-初中数学竞赛辅导资料20

初中数学竞赛辅导资料20

第二十课乘法公式的应用

例1计算： （1）（1+2）（1+22）（1+24）…（1+232）+1；（2）（19924+19923+19922+1993）×1991+1 解：（1）原式=（1+2）（1+22）（1+24）…（1+232）×（1-2）÷（1-2）+1

=-（1+22）（1+23）（1+24）…（1+232）+1… …=1-+264+1=264

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（2）设x=1992，原式=（x+x+x+x+1）（x-1）+1=x=1992。

例2（1988年上海市初中数学竞赛试题）已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2。 解1：由x3+y3=（x+y）3-3xy×10，?xy=30。x2+y2=（x+y）2-2xy=102-2×30=40 解2：由x+y=10，得x2+2xy +y2=100，……①由x3+y3=100，得x2+y2- xy=10……②

①-②，得3xy=90，?xy=30，∴x2+y2=10+xy=40

想一想 例2的两个分析，哪个用的是分析法，哪个用的是综合法。

例3设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2，n=c2+d2。试将mn表示成两个整数的平方和的形式。

解：mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（a2c2+2abcd+b2d2）+（b2c2-2abcd+ a2d2）

=（ac+bd）2+（ac-ad）2。 例4计算：（b+c-2a）3+（c+a-2b）3+（a+b-2c）3-3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c） 解：设x=b+c-2a，y=c+a-2b，z=a+b-2c， ∴原式=x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）=0 例5设（2x-1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0。 求：（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5；（2）a0-a1+a2-a3+a4-a5；（3）a0+a2+a4。 解：（1）令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，……①

（2）令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243，……②

而①+②得 a0+a2+a4=

1（1-243）=-121 2练习

1、填空题： （1）（32+1）（34+1）…（364+1）×8+1= ； （2）（1+22+23+24+…+232）+1= ；

（3）若（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a-b+c-d+e-f= 。 2、解答下列问题：

11=3，求（a+）2的值； aa1（2）若x2-3x+1=0，求x3+3的值；

x11（3）若x+=-1，求x1000+1000的值；

xx（1）若a-（4）若x+y=1，x2+y2=2，求x7+y7的值；

3、已知：（y-z）2+（x-y）2+（z-x）2=（y+z-2x）2+（z+x-2y）2+（x+y-2z）2， 求

(yz?1)(zx?1)(xy?1)的值。（84年重庆市初中数学竞赛题） 222(x?1)(y?1)(z?1)4、已知x-

112=2，求x3-3+-2x的值。（1990年四川初中数学联赛题） xxx5、把（x2-x+1）6展开后，得a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，求a12+a10+a8+a6+ a4+a2+a0

的值。

6、已知

112x?3xy?2y-=3，求的值。（1984年武汉初中数学竞赛试题） xyx?2xy?y答案与提示

1．（1）3128；（2）232-2；（3）-32（提示：令x=-1）

1221112

）=α+2+2，将α-=3两边平方得α+2=11） aaaa1111（2）18；（提示：由条件得x+=3，所以）x3+3=（x+）3-3（x+）=16。）

xxxx2．（1）13；（提示：（α++

（3）-1；（提示：由条件，得x2+x=-1，x3+x2+x=0，即x3=1，

∴原式=（x3）333·x+

11= x+=-1） 3333x(x)?x（4）71/8；（提示：由题设得xy=-1/2，x3+y3=5/2，x4+y4=7/2，

∴x7+y7=（x3+y3）（x4+y4）-（xy）3（x+y）=71/8。） 3、1．（提示：由题设展开、整理并配方得：（x+y）2+（y-z）2+（z-x）2=0，由非负性得x=y=z）

4、10．（提示：已知两端正方，得x3-3x+

311-3=8，所以，原式=8+（x-）=8+2=10）。 xxx5、365．（提示：令x=±1）

6、3/5．（提示：由题设可得x-y=-3 xy）

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