2016-2017学年重点高中联考高一（下）期末数学试卷

2016-2017学年辽宁省沈阳市重点高中联考高一（下）期末数学

试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）sin（﹣A．﹣

B．

）的值是（ ） C． D．﹣

2．（5分）假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（ ） A．16，16，16 B．8，30，10 C．4，33，11 D．12，27，9 3．（5分）若sinαcosα＞0，cosαtanα＜0，则α的终边落在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

4．（5分）下列说法中正确的个数是（ ）

①事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大； ②事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小； ③互斥事件一定是对立事件，对立事件并不一定是互斥事件； ④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件． A．0

B．1

C．2

D．3

5．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）

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A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？ 6．（5分）在区间为（ ） A． B．

C． D．

上随机取一个x，sinx的值介于

与之间的概率

7．（5分）从随机编号为0001，0002，…，1500的1500名参加这次南昌市四校联考期末测试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（ ） A．1466

B．1467

C．1468

D．1469

8．（5分）若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，…，2+xn，下列结论正确的是（ ） A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3 C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4

9．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）+2（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是（ ）

第2页（共21页）

A．A=3，T=C．A=1，

，φ=﹣ B．A=3，T= D．A=1，

，φ=﹣

10．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b

11．（5分）若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（ ） A．{x|2kπ﹣C．{x|kπ﹣

＜x＜2kπ+＜x＜kπ+

，k∈Z} B．{x|2kπ+

＜x＜2kπ+

，k∈Z}

，k∈Z} D．{x|kπ+＜x＜kπ+）在（

，k∈Z}

，π）上单调递减，

12．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+则实数ω的取值范围是（ ）

A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是 ．

14．（5分）已知函数（fx）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5，用秦九韶算法计算（f5）= ． 15．（5分）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则2sinα+3cosα= ． 16．（5分）①y=tanx在定义域上单调递增； ②若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

；

，

③（fx）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，若则f（sinθ）＞f（cosθ）；

第3页（共21页）

④函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；

其中真命题的序号为 ．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知tan α=2，求下列代数式的值． （1）

；

（2）sin2α+sinαcosα+cos2α．

18．（12分）在某次期末考试中，从高一年级中抽取60名学生的数学成绩（均为整数）分段为[90，100），[100，110），…，[140，150]后，部分频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：

（1）求分数在[120，130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中全年级数学成绩的平均分．

19．（12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．

（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？

（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？

第4页（共21页）

20．（12分）为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖情况，得到如表所示实验数据，若t与y线性相关．

天数t（天） 繁殖个数y（千个） 3 5 4 6 5 8 6 9 7 12 （1）求y关于t的回归直线方程； （2）预测t=8时细菌繁殖的个数．

（参考公式：，，）

21．（12分）已知函数（fx）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为为

．

）

，且图象上一个最低点

（Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）当

，求f（x）的值域．

）（0＜α＜π，ω＞0）为偶函数，

．

22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+α﹣

且函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为（1）求f（

）；

（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横

坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

第5页（共21页）

∴1+x1+1+x2+1+x3+…+1+xn=10n， 即x1+x2+x3+…+xn=10n﹣n=9n，

方差S2=[（1+x1﹣10）2+（1+x2﹣10）2+…+（1+xn﹣10）2]=[（x1﹣9）2+（x2﹣9）2+…+（xn﹣9）2]=2， 则（2+x1+2+x2+…+2+xn）=

=11，

样本2+x1，2+x2，…，2+xn的方差S2=[（2+x1﹣11）2+（2+x2﹣11）2+…+（2+xn﹣11）2]

=[（x1﹣9）2+（x2﹣9）2+…+（xn﹣9）2]=2， 故选：C．

【点评】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算，根据相应的公式进行计算是解决本题的关键．

9．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）+2（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是（ ）

A．A=3，T=C．A=1，

，φ=﹣ B．A=3，T= D．A=1，

，φ=﹣

【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．

【分析】根据三角函数的图象求出A，ω 和φ的值即可． 【解答】解：由图象知函数的最大值为A+2=3，则A=1， 函数的周期T=2×（

﹣

）=

=

，

第11页（共21页）

则ω=，则y=sin（x+φ）+2， 则当x=即sin（则

+φ=

时，y=sin（+φ）=1， +2kπ， +2kπ，

×+φ）+2=3，

则φ=﹣

∵|φ|＜π， ∴当k=0时，φ=﹣故A=1，故选：D

【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据图象分别求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．

10．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【考点】HF：正切函数的单调性．

，

，

【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．

【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°， 由正弦函数的单调性可知b＞a， 而c=tan35°=∴c＞b＞a 故选：C

【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．

11．（5分）若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（ ） A．{x|2kπ﹣

＜x＜2kπ+

，k∈Z} B．{x|2kπ+

第12页（共21页）

＞sin35°=b，

＜x＜2kπ+，k∈Z}

C．{x|kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z} D．{x|kπ+

＜x＜kπ+，k∈Z}

【考点】HA：余弦函数的单调性．

【分析】利用二倍角的余弦公式可得cos2x＜0，所以，k∈Z，从而得到x的范围．

【解答】解：由sin2x＞cos2x得cos2x﹣sin2x＜0，即cos2x＜0，所以，2x＜∴kπ+

+2kπ，k∈Z， ＜x＜kπ+

，k∈Z，

+2kπ＜

+2kπ＜2x＜

+2kπ，

故选D．

【点评】本题考查二倍角的余弦公式的应用，以及余弦函数的图象性质．

12．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+则实数ω的取值范围是（ ）

A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2] 【考点】H5：正弦函数的单调性．

）在（，π）上单调递减，

【分析】由条件利用正弦函数的减区间可得 ，由此求得实数

ω的取值范围．

【解答】解：∵ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+

）在（

，π）上单调递减，则

，

求得≤ω≤， 故选：A．

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

第13页（共21页）

13．（5分）已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是 （π﹣2）rad ． 【考点】G7：弧长公式．

【分析】由题意，本题中的等量关系是扇形的周长等于弧所在的圆的半周长，可令圆心角为θ，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角．

【解答】解：令圆心角为θ，半径为r，弧长为l 由题意得2r+l=πr ∴l=（π﹣2）r ∴θ==π﹣2

故答案为：（π﹣2）rad．

【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，且能利用公式建立方程进行运算，本题考查对公式的准确记忆能力

14．（5分）已知函数（fx）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5，用秦九韶算法计算（f5）= 4485 ． 【考点】EL：秦九韶算法．

【分析】利用秦九韶算法计算多项式的值，先将多项式转化为f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（5x+4）x+3）x+2）x+1）x的形式，然后求解即可． 【解答】解：f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5=（（（（x+2）x+1）x﹣1）x+3）x﹣5 则f（5）=（（（（5+2）5+1）5﹣1）5+3）5﹣5 =4485．

故答案为：4485．

【点评】本题考查算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键，本题是一个比较简单的题目，运算量也不大，只要细心就能够做对．

15．（5分）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则2sinα+3cosα= 【考点】G9：任意角的三角函数的定义．

．

【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+3cosα的值．

第14页（共21页）

【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴x=4，y=﹣3，r=|OP|=5， ∴sinα==﹣，cosα==，∴2sinα+3cosα=2?（﹣）+3?=， 故答案为：．

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

16．（5分）①y=tanx在定义域上单调递增； ②若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

；

，

③（fx）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，若则f（sinθ）＞f（cosθ）； ④函数y=4sin（2x﹣

）的一个对称中心是（

，0）；

其中真命题的序号为 ②③④ ．

【考点】2K：命题的真假判断与应用；3F：函数单调性的性质；3J：偶函数；H6：正弦函数的对称性．

【分析】由正切函数的单调性，可以判断①真假；根据正弦函数的单调性，结合诱导公式，可以判断②的真假；根据函数奇偶性与单调性的综合应用，可以判断③的真假；根据正弦型函数的对称性，我们可以判断④的真假，进而得到答案． 【解答】解：由正切函数的单调性可得①“y=tanx在定义域上单调递增”为假命题； 若锐角α、β满足cosα＞sinβ，即sin（故②为真命题；

若f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，则函数在[0，1]上为减函数， 若

，则0＜sinθ＜cosθ＜1，则f（sinθ）＞f（cosθ），故③为真命题；

﹣α）＞sinβ，即

﹣α＞β，则

，

由函数y=4sin（2x﹣）的对称性可得（，0）是函数的一个对称中心，故④为真命题；

故答案为：②③④

【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数单调性的性质，偶函数，正弦函数的对称性，是对函数性质的综合考查，熟练掌握基本初等函数的性

第15页（共21页）

质是解答本题的关键．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知tan α=2，求下列代数式的值． （1）

；

（2）sin2α+sinαcosα+cos2α．

【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．

【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值． （2）把要求的式子的分母看成1，再利用同角三角函数的基本关系化为关于正切tanα的式子，从而求得它的值． 【解答】解：（1）

=

=

．

（2）

sin2α+

sin αcos α+

cos2α=

=

=．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．

18．（12分）在某次期末考试中，从高一年级中抽取60名学生的数学成绩（均为整数）分段为[90，100），[100，110），…，[140，150]后，部分频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：

（1）求分数在[120，130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中全年级数学成绩的平均分．

第16页（共21页）

【考点】B8：频率分布直方图．

【分析】（1）先求出分数在[120，130）内的频率，由此能补全这个频率分布直方图

（2）由频率分布直方图能求出平均分的估计值． 【解答】解：（1）分数在[120，130）内的频率为： 1﹣（0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3，

=

，

补全这个频率分布直方图如右图． （2）由频率分布直方图得： 平均分的估计值为：

95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05 =121．

【点评】本题考查频率、平均分的估计值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．

19．（12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁

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边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．

（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？

（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？

【考点】C1：随机事件；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法． （2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为2个黄球1个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率．

（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果．

【解答】解：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个

（1）事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123： P（E）=

=0.05

（2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个， P（F）=

=0.45

（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}， P（G）=

（4）=0.1，

假定一天中有100人次摸奖，

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由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次． 则一天可赚90×1﹣10×5=40，每月可赚1200元

【点评】本题是一个通过列举来解决的概率问题，是一个实际问题，这种情景生活中经常见到，同学们一定比较感兴趣，从这个题目上体会列举法的优越性和局限性．

20．（12分）为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖情况，得到如表所示实验数据，若t与y线性相关．

天数t（天） 繁殖个数y（千个） 3 5 4 6 5 8 6 9 7 12 （1）求y关于t的回归直线方程； （2）预测t=8时细菌繁殖的个数．

（参考公式：，，）

【考点】BK：线性回归方程．

【分析】（1）求出回归系数，即可求y关于t的回归直线方程； （2）当t=8时，求出y，即可预测t=8时细菌繁殖的个数． 【解答】解：（1）由已知=5，=8，则5?=200，52=125， =

=1.7所以=﹣0.5，

所以y关于t的回归直线方程y=1.7t﹣0.5； （2）当t=8时，y=1.7×8﹣0.5=13.1（千个）．

【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

21．（12分）已知函数（fx）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为为

．

）

，且图象上一个最低点

第19页（共21页）

（Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）当

，求f（x）的值域．

【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H4：正弦函数的定义域和值域．

【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．

（2）根据x的范围进而可确定当

的范围，根据正弦函数的单调性可求得

函数的最大值和最小值．确定函数的值域． 【解答】解：（1）由最低点为由x轴上相邻的两个交点之间的距离为即T=π，由点故又（2）∵当即

=

，即，∴

，∴

得A=2． 得=

，

在图象上的

∴

时，f（x）取得最大值2；当

时，f（x）取得最小值﹣1，

故f（x）的值域为[﹣1，2]

【点评】本题主要考查本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式的问题及正弦函数的单调性问题．属基础题．

22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+α﹣

）（0＜α＜π，ω＞0）为偶函数，

．

且函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为（1）求f（

）；

第20页（共21页）

（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横

坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】（1）由f（x）为偶函数求出α，由周期性求得ω，可得函数的解析式，从而求得f（

）的值．

（2）由条件利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos（x﹣

），再根据余弦函数的单调性求得g（x）的单调递减区间．

）（0＜α＜π，ω＞0）为偶函数，．

，可得

=2×

=π，∴

【解答】解：（1）由函数f（x）=2sin（ωx+α﹣可得 α﹣

=kπ+

，k∈z，即α=kπ+

∴α=

由函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为ω=2，f（x）=2sin（2x+∴f（

）=2cos

=

．

）=2cos2x，

（2）将函数y=f（x）的图象向右平移=2cos（2x﹣

）的图象；

个单位后，可得函数y=2cos2（x﹣）

再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2cos（x﹣令2kπ≤﹣减区间为[4kπ+

）的图象．

≤x≤4kπ+

，故函数g（x）的

≤2kπ+π，k∈z，求得4kπ+，4kπ+

]，k∈z．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的奇偶性和单调性，属于基础题．

第21页（共21页）

（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横

坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】（1）由f（x）为偶函数求出α，由周期性求得ω，可得函数的解析式，从而求得f（

）的值．

（2）由条件利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos（x﹣

），再根据余弦函数的单调性求得g（x）的单调递减区间．

）（0＜α＜π，ω＞0）为偶函数，．

，可得

=2×

=π，∴

【解答】解：（1）由函数f（x）=2sin（ωx+α﹣可得 α﹣

=kπ+

，k∈z，即α=kπ+

∴α=

由函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为ω=2，f（x）=2sin（2x+∴f（

）=2cos

=

．

）=2cos2x，

（2）将函数y=f（x）的图象向右平移=2cos（2x﹣

）的图象；

个单位后，可得函数y=2cos2（x﹣）

再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2cos（x﹣令2kπ≤﹣减区间为[4kπ+

）的图象．

≤x≤4kπ+

，故函数g（x）的

≤2kπ+π，k∈z，求得4kπ+，4kπ+

]，k∈z．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的奇偶性和单调性，属于基础题．

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