精选全国通用2018高考数学大一轮复习第十篇计数原理概率随机变量

第4节 随机事件的概率

【选题明细表】 知识点、方法 随机事件的概念 概率的统计定义 互斥事件、对立事件的概率 题号 1,8,10,14 6,7,15 2,3,4,5,9,11,12,13 基础对点练(时间:30分钟)

1.下列事件:①任取一个整数,被2整除;②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分;③甲乙两人进行竞技比赛,甲的实力远胜于乙,在一次比赛中甲一定获胜;④当圆的半径变为原来的2倍时,圆的面积是原来的4倍.其中随机事件的个数是( B ) (A)1 (B)3 (C)0 (D)4

解析:①②③均是可能发生也可能不发生的事件,为随机事件,④是一定发生的事件,为必然事件.故选B.

2.(2016·湖北联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( D )

(A)“至少有一个黑球”与“都是黑球” (B)“至少有一个黑球”与“都是红球”

(C)“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” (D)“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

解析:A中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系.

3.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别为0.2, 0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( D ) (A)A∪B与C是互斥事件,也是对立事件 (B)B∪C与D是互斥事件,也是对立事件

(C)A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件 (D)A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件

解析:由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一个必然事件,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.

4.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为( C ) (A)0.95 (B)0.97 (C)0.92 (D)0.08

解析:记抽检的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,且和事件概率为1,因而所求概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.

5.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是( A ) (A)至多有一张移动卡 (B)恰有一张移动卡

(C)都不是移动卡 (D)至少有一张移动卡

解析:至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故选A.

6.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150, 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.

根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一人,估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( A ) (A) (B) (C) (D) 解析:从已知数据可以看出,在随机抽取的这20位学生中,身高在155.5～170.5 cm之间的学生有8人,频率为,故可估计在该校高二

年级的所有学生中任抽一人,其身高在155.5～170.5 cm之间的概率 约为 .

7.种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率.种子发芽率的测定通常是在实验室内进行,随机取600粒种子置于发芽床上,通常以100粒种子为一个重复,根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件,再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量,最后计算出种子的发芽率.下表是猕猴桃种子的发芽试验结果:

种子粒数 发芽粒数 发芽率 100 79 79% 100 78 78% 100 81 81% 100 79 79% 100 80 80% 100 82 82%

根据表格分析猕猴桃种子的发芽率约为. 解析:由表格中的数据可知,该猕猴桃种子的发芽率约为80%. 答案:80%

8.传说古时候有一个农夫正在田间干活,忽然发现一只兔子撞死在地头的木桩上,他喜出望外,于是拾起兔子回家了,第二天他就蹲在木桩旁守候,就这样日复一日,年复一年,但再也没有等着被木桩碰死的兔子,原因是.

答案:兔子碰死在木桩上是随机事件,可能不发生

9.甲乙两人下棋,甲不输的概率是0.8,两人下成和棋的概率为0.5,则甲胜的概率为. 解析:设甲胜的概率为P,则由互斥事件至少有一个发生的概率公式得P+0.5=0.8,所以P=0.3. 答案:0.3

10.下列说法:①频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的概率为 ;③频率是不能脱离n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.

其中正确命题的序号为.

解析:根据频率的定义、频率和概率的关系,可知①③④是正确的,其中②中的 只是事件A发生的频率,这个值是依赖于各次不同试验的,但事件A发生的概率是一个确定的值.

答案:①③④

能力提升练(时间:15分钟)

11.导学号 18702573从1,2,…,9中任取两数,给出下列事件:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数. 其中是对立事件的是( C ) (A)①(B)②④(C)③(D)①③

解析:根据题意,从1,2,…,9中任取两数,其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况.依次分析所给的4个事件可得①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”这种情况,不是对立事件;②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,与“两个数都是奇数”不是对立事件;③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,和“两个数都是偶数”是对立事件;④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,不是对立事件.

12.导学号 18702574一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则( D ) (A)A与B是互斥而非对立事件 (B)A与B是对立事件

(C)B与C是互斥而非对立事件 (D)B与C是对立事件

解析:根据互斥与对立的意义作答,A∩B={出现点数1或3},事件A,B不互斥更不对立;B∩C=?,B∪C=Ω,故事件B,C是对立事件.

13.在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.12,在80～89分的概率为0.55,在70～79分的概率为0.15,在60～69分的概率为0.08.则小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率与考试不及格的概率分别是( C ) (A)0.90,0.10 (B)0.67,0.33 (C)0.67,0.10 (D)0.70,0.10

解析:取得80分以上的概率为0.12+0.55=0.67;不及格的概率为1-0.67-0.15-0.08=0.10. 14.已知在10个学生中,男生有x(x≥1)个,现从10个学生中任选6人去参加某项活动.①至少有一个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生.则当x=时①为必然事件;当x=时②为不可能事件;当x=时③为随机事件.

解析:“至少有1个女生”为必然事件,则有x<6;“5个男生,1个女生”为不可能事件,则有x<5或x=10;“3个男生,3个女生”为随机事件,则有3≤x≤7. 答案:①1,2,3,4,5 ②1,2,3,4或10 ③3,4,5,6,7

15.导学号 18702575黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见 下表: 血型 该血型的人数所占的比例 A 28% B 29% AB 8% O 35% 已知同种血型的人可以互相输血,O型血的人可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若他因病需要输血,问: (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?

解:(1)任找一人,其血型为A,B,AB,O型血分别记为事件A′,B′,

C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29, P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.

因为B,O型血可以输给B型血的人,故“任找一个人,其血可以输给 小明”为事件B′∪D′,根据概率加法公式,得P(B′∪D′)= P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.

(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“任找一个人,其血不 能输给小明”为事件A′∪C′,且P(A′∪C′)=P(A′)+ P(C′)=0.28+0.08=0.36.

好题天天练

1.导学号 18702576甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件,那么( B ) (A)甲是乙的充分但不必要条件 (B)甲是乙的必要但不充分条件 (C)甲是乙的充要条件

(D)甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 解题关键:理清事件间的互斥与对立的关系.

解析:两个事件是对立事件,则它们一定互斥,反之不一定成立.

2.导学号 18702577从一副混合后的扑克牌(52张除去大、小王)中,随机抽取1张.事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得黑桃”,则概率P(A∪B)=(结果用最简分数表示). 解题关键:概率的统计定义、互斥事件的概率加法公式.

解析:因为P(A)= ,P(B)= ,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = = . 答案:

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