (2) 设Z=Y/X，求E (Z )。 (3) 设Z= (X－Y )2，求E (Z)。

解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为

E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4 =0.4+0.4+1.2=2. E(Y)= (－1)×0.3+0×0.4

+1×0.3=0.

（2）

E (Z )= (－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1 = (－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15. （3）

E (Z )=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5

10.[十] 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为

1 1x

4 ,x 0工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售

f(x) 4e

0,x 0

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一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢 利的数学期望。

1

解：一台设备在一年内损坏的概率为P(X 1)

4

14

14

10

e

14

x

dx e

x4

10

1 e

14

故P(X 1) 1 P(X 1) 1 (1 e则

) e

.设Y表示出售一台设备的净赢利

( 300 100) 200,(X 1)

Y f(X)

100,(X 1).

1

4

故 E(Y) ( 200) P(X 1) 100 P(X 1) 200 200e 300e

14

100e

14

200 33.64

11.[十一] 某车间生产的圆盘直径在区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。

解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为

1 ,x (a,b)

f(x) b a

0,其它.

用Y表示圆盘的面积，则Y

12

πX,从而 4

E(Y)

1π2

πxf(x)dx 44

ba

(b a)1ππ222

xdx (a ab b).b a4(b a)312

33

12.[十三] 设随机变量X1，X2的概率密度分别为

2e 2x,

f1(x)

0

x 0x 0

4e 4x,x 0

f2(x)

,x 0 0

求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3X22)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2) 解：（1）E(X1 X2) E(X1) E(X2)

1

0

x 2e

2x

dx

0

x 4e

4x

dx

2x 2x 4x 4x

e xe e = xe 24244 0 0

1

113

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（2）E(2X1 3X22) 2E(X1) 3E(X22) 2 1 3

2

0

x 4e

2 4x

dx

=1 3 x2e 4x

x 4x1 4x 35

e e 1

2888 0

111

248

（3）E(X1X2) E(X1) E(X2)

13.[十四] 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X )

解：引进随机变量Xi

1 0

第i号盒装第i号球第i号盒装非i号球

i=1, 2, n

n

则球盒对号的总配对数为X Xi的分布列为

n

i 1

Xi

E(Xi)

1 n

i=1, 2 n

n

∴ E(X) E( Xi)

i 1

i 1

E(Xi) n

1n

1 i=1, 2 n

14.[十五] 共有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。

（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。 解：（1）

E(X) 1

1111 2 nn 1 2 n nnn

n2

（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。

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设 Xi

i第i次试开能开门 0第i次试开不能开门

i=1, 2 n

n

则试开到能开门所须试开次数为X

i 1

Xi

∵

E (Xi)=i

1

n

i=1, 2 n

nn

∴ E(X)

i 1

E(Xi)

i 1

i12nn 1

nnnn2

15. （1）设随机变量X的数学期望为E (X)，方差为D (X)>0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：X*

验证E (X* )=0，D (X* )=1

（2）已知随机变量X的概率密度。

1 |1 x|,

f(x)

, 0

0 x 2其它,X E(X)D(X)

求X*的概率密度。 解：（1）E(X*) E[

X E(X)D(X)

]

1D(X)

[E(X) E(X)] 0

X E(X

22

D (X* )= E [X*－E (X )* ]]= E (X* )= E

D(X) )

2

= （2）E(X)

2

112

E[X E(X)] D(X) 1 D(X)DX

20

x[1 |1 x|]dx

20

2

10

x[1 (1 x)]dx

21

x[1 (1 x)]dx 1

E(X)

x[1 |1 x|]dx

10

x[1 (1 x)]dx

2

21

7

x[1 (1 x)]dx

6

2

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D(X) E(X) [E(X)]

22

71 1 66

X*

X E(X)

DX

X 11

6

FX*(y) P(X* y) P(

X 116

y) P(X

16

1

y 1)

6

y 1

f(x)dx

0 1

y_1

6[1 |1 x|]dx

0 1

当

16

y 1 0,即y 6时1616

y 1 2,即

6 y

6时

当0 当2

y 1,即6 y时

11

y 1)| {1 |1 (

gX*(y) 66

0

6 y 6

y为其他值

16.[十六] 设X为随机变量，C是常数，证明D (X )<E {(X－C )2 }，对于C≠E (X )，（由于D (X ) = E {[X－E (X )]2 }，上式表明E {(X－C )2 }当C=E (X )时取到最小值。）

证明：∵ D (X )－E (X－C )2 = D (X2 )－[E (X )]2－[E (X2 )－2CE (X2 )+C2 =－{[E (X )]－2CE (X )+C} =－[E (X )－C ] 2<0，

∴当E (X )≠C时D (X )< E (X－C )2

1 x e,x 017. 设随机变量X服从指数分布，其概率密度为f(x) θ其中θ>0是常

0,x 0

2

2

2

数，求E (X )，D (X )。

解：

E(X)

0

1 θxedx θ

x

0

xd( e

xθ

) xe

xθ

0

0

e

xθ

dx 0 ( θe

xθ

)

0

θ

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又E(X2)

1θ

0

xe

2

xθ

令t dx

xθ

θ

2

0

te

2 t

dt 2θ

2

D (X )= E (X 2 )－E 2 (X )=2θ2－θ2=θ2

21．设X1, X2 , , Xn是相互独立的随机变量且有E(Xi) μ,D(Xi) σ2,i=1,2, , n.

1

记X

n

X

i

，S

2

1

n

(X

i

X).（1）验证E(X) μ,D(X)

2

σ

2

.（2）验证

n

i 1

n 1

i 1

n

n

S

2

1 n 1 X22

i nX

.（3）验证E (S 2 )

i 1

n

n

n

证明：（1）E(X) E(

1

n

X1

i)

i)

i 1

n

E(X1

i 1

n

μ μ

i 1

(利用数学期望的性质2°，3°)

n

n

2

D(X) D(

1, ,Xn相互独立

1n

n

XX1i)

X

2

i

)

1

i 1

n

2

D(i 1

n

2

i 1

n

(利用方差的性质2°，3°)

n

n

（2）首先证 (X2

i X)

X

2i

nX

2

i 1

i 1

nn

n

n

(X

2

i

X)

(X

2i

2X2

iX X)

X

2i

2

XiX nX

2

i 1

i 1i 1i 1

n

n

X2

2

2

2

i 2nX X nX

Xi nX.

i 1i 1

n

n

于是S

2

1 2 2

n 1 X

i

nX

2

1

i 1

n 1

(X

i

X)

i 1

n

n

（3）E(S2

) E[

1

2

n 1

(X122

i X)] n 1E(

Xi nX)

i 1

i 1

n

1

n 1

E(X

2i

) nE(X

2

)

i 1

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n

1 22

(D(X) E(X) n(D(X) E(X)) ii

n 1 i 1

1

[nσ

n 1

2

nμ

2

n(

σ

2

n

μ)] σ

22

23．[二十五] 设随机变量X和Y的联合分布为：

验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。 证：∵

P [X=1 Y=1]=

1 8

P [X=1]=

33 P [Y=1]= 88

P [X=1 Y=1]≠P [X=1] P [Y=1]

∴ X，Y不是独立的 又

E (X )=－+0×

3

838

23

+1×=0 8828

3

=0 8

E (Y )=－ COV(X, Y )=E{[X－E (X )][Y－E (Y )]}= E (XY )－EX·EY = (－1)(－1)

1111+(－+1×(－+1×=0 8888

∴ X，Y是不相关的

27．已知三个随机变量X，Y，Z中，E (X )= E (Y )=1, E (Z )=－1，D (X )=D (Y )=D (Z )=1, ρXY=0 ρXZ=

11

，ρYZ=－。设W=X+Y+Z 求E (W )，D (W )。 22

解：E (W )= E (X+Y+Z)= E (X )+ E (Y )+ E (Z )=1+1－1=1 D (W )= D (X+Y+Z)=E{[ (X+Y+Z)－E (X+Y+Z)]2} = E{[ X－E (X )]+[ Y－E (Y )]+Z－E (Z )}2

= E{[ X－E (X )]2+[ Y－E (Y )]2+ [Z－E (Z )]2+2[ X－E (X )] [ Y－E (Y )]

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+2[ Y－E (Y )] [Z－E (Z )]+2[Z－E (Z )] [ X－E (X )]}

= D (X )+D (Y )+D (Z )+2 COV(X, Y )+ 2 COV(Y, Z )+ 2 COV(Z, X ) = D (X )+D (Y )+D (Z )+2D(X)D(Y)ρ +2D(Z)D(X)ρ

1

ZX

XY

2D(Y)D(Z)ρ

XZ

1 0 2 1(

1) 2

2 1() 3

2

26.[二十八] 设随机变量（X1，X2）具有概率密度。

f(x,y)

1

(x y)， 0≤x≤2, 8

0≤y≤2

X1X2

求 解：

E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），ρ

E(X2) E(X2)

D(X1 X2)

2020

dxdx

2020

x y

17

(x y)dy

8617

(x y)dy

86

COV(X1X2) E{(X1

77

)(X2 )} 66

20

dx (x

2

76

)(y

2

76

)

18

(x y)dy

2

136

D(X1) E(X) [E(X1)]

2

1

2

20

dx

111 7

x (x y)dy

8636

2

D(X2) E(X) [E(X2)]

2

2

2

20

dx

20

111 7

y (x y)dy

836 6

2

2

XY

COV(X1,X2)DX

1

1

DX

2

136

111136

D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2) =

111115

2 ( ) 3636369

28.[二十九]设X～N（μ，σ 2），Y～N（μ，σ 2），且X，Y相互独立。试求Z1= αX+βY和Z2= αX－βY的相关系数（其中 , 是不为零的常数）.

解：由于X，Y相互独立

Cov(Z1, Z2)=E(Z1,Z2)－E(Z1) E(Z2)=E (αX+βY ) (αX－βY )－(αEX+βEY ) (αEX－βEY )

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=α2EX 2－βEY 2－α2 (EX ) 2+β(EY ) 2=α2DX－β 2DY=(α2－β 2) σ 2

DZ1=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2, DZ2=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2,

(利用数学期望的性质2°3°)

故ρ

Z1Z2

Cov(Z1,Z2)DZ

1

(α(α

22

β) β)

2

2

DZ

2

2

29．[二十三] 卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以公斤计）服从N（50,2.5）问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.

解：已知X～N（50,2.52）不妨设最多可装A袋水泥才使总重量超过2000的概率不大于0.05.则由期望和方差的性质得Y=AX～N（50A,2.52A）.故由题意得

P {Y≥2000}≤0.05 P{Y 2000) 0.95 即

2000 50A 2000 50A

0.95查表得 1.65解得A≥39.

2.5A2.5A

30.[三十二] 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率p.

解：由题意知μ=7300,σ=700，则由契比雪夫不等式

P{5200 X 9400} P{|X 7300| 2100} 1

7002100

22

1

18

0.8889 99

31.[三十三]对于两个随机变量V,W若E(V2 )E (W2 )存在,证明[E (VW)]2≤E (V2 )E (W 2 )这一不等式称为柯西施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式.

证明：由|VW|

1

(V2

2

W)和关于矩的结论，知当E (V), E (W )存在时E (VW)，

22 2

E(V ), E(W ), D (V ), D (W ),都存在.当E (V2 ), E (W 2 )至少有一个为零时，不妨设E (V2 )=0，

由D (V )= E (V2 )－[E (V )]2≤E (V2 )=0知D (V )=0，此时[E (V )]2 = E (V2 )=0即E (V )=0。再由方差的性质知P (V=0)=1.又(VW 0) (V 0)故有P (VW=0)=1.于是

2 2

E(VW)=0，不等式成立. 当E (V)>0，E (W )>0时，对 t 0

有E (W－tV)= E (V) t－2 E(VW)t+ E (W )≥0.(*)

(*)式是t的二次三项式且恒非负，所以有 =[－2 E(VW )] 2－4 E (V2 ) E (W 2 ) ≤0 故Cauchy-Schwarz不等式成立。

[二十一（]1）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5－i, i=1,2,3,4。设Y=2 X1－X2+3X3－

2 2 2 2

1

X4，求E (Y)，D (Y)。 2

（2）设随机变量X，Y相互独立，且X～N（720，30），Y～N（640，25），求Z1=2X+Y，

22

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Z2=X－Y的分布，并求P {X>Y }, P {X+Y>1400 }

解：（1）利用数学期望的性质2°，3°有 E (Y )= 2E (X1 )－E (X2 )+3 E (X3 )－利用数学方差的性质2°，3°有

D (Y )=2 D (X1 )+ (－1) D (X2 )+3 D (X3 )+(

2

2

2

1

E (X4 )=7 2

12

) D (X4 )=37.25 2

（2）根据有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知 Z1～N（· ，·），Z2～N（· ，·） 而E Z1=2EX+Y=2×720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225 E Z2=EX－EY=720－640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525 即 Z1～N（2080，4225）， Z2～N（80，1525） P {X>Y }= P {X－Y >0 }= P {Z2>0 }=1－P {Z2 ≤0 } =1

0 80 80

0.9798 1525

P {X+Y >1400 }=1－P {X+Y ≤1400 } 同理X+Y～N（1360，1525）

则P {X+Y >1400 }=1－P {X+Y ≤1400 } =1

1400 1360

0.1539

[二十二] 5家商店联营，它们每周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X1，X2，X3，X4，X5，已知X1～N（200，225），X2～N（240，240），X3～N（180，225），X4～N（260，265），X5～N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互独立。

（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差；

（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？

5

解：（1）令Y

X

i 1

i

为总销售量。

已知E X1=200，E X2=240，E X3=180，E X4=260，E X5=320， D (X1)=225，D (X2)=240，D (X3)=225，D (X4)=265，D (X5)=270， 利用数学期望的性质3°有

概率论与数理统计浙大四版教材习题解答

5

E(Y)

E(X

i 1

i

) 1200

利用方差的性质3°有

5

D(Y)

D(X

i 1

i

) 1225

（2）设商店仓库储存a公斤该产品，使得

P {Y ≤ a}>0.99

由相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，并注意到（1），得

Y～ N（1200，1225）

a 1200

P{Y a} 0.99

35

查标准正态分布表知

a 1200

2.33

35 a 1281.55

∴ a至少取1282.

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