高中数学教材的合理运用

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高中数学教材的合理运用

摘要：高中数学课程的改革已经全面展开，高中数学教材也经过了修订，但在使用人教版数学教材时，笔者发现该教材及教学参考用书的几个问题仍值得反思，例如，例题、习题的解答方法的不严谨、教材中一些定义的不严谨等．为了教师能更好的适应新课程要求的教学理念要求，学生能更好地使用新教材，笔者对该书中值得探讨的几个问题进行简要分析．

关键词：高中数学教材；分析；修正；合理运用

1问题的提出

数学新课程的实施、新教材的使用，带给我们的是压力与挑战．在教学实践中，面对焕然一新的教科书，我们有喜悦，也有困惑和质疑．不论选用哪一个版本的教材，都会有它的优势与瑕疵．因此，需树立“用教材教，而不是教教材”的观念，弄清楚教材编写的理念与意图，积极面对困难和挑战，寻找对策，探索实现高中数学课程目标的有效途径．也就是说，我们应该充分合理的运用高中数学教材．因为合理运用高中数学教材不仅能够使教师更好的向新课程要求的教学理念进行转变，而且能够帮助学生打好基础，发展能力，从而更好地使用新教材．

2高中数学人教版教材的特点分析

2.1以学生为本，促进学生形成丰富的学习方式

教育必须以学生的发展为本，学生学习方式的改变是课程改革的重中之重．因此使学生学会学习，形成丰富的学习方式，为终身学习和终身发展打下良好的基础，是高中数学课程追求的基本理念【1】．教材编排的结构体系能够引导学生针对不同的学习内容，采用不同的学习方式．

2.2注重学生数学思维能力的提高

数学教育的基本目标之一就是提高学生的数学思维能力，进而培养理性精神．教材在内容的设 计上，能够在学生已有的经验基础上，引导学生经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程．例如在《常用逻辑用语》一章的例题与习题设计上，重视培养学生正确使用逻辑语言进行数学描述、判断和推理的能力；在《导数》的第一节设置了“变化率”，通过“气球膨胀率”和“高台跳水”两个问题，让学生经历直观感知进而抽象概括出导数的概念的过程和方法，进而又用学生已经熟悉“高台跳水”问题去研究导数的几何意义、函数的单调性与导数等问题；在研究《圆锥曲线》和《导数》的过程中，总是辅以图像或引导学生动手作图，不断渗透数形结合思想；《推理与证明》、《框图》中非常丰富的例子，有效促进学生思维能力的提高的好素材．

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2.3注重学生应用意识的发展

数学来源于实际生活，并在生活实践中有着广泛的应用。在近年不断深化的数学课程改革中，数学的应用意识得到了充分的重视【2】。这一点在教材中也得到充分的体现：数学应用贯穿教材的始终．通过丰富的实例，从实际背景引出数学新知识．例如从对大学生身高与体重的相关性研究实例得出回归分析的方法；从吸烟与患肺癌的关系引出独立性检验的方法；从气球膨胀率和高台跳水问题抽象出导数概念等等。这样强调数学概念的形成背景，使学生感受数学知识发生、发展的来龙去脉，从而激发学生的学习兴趣，体会到数学的作用、数学与生活及其他学科的联系．在例题、习题中都适当增加了相关的应用问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力．教材设置的“实习作业”（统计活动），使学生在实践、探究的过程中学会应用，从而使应用意识得到进一步发展．

2.4渗透数学史，体现数学的文化价值

数学是人类文化的重要组成部分，课程应帮助学生了解数学的历史、应用及发展趋势．教材中的“阅读与思考”、“探究与发现”等栏目，正是体现了这一理念．例如“牛顿法——用导数方法求方程的近似解”使学生了解科学家的伟大成就，并且更深刻的体会导数的应用价值；《推理与证明》中的“科学发现中的推理”，使学生通过阅读科学史实了解合情推理和演绎推理对科学发现的重要作用和贡献．

2.5注重信息技术与数学课程的整合

利用信息技术可以提高课堂教学效率，呈现以往教学中难以呈现的课程内容，有利于学生更好的认识数学的本质．教材在便于使用信息技术的地方，都提出了有用的使用建议，设置了“信息技术应用”栏目，例如：“用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆”、“用《几何画板》研究双曲线的渐近线”、“用《几何画板》研究抛物线”、“图形技术与函数性质”等等．

3高中数学教材的合理运用

3.1正确使用教材

正确使用教材首先要理解编者意图，在教学中教师需深入学习《高中数学课程标准》和教师用书．例如必修1“单调性与最大（小）值”一节内容的设计：编者首先让学生观察一次函数和二次函数图像的上升、下降趋势，获得直观感知，再列出函数对应值表，思考如何用语言来表述函数图像的上升、下降趋势呢？最后让学生思考如何将自然语言转换成精确的数学语言（符号语言）．笔者的感受是这样的过程更符合学生的认知水平．学生经历了由几何直观→自然语言表述→符号表述的抽象过程，培养了学生的抽象思维能力．新教材增加了列出函数对应值表，并在语言的运用上使学生更容易理解，作为教师我们一定要能理解编者的设计意图，从而让学生充分的经历概念的形成过程．同样在选修2-2“变化率与导数”一节内容的设计更能体现过程性和思维性，本节中教材首先通过气球膨胀率和高台跳水两个案例引入平均变化率概念，通过平均变化率不能很好的描述物体的运动状态而进一步引入瞬时速度并让学生了解在实际中瞬时速度的运用．其次再提出如何求瞬时速度，结合课本表格，让学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程，体会“无限逼近”的数学思想．再次结合求出的t=2时的瞬时速度进而引进瞬时变化率的概念，最后形成导数的定义，明确瞬

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时变化率导数．在教学过程中教师需正确理解编者的意图，不可以随意省略重要过程而直接给出结论．

3.2灵活处理教材

面对教材中有的内容，例如必修3“几何概型”中第137页例2的分析，备课组的老师认为学生不好理解，笔者认为学生难理解之处是为什么要设两个变量及构造平面直角坐标系．针对这个问题，将分析过程改为以下五个小问题：

1、根据题中条件你能判断这是一个什么概型？

2、父亲离家前能得到报纸与什么时间有关？

3、根据几何概型定义，应当制造概型的长度、面积还是体积？

4、如何做出试验所有结果构成的区域？

5、父亲离家前得到报纸这一事件构成的区域是怎样的？

如此一来，学生就能理解为什么要设两个变量及构造平面直角坐标系了，而且还知道什么时候构造长度、面积和体积，教学效果很好． 又如，选修2-2 1.6节“微积分基本定理”中为了引出微积分基本定理，设置了第51页关于微积分定义的研究，而后又从定积分的定义出发，经过分割、近似代替、求和、取极限求出了物体的位移，整个过程非常严谨．但是我以为有些繁琐，因为通过前面的学习，学生应当知道导数的物理意义：若位移s(t)是关于t函数，则其导数即为v(t)，我就直接从导数的物理意义得出．这样学生容易理解。作为教师要灵活处理教材，而不能拘泥于教材．

3.3敢于质疑教材

3.3.1教材中情境材料存在的问题

（1）必修2【4】[3]第4.2节“直线、圆的位置关系”的引入问题：一艘轮船在沿直线返回港中的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 ㎞处。受影响的范围是半径为30㎞的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40㎞处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

笔者认为该问题的背景不太切合实际，理由如下：

轮船的航速一般为20-30㎞∕h，而沿直线返港的距离约为80㎞，从当前位置到港口约为3～4小时，而台风中心在这个时间段内是会转移的，往什么方向转移？以多快的速度转移？这样台风中心影响的范围是一个移动的圆形区域，不能建立定圆和直线位置关系的数学模型．因此不能确定台风中心方向和速度的前提下无法判断轮船是否会受到影响．笔者将其改为如下问题：一个小岛的周围有环岛暗礁，分布在以岛的中心为圆心，半径为30㎞的圆形区域的圆形区域．已知小岛中心位于轮船正西70㎞处，港口位于小岛中心正北40㎞处．如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？

(2)必修3【3】中的第2.2.1节“用样本的频率分布估计总体分布“引入的探究问题：“我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．如果希望大部分居民的生活不受影响，那么标准a定位多少比较合理呢？”

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接下来教材中又写道：“很明显，如果标准过高，会影响居民的正常生活；如果标准太低，则不利于节水．”

笔者认为此处的“标准”应该指用水量标准a，那么文中体现出的含义与实际恰相反，建议改为：如果标准太过，不利于节水；如果标准太低，则会影响居民的日常生活．

3.3.2教材中概念的定义存在的问题

【5】（１）人教版高中数学选修2-11.3.3节中对存在p定义为：一般的，对一个命题p全盘否

定，就得到一个新命题。全盘否定时怎么定义？我请教过语文老师，他们的理解是对命题p：“若想x y 0,则x=y=0”的否定为“若x y 0,则x、y全不为0”但是这样就与课后阅读材料中的“是”与“补”对应相矛盾了，因为x、y全不为0不是x,y全为0的补集，其补集应为x,y不全为0.

（２） 教科书中关于双曲线的定义

教材【4】2222第104页中关于双曲线的定义是：“我们把平面内与两个定点 F1F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．笔者认为这个定义中的“常数”不够严谨，如果这个常数为零，则动点表示线段F1F2的中垂线．因此这里的“常数”改为“非零常数”，双曲线的定义就十分严谨了．

（３） 教科书中关于抛物线的定义

教材【4】第115页中关于抛物线的定义是：平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线．

笔者认为，抛物线的定义中的定点F不能在直线L上．若定点F在直线L上，则平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于L的直线．抛物线的定义应改为：“平面内与一条定直线L和直线L外一个定点F的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线”，则抛物线的定义就比较严谨了．

3.3.3教材中例题存在的问题

（１）人教版高中数学选修2-1【5】1.4节中例题3，磁盘的最大存储量问题中，关于磁道

的条数计算条件是：存储区的半径介于r与R之间，磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息．据此教材认为磁道的条数最多可达

此问题要分两种情况： R r. m

R r; m 1

R r 2) 当R-r恰能不被m整除时，磁道条数最多为. m 1）当R-r恰能被m整除时，磁道条数最多为

（２） 教科书中求圆的切线方程的例题解答

教材【4】第75～76页中关于圆的切线方程的题目和解答如下：

222题目：已知圆的方程x y r,求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程．

解：如图一，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1，

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因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是k=-1， k1

∵k1 y0x,∴k 0． x0y0

x022(x x0),整理得x0 x y0 y x0 y0． y0

22 经过点M的切线方程是y y0 222 因为点M（x0,y0）在圆上，所以x y r，所以所求切线方程是x0 x y0 y x0 y0．

当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用．

上面的解答不够严谨，因为不讨论直线的斜率是否存在，就得出切线的方程的做法过于直接．下面笔者就本题给出两种做法：

做法一：1）当点M（x0,y0）不在坐标轴上时，直线OM和切线L的斜率均存在．

设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1

因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是k=-1 k1

∵k1 y0x,∴k 0． x0y0

x022(x x0), 整理得 x0 x y0 y x0 y0 y0

2222经过点M的切线方程是y y0 因为点M（x0,y0）在圆上，所以x y r，所以所求切线方程是x0 x y0 y r．

2）当点M在坐标轴上时，直线OM和切线L的斜率有一个不存在。可以验证上面方程同样适用．

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有(1)(2)知，经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程是x0 x y0 y r．

解法二：设P（x,y）为切线L上异于M（x0,y0）的任意一点，则向量OM (x0,y0)，向量2MP (x x0,y y0)

∵OM⊥L,即向量OM⊥向量MP． ∴(x x0,y y0) (x0,y0) 0,即x0 x y0 y x0 y0

2又因为点M（x0,y0）在圆上，所以x0 y0 r,所以所求切线方程是x0 x y0 y r． 22222

解法一用传统的分类讨论方法，给出了完整的解答；解法二用了向量法，避免了分类讨论斜率的存在与否，使解题过程得到简化．解法一的特点是分类仔细，学生容易掌握，不过解答过程稍显复杂；而解法二的特点是简洁，真正做到言简意赅．

（３）教科书中判断曲线的轨迹的例题解答

教材第103～106页中关于判断曲线的轨迹的例3的题目和解答如下：

题目：一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．爆炸点应在什么样的曲线上？

解：1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上．

因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上．

我们从以上的解答中不难发现，“爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上”．但是A、B两处的距离未知，若A、B两处的距离刚好是声音传播两秒的距离，则爆炸点就不可能在双曲线上．所以笔者给出以下解答方法供大家参考：

解：（1）不妨设声速为340m/s（不同的温度、海拔高度不同的条件下声速不同），爆炸点为P．因为在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，所以声音在2s里传播的距离为680m，即∣PA∣-∣PB∣=680m．

1)当∣AB∣>680m时，∣PA∣-∣PB∣=680m<∣AB∣,因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上．又因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上．

2)当∣AB∣=680m时，∣PA∣-∣PB∣=∣AB∣，爆炸点应在线段AB的延长线上．所以爆炸点的轨迹为线段AB的延长线．

3) 当∣AB∣<680m时, ∣PA∣-∣PB∣=680m>∣AB∣,由绝对值不等式的性质知：∣PA∣-∣PB∣≦∣AB∣，与上式矛盾，此时不存在爆炸点，所以︳AB∣<680m不成立．

综上所述，当∣AB∣>680m时，爆炸点应在靠近B处的一支双曲线上；当∣AB∣=680m时，爆炸点应在线段AB的延长线上．

3.3.4教材中练习题存在的问题

（1）在必修2【4】[4]中第2.3.4节“平面与平面垂直的性质”的课后练习题第2题中：已知两个平面垂直，下列命题：

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．

②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．

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其中真命题应为②，①③④都不正确，而教师教学用书上却认为有两个命题为真．其实④中过平面内任一点作交线的垂线不一定在该平面内，所以不一定与另一平面垂直．

(２)选修2-2【5】教材1.5.2节中第42页的思考：汽车做变速直线运动，在时间t的速度为v(t) t2 2(t的单位：h，v的单位：㎞/h)在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s是多少？教材中求出来是3/5㎞．

笔者认为此结果不太切合实际，应当将速度-时间函数关系式略做修改，或将题中的“汽车”改为“质点”．

【4】（３）教材第82页第9题第（3）小题的题目如下：

把下列参数方程化成普通方程（其中t、 是参数）： a1 x (t ) 2t

y b(t 1) 2t

教学参考书【2】x2y2的答案如下：2 2 1． ab

笔者认为，此答案也不够严谨。题目并没有规定未知数a、b不等于零，所以应对未知数a、b分类讨论．

解：（1）当 a 0时，可化为x=0(y R); b 0

(2)当 a 0时，可化为y=0(︱x︳≥︱a︳)； b 0

a 0时，可化为x=0且y=0;

b 0 （3）当

1 2t t ...............(1) a 0 at （4）)当 时，得 ， b 02y1 t ...............(2) at

x2y2

由（1）、（2）两式平方相减得2 2 1． ab

（４）教材

迹方程．

教学参考书第83页的答案如下：

解：如图2，设∠MBA= , ∠MAB= （ >0, >0）,点M的坐标为（x,y）． 【5】【4】第133页B组第5题的题目如下： 两定点的坐标分别为A（-1，0），B（2，0），动点M满足条件∠MBA=2∠MAB，求动点M的轨

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x

图2

∵ =2 ，∴tan = tan2 =2tan ． 21 tan

当点M在x轴上方时，tan =-yy，tan =， x 2x 1

2y

y1 x所以-=-，即3x2-y2=3. 2x 2y1 2（x 1）

yy当点M在x轴下方时，，tan =，tan =-，仍得到上面方程． x 2x 1

又 =2 ，∴︱AM︱>︱BM︱。因此，点M一定在线段AB垂直平分线的右侧，所求的轨迹方

程为双曲线3x2-y2=3的右支，且不包括x轴上的点．

笔者认为，上面的解答缺乏理论依据．从题目中并没有得到∠MBA=2∠MAB 0，为什么所求曲

线方程对应的曲线不包括x轴上的点呢？所以笔者认为本题应考虑两类情况进行求解

（１） 当∠MBA=2∠MAB=0时，所求轨迹方程为y=0(-1<x<2)．

（２） 当∠MBA=2∠MAB 0时，见上面的参考答案．

下面是另一种解法：

解法二：（如图3）（1）若点M在线段AB的内部，显然满足∠MBA=2∠MAB=0，所

以此时所求的轨迹方程为y=0(-1<x<2)．

（1） 若点M不在x轴上时，如图3过AB的中点P（【13】： 1，0），作PD⊥AB，作MC⊥PD，连接BD． 2

∵DA=DB,∴∠DAP=∠DBP,又∵∠MBA=2∠MAB，∴∠ABD=∠MBD．

1ABMCAPAB MD由⊿MCD～⊿ADP及三角形内角平分线的性质

, MC , MDADAD2AD

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则MBMDAB MDMB , MB , 2． ABADADMC

图3

因此点M在准线为x=1，焦点为B（2，0），离心率e=2的双曲线的右支上．设动点M（x,y），2

(x 2)2 y21 2，整理得3x2-y2=3（x>）． 则12x 2

综上所述，动点M的轨迹方程是y=0(-1<x<2)或3x2-y2=3（x>1）． 2

本题解法一是直译法，即直接利用已知条件∠MBA=2∠MAB，并将已知转化为tan = tan2 ,从而借助斜率公式得轨迹方程．解法二是几何法，即利用图形的几何性质先判断出所求轨迹的形状，再利用双曲线的第二定义求出轨迹方程．

因此，在教学过程中应当恰当使用教材，把教材的作用充分发挥出来．

4有待进一步研究的问题

在数学教学中，教师心中时时刻刻存有“一切有利于学生获得数学上的全面、健康、和谐、可持续发展”的宗旨，深入研究教材，灵活运用教材，并发现教材中的不合理之处，从而通过创造性地运用教材，提升课堂教学质量．

【参考文献】

[1]张唯一、李海东.高中数学课标教材使用情况调查与研究[J].数学通报，2009

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[4]人民教育出版社中学数学室. 全日制普通高级中学教科书（必修）数学（第二册，上）[M]. 北京：人民教育出版社，2002

[5]人民教育出版社中学数学室.教师教学用书（高中数学第二册上）[M].北京：人民教育出版社，2003.5

[6]人民教育出版社中学数学室．全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）[Ｍ]．北京：人民教育出版社，２003．

[7]人民教育出版社中学数学室．全日制普通高级中学教科书数学第二册（选修）[Ｍ]．北京：人民教育出版社，2004．

[8]人民教育出版社中学数学室．全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）[Ｍ]．北京：人民教育出版社，2003．

[9]人民教育出版社中学数学室．全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（下Ａ）[Ｍ]．北京：人民教育出版社，2004．

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[12]黄凯. 浅谈如何在高中数学教学中开展探究性学习[J]. 现代阅读（教育版）.2012（04）

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The rensonable use of high school mathematics teaching material

Abstract: The high school mathematics curriculum reform is in full swing, the revision after the high school mathematics teaching material also, but when user version of mathematics teaching material, the author found several problems of the teaching materials and teaching reference book is worth reflection, for example, examples and exercises some teaching materials in the solution method is not rigorous, loosely defined, etc. In order to teachers can better adapt to the new curriculum demands of teaching idea, students can better use the new teaching material, the author of the book is worth to discuss several problems are briefiy analyzed.

Key words: High school mathematics teaching material; Analysis; Correction; Reasonable use

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Teaching material analysis is one aspect of teacher professional development, And it is the guarantee of optimizing classroom teaching value and scientific completes the teaching material analysis can effectively promote the construction of teaching materials, promote the development of mathematics education. Through the teaching material analysis, analysis of the intention of the writing, which are integrated into the teaching thought, for example, advocated \"active\", strengthening interactive teaching and learning, advocating \"problem teaching\", lets the student participate in the process of knowledge formation and cooperative learning, and so on, excavating teaching material value and hidden behind the rich precious mathematical thinking in the teaching material. Delve into teaching material carefully, and understand the teaching material, let the classroom teaching guided by the new teaching idea, \"use textbooks taught\", use textbooks, improve the effect of classroom teaching, through classroom feedback to promote construction of teaching material. Used for classroom teaching practice, teaching material analysis test analysis results, practice and feedback opinion, to strengthen the teaching of a line contact with education, maths theory, maximize the value of teaching materials.

中文翻译：

教材分析是教师专业成长的一个方面,是优化课堂教学的保证,重视并科学做好教材分析能有效推动教材建设,促进数学教育的发展.通过教材分析,分析编写的意图,其中所融入的教学思想,例如提倡“主动”教与学、加强互动、倡导“问题教学”、让学生参与知识的形成过程以及合作学习等等,挖掘教材背后的价值和隐藏在教材中的丰富的宝贵数学思想.仔细钻研教材,吃透教材,让新的教学理念指导课堂教学,“用教材教”,活用教材,提升课堂教学效果,通过课堂反馈推动教材建设.教材分析用于课堂教学实践,实践检验分析成果,并反馈建设意见,加强一线教学与教育界、数学界理论的联系,实现教材价值的最大化.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j7f1.html