《理论力学》（范钦珊）习题解答第3篇第7-11章

第3篇 工程动力学基础

第7章 质点动力学

7-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略

摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。 解：接触跳台时 v0?40.2?103?11.17m/s 3600

习题7-1图

设运动员在斜面上无机械能损失

v?v02?2gh0?11.172?2?9.8?2.44?8.768m/s vx?vco? vy?vsin??3.256m/s s?8.14m/s, 1 h1? t1?v2y2gvyg?0.541m ?0.332s

v y

v0

θ

O

2 (h1?h0)?gt2

12 t2?2(h1?h0)?g2(0.541?2.44)s ?0.7809.8习题7-1解图

t?t1?t2?1.112s

x?vxt?8.141?1.112?9.05m

7-2 图示消防人员为了扑灭高21m仓库屋顶平台上的火灾，把水龙头置于离仓库墙基15m、距地面高1m处，如图所示。水柱的初速度?0?25m/s，若欲使水柱正好能越过屋顶边缘到达屋顶平台，且不计空气阻力，试问水龙头的仰角?应为多少？水柱射到屋顶平台上的水平距离s为多少？ 解：(1) t1?15 (1) v0cos?12 v0sin??t1?gt12?20 (2) (1)代入(2)，得

500cos2??375sin?cos??44.1?0 500cos2??44.1?375cos?1?cos2? 390625cos4??96525cos2??1944.81?0 cos2??0.22497, ??61.685?

(2) t2?v0sin?（到最高点所经过时间） g

习题7-2图

S?(v0cos??t2?15)?2?23.26m

7-3 图示三角形物块置于光滑水平面上，并以水平等加速度a向右运动。另一物块置于其斜面上，斜面的倾角为θ。设物块与斜面间的静摩擦因数为fs，且tanθ>fs，开始时物块在斜面上静止，如果保持物块在斜面上不滑动，加速度a的最大值和最小值应为多少？ Fsa a

FsFN θmgFN mg

习题7-3图

— 1 —

(a)

(b)

解：1、物块不上滑时受力图(a) FNsin??Fscos??ma FNcos??mg?Fssin??0 临界：Fs?fsFN

(3)代入(1)、(2)，消去FN，得 amax?sin??fscos?

cos??fssin?(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

2、物块不下滑时受力图(b)： FNsin??Fscos??ma FNcos??mg?Fssin??0 临界：Fs?fsFN

(7)代入(5)、(6)，消去FN，得 amin?sin??fscos?

cos??fssin?

7-4 图示物体的质量为m，悬挂在刚度系数为k的弹簧上，平衡时弹簧的静伸长为δst。开始时物体离开平衡位置的距离为a，然后无初速度地释放。试对图中各种不同坐标原点和坐标轴列出物体的运动微分方程，写出初始条件，求出运动规律，并比较所得到的结果。 解：(a)受力图(e)，且

mg?k?st (1) Fk?k(?st?x) (2) mx?mg?Fk (3) (1)、(2)代入(3)，得 mx?kx?0

kx?0 (4) mk2记?n?，则

m x?Asin?(nt??) (5)

.... x?..初始条件：t?0时，x?a，x?0 (6) (6)代入(5)，得 xa?asin(t?)； (b)受力图(e) mx?mg?Fk Fk?kx

kx?g mk令?n?，则

m..?

习题7-4图

kmπ2xFkFkxmg.. x?..x

(e)

..mg

(f)

mg k??0 初始条件：t?0时，x?a??st，x x?Asin(?nt??)? xb?asin(kπmg t?)?m2k — 2 —

(c)受力图(f) mx?Fk?mg Fk?k(?st?x) 代入上式，即 mx?kx?0

kx?0 m xc?Asin?(nt??)

.... x?..??0 当t?0时，x??a，x xc??asin(t?)； (d)受力图(f) mx?Fk?mg Fk??kx mx?kx??mg x?....kmπ2..kx??g mmg k??0 当t?0时，x??(a??st)，x x?Asin(?nt??)?xd??asin(kπmg； t?)?m2k

7-5 图示质量为m的平板置于两个反向转动的滑轮上，两轮间的距离为2d，半径为R。若将板的重心推出，使其距离原对称位置O为x0，然后无初速度地释放，则板将在动滑动摩擦力的作用下作简谐振动。板与两滑轮间的动摩擦因数为f。试求板振动的运动规律和周期。

解：1、图(a)

?Fy?0,FN1?FN2?mg (1)

?MO?0,FN2d?FN1d?mgx?0

x d1x由(1)、(2)解得：FN2?mg(1?)

2d1x FN1?mg(1?)

2d1x F1?fFN1?fm(g1?)

2d1x F2?fFN2?fm(g1?)

2d即 FN2?FN1?mg(2)

习题7-5图

oF1FN1mgFN2xF2 F1?F2?mx 即 mx?......fmgx?0 d

(a)

fg x?x?0

d ?n?fg d2π振动周期：T??n?2πd fg — 3 —

运动方程：x?Asin(?nt??)

??0 当t?0时，x?x0，x运动规律：x?x0sin(fgπt?) d2

7-6 图示升降机厢笼的质量m=3×103kg，以速度v=0.3m/s在矿井中下降。由于吊索上端突然嵌住，厢笼中止下降。如果索的弹簧刚度系数k=2.75kN/mm，忽略吊索质量，试求此后厢笼的运动规律。 解：图（a）： ?st?..mgK （1） （2） （3）

习题7-6图

mx?mg?Fk Fk?k(x??st) (1)、(3)代入(2)，得 mx?kx?0

..k x?x?0

m x?Asin?(nt??)

...（4）

klo t=0时，x=0，x?v?0.3m/s （5） 代入(4)，得 x?v?st?nsi?nnt k?m2.75?1063?103?30.3rad/s

（6） （7）

FkO ?n?x..mgx将(5)、(7)代入(6)得

(a)

x?9.9sin(30.3t)（mm，t以秒计）

7-7 质量m=2kg的物体从高度h=0.5m处无初速地降落在长为l=1m的悬臂木梁的自由端上，如图所示。梁的横截面为矩形，高为30mm，宽为20mm，梁的弹性模量E=106MPa。若不计梁的质量，并设物体碰到梁后不回弹，试求物体的运动规律。 解：物体作用在梁端点产生的静变形

mgl3?1.45?10?4m 3EI mg?k?st

?st?（1） （2） （3）

习题7-7图

当量刚度：k?3EIl3

任意位置弹性恢复力 Fk?k(?st?x) 物体运动微分方程 mx?mg?Fk

将(1)、(2)、(3)代入(4)，得 mx?kx?0

..k x?x?0

m令?n?k3EI??260rad/s mml3....（4） （5）

（6） （7）

则理学 x?Asin?(nt??)

— 4 —

当t = 0时，x???st，x?v?2gh?3.13m/s ta?n?? A???n?stv.，???0.012rad ??0.012?stm =12mm ?0.012si?nx?12sin(260t?0.012)mm

7-8 图示用两绳悬挂的质量m处于静止。试问：

1. 两绳中的张力各等于多少？

2. 若将绳A剪断，则绳B在该瞬时的张力又等于多少？ 解：1、图（a） ?Fy?0，FB?2mg ?Fx?0，FA?mg 2、图（b） 绳A剪断瞬时，an?0

?Fn?0，FB?2mg 2

FB FBm mFA45

aτ mgmg习题7-8图

(a) (b)

7-9 质量为1kg的滑块A可在矩形块上光滑的斜槽中滑动，如图所示。若板以水平的等加速度a0=8m/s2运动，求滑块A相对滑槽的加速度和对槽的压力。若滑块相对于槽的初速度为零，试求其相对运动规律。

A ae?a0FIeA

ar o30

FNmg 习题7-9图

(a)

解：滑块A为动点，矩形板为动系，牵连加速度ae?a0，相对加速度ar，A块受力如图（a），其中

FIe?ma0?8N mg?9.8N FIr?mar

由滑块相对“平衡”：

?Fr?0，FIr?FIecos30??mgsin30??43?4.9?11.83N ?FN?0，FN?mgcos30??FIesin30??8.49?4?4.49N

— 5 —

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