（道正编）上海市重点中学重要考题精选及精解(3)4.20

（道正编）上海市重点中学重要考题精选及精解（3） 1、（16分）已知数列?an?中，a1?1,且点P?an,an?1??n?N??在直线x?y?1?0上. （1）求数列?an?的通项公式；

（2）若函数f(n)?1111?n?N,且n?2?,?????n?a1n?a2n?a3n?an

求函数f(n)的最小值；

1,Sn表示数列?bn?的前n项和．试问：是否存在关于n的整式g?n?，使得 anS1?S2?S3???Sn?1??Sn?1??g?n?对于一切不小于2的自然数n恒成立？ 若存在，写出g?n?的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。 解：（1）由点P(an,an?1)在直线x?y?1?0上，

（3）设bn?即an?1?an?1，-----------------------------------------------2分 且a1?1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列

an?1?(n?1)?1?n(n?2)，a1?1同样满足，所以an?n （2）f(n)?--------4分

111???? n?1n?22n11111????? f(n?1)?---------------------6分 n?2n?3n?42n?12n?2111111?????0 f(n?1)?f(n)?2n?12n?2n?12n?22n?2n?17 所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f(2)?--------------------10分

1211111（3）bn?，可得Sn?1?????，Sn?Sn?1?(n?2)-------12分

n23nn

nSn?(n?1)Sn?1?Sn?1?1，

(n?1)Sn?1?(n?2)Sn?2?Sn?2?1 S2?S1?S1?1

nS?S1?S1?S2?S3???Sn?1?n?1

相加得：nS1?S2?S3???Sn?1?nSn?n?n(Sn?1)，n≥2------------------15分 所以g(n)?n。

故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立。----16分 2．（本题14分）（第（1）小题6分，第（2）小题8分）

设数列?an?是等差数列,a5=6

⑴ 当a3=3时,在数列?an?中找一项am,使a3,a5,am成等比数列，求m的值； ⑵ 当a3=2时,若自然数nt（t=1,2,3,?）,满足5

a3,a5,an1,an2?,ant?成等比数列,求数列?nt?的表达式

解:⑴ 由于a5=a3+2d 所以d=

33 am= a3+（m－3）d =（m－1） 22

3? a3、a5、am成等比数列 ?36=3×（m－1） ?m=9.

2 ⑵ 由a3=2, a5=6, ?d=2 ?an= a3＋（n－3）d = 2n－4

又 公比q=

a5?3 ? ant=2×3t?1 a3?2nt－4=2×3t?1 ? nt=3t?1+2.

3. （本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知各项均不相等的正项数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn. （1）若{an},{bn}为等差数列，求证：limanS?limn.

n??bn??Tnn（2）将（1）中的数列{an},{bn}均换作等比数列，请给出使lim条件.

anS?limn成立的

n??bn??Tnn[证明]（1）设{an},{bn}的公差分别为d1,d2（d1,d2均不为0），则

ana?(n?1)d1d1?lim1?, …………………………………………4分 x??bx??b?(n?1)dd2n12n(n?1)na1?d1Snd2limlim?1, x??Tx??n(n?1)d2nnb1?d22aS所以limn?limn.………………………………………………………8分

x??bx??Tnn[解]（3）设{an},{bn}的公比分别为q1,q2（q1,q2均为不等于1的正数），则 limlimanaq?limn??bbqnn?111n?1n??12??q?a1lim?1?b1n???q2?n?1?a1?(q1?q2),……………………11分 ??b1?0(q?q).?12Sna1(1?q2)1?q1nlim?limn??Tn??1?qnb(1?q)n112?a1?b(q1?q2),?1?a(1?q2)??1(0?q1?1,0?q2?1),………14分 b(1?q)1?1?0(0?q1?q2,q2?1).??所以使lim

anS?limn成立的条件是0?q1?q2,q2?1或q1?q2.……16分 x??bx??Tnn4．（本题满分16分，第（1）题5分，第（2）题5分，第（3）题6分）

已知数列{an}中，a1?1,a2?2，且an?1?(1?q)an?qan?1(n?2,q?0)。

（1）记bn?an?1?an(n?N*)，求证：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式； （2）求{an}的通项公式；

?3,?1)(?1?,0)(0,1)? （3）当q?(12nim时，记An?Cn求la1?Cna2???Cnan，

An的

n??2n值。

5．（本题共3小题，其中第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分，满分16分） 解：（1） 由an?1?(1?q)an?qan?1得an?1?an?q(an?an?1)，即bn?qbn?1(n?2) 又a1?1,a2?2，所以b1?a2?a1?1，又q?0。 所以{bn}是以1为首项，q为公比的等比数列。

4分

bn?1n?q

5分

注：在证明中若从bn?qbn?1(n?2)得出{bn}是等比数列扣1分。

（2）由bn?an?1?a?1n及bn?qn?1得an?1?an?qn 6分

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1

＝qn?2?qn?3???q?1?1

8分

当q?1时an?n

9分

1时a1?qn?1当q?n?1?q?1

10分

（3）由q?(?3,?1)?(?1,0)?(0,1)知a1?qn?12?qqn?1 n?1?q?1?1?q?q?1 A?C12nnna1?Cna2???Cnan

?2?q 1?q(C12n11021nn?1n?Cn???Cn)?q?1(Cnq?Cnq???Cnq)

＝

2?q1?q(2n?1)?1q(q?1)[(1?q)n?1] 13分

Anq?21112n?q?1(1?2n)?q(q?1)[(?q2)n?12n]

2分

因为q?(?3,?1)?(?1,0)?(0,1)，所以?2?q?1?2??1?则lim(n??q?1?1 21?qn1)?0，又limn?0

n??2216分

所以limAnq?2111?qn1q?2 ?lim{(1?)?[()?]}?n??2nn??q?12nq(q?1)22nq?16、(18分)已知数列{an}的前N项和为Sn,a1?1,Sn?1?2Sn?3n?1(n?N*). （1）证明：数列{an?3}是等比数列；

（2）对k?N*,设f(n)???Sn?an?3n,n?2k?1,求使不等式f(m)?f(2m2)恒成

?log2(an?3),n?2k,立的自然数m的最小值.

解：（1）?a1?1,Sn?1?2Sn?3n?1, ?S2?2S1?4?a1?a2.?a2?5.

又当n?2时，Sn?2Sn?1?3(n?1)?1，

?Sn?1?Sn?2(Sn?Sn?1)?3,即得an?1?2an?3.

an?1?3?2(an?3),(n?2).------------------------------------------------------4分 a2?38??2,∴数列{an?3}是公比为2，首项为a1?3?4的等比数列.……2分

a1?34

（2）由（1），知an?3?4?2n?1.

?an?2n?14(1?2n)?3,Sn??3n?2n?2?3n?4.

1?2

?2n?1?1,n?2k?1?f(n)??(k?N*).…………………………………………4分

?n?1,n?2k①当m为偶数时，?f(m)?m?1,f(2m)?2m?1，

∴不存在自然数m，使f(m)?f(2m2)恒成立. …………………………2分 ②当m为奇数时，f(m)?2m?1?1,f(2m2)?2m2?1,而f(m)?f(2m2),

22?1?3?f(2m2)?3； 2?12当m=3时，f(m)?2?1?15?f(2m)?19；-----------------------2分

3?12当m=5时，f(m)?2?1?63?f(2m)?51；

m2当m≥5时，即证：2?m?1恒成立 ⅰ）m?5，已证

k2ⅱ）假设m?k?k?5?，结论成立，即2?k?1

k?2 则m?k?2时，2?4?2k?4(k2?1)

2 而4k2?1??k?2??1?k?3k?4??1?0

k?2则2?(k?2)2?1

当m=1时，f(m)?21?1??

即 m?k?2时，结论成立

所以当m≥5且为奇数，f(m)?f(2m2)成立， -------------3分

此时m的最小值为5. ----------------------------------------------------1分

7．( 12分)已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足（1）求数列?an?的通项公式；

an?1Sn1?1（n为正整数）.

（2）记S?a1?a2???an??.试比较S与(n?1)an的大小关系，并证明你的结论. 解：（1）an?Sn?1，

an?1?Sn?1?1

以上两式相减得到an?an?1?(Sn?Sn?1)?0，即an?an?1?an?0 3分 所以

11an1?，数列?an?是公比为等比数列，又a1?S1?1，a1?，

22an?1211n?11n()?(). 6分 2221n?1（2）S?2?1，(n?1)an?n 8分

121?2n?1n?2n?2n?1n设f(n)?n，则f(n?1)?n?1，f(n?1)?f(n)?n?1?n=?n?1<0

22222所以an?所以，函数f（n）在n?N*上单调递减，所以f（n）的最大值是f（1）=1， 所以S?(n?1)an. 12分 8.(18分)在平面直角坐标系中，已知三个点列

?An??,Bn??,Cn?，其中

满足向量AnAn?1与向量BnCn平行，并且点列?Bn?在斜An(n,an),Bn(n,bn),Cn(n?1,0)，率为6的同一直线上，n?1,2,3,?。

（1） 证明：数列?bn?是等差数列； （2） 试用a1,b1与n表示an(n?2)；

（3） 设a1?a,b1??a，是否存在这样的实数a，使得在a6与a7两项中至少有一

项是数列?an?的最小项？若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请

说明理由；

（4） 若a1?b1?3，对于区间[0，1]上的任意?，总存在不小于2的自然数k，当n?k

时，an?(1??)(9n?6)恒成立，求k的最小值.

解：（1）因为点列?Bn?在斜率为6， 所以

bn?1?bn?6，即bn?1?bn?6，所以，数列?bn?是等差数列. 3分

(n?1)?n?????????????(2) AnAn?1?(1,an?1?an)，BnCn?(?1,?bn)，

因为AnAn?1//BnCn

所以bn?an?1?an 5分 又bn?b1?6(n?1)，

an?1?an?b1?6(n?1)， a2?a1?b1，

a3?a2?b1?6?1， a4?a3?b1?6?2，

????????

an?an?1?b1?6(n?2)，

将以上等式相加得an?a1?(n?1)b1?6?(n?2)(n?1)，

2所以an?a1?(n?1)b1?3(n2?3n?2). 8分 (3) an?a?(n?1)a?3(n?3n?2)?3n?(a?9)n?2a?6 10分 若存在这样的实数a，使得在a6与a7两项中至少有一项是数列?an?的最小项， 则5.5?22a?9?7.5，解得24?a?36. 13分 622(4) an?3?3(n?1)?3(n?3n?2)?3(n?2n?2) 由an?(1??)(9n?6)，3(n?2n?2)?(1??)(9n?6)，

即(3n?2)??n?5n?4?0， 15分

22

记f(?)?(3n?2)??n2?5n?4，则有

?n2?5n?4?0?f(0)?0?,即?2，解得n?4或n?1，但由于n?2，所以n?4，kmin=4. 18分 ?f(1)?0???n?2n?2?09．（本题满分16分）

对数列?an?，规定??an?为数列?an?的一阶差分数列，其中?an?an?1?an(n?N)。

对 自然数

k，规定

??a?kn为

?an?的

k阶差分数列，其中

?kan??k?1an?1??k?1an??(?k?1an)。

或等比数列，为什么？

（1）已知数列?an?的通项公式an?n2?n(n?N),，试判断??an?，?2an是否为等差（2）若数列?an?首项a1?1，且满足?2an??an?1?an??2n(n?N)，求数列?an?的通项公式。

12n（3）（理）对（2）中数列?an?，是否存在等差数列?bn?，使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an??对一切自然n?N都成立？若存在，求数列?bn?的通项公式；若不存在，则请说明理由。

解：（1）?an?an?1?an??n?1???n?1??n2?n?2n?2，∴??an?是首项为4，公

2??差为2的等差数列。?2an?2?n?1??2??2n?2??2，∴?2an是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。（2）?2an??an?1?an??2n，即

???an?1??an??an?1?an??2n，即?an?an?2n，∴ an?1?2an?2n，∵a1?1，∴a2?4?2?21，a3?12?3?22，a4?32?4?23，猜想：an?n?2n?1，

证明：ⅰ）当n?1时，a1?1?1?20；ⅱ）假设n?k时，ak?k?2k?1；n?k?1时， 、ⅱ）可知，ak?1?2ak?2k?k?2k?2k??k?1??2?k?1??1 结论也成立， ∴由ⅰ）

an?n?2n?1。

12n12n（3）b1Cn?b2Cn???bnCn?an，即 b1Cn?b2Cn???bnCn?n?2n?1，

∵1Cn?2Cn?3Cn???nCn?nCn?1?Cn?1?Cn?1???Cn?1?n?212n123n?012n?1?n?1，

∴存在等差数列?bn?，bn?n，使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切自然n?N都成立。 10、（本题满分14分）

已知f?x?是定义在R上的增函数，且记g?x??f?x??f?1?x?。

（1）设f?x??x，若数列?an?满足a1?3,an?g?an?1?，试写出?an?的通项公式及前2m的和S2m：

（2）对于任意x1、x2?R，若g?x1??g?x2??0，判断x1?x2?1的值的符号。

解：（1）an?g?an?1??f?an?1??f?1?an?1??an?1??1?an?1??2an?1?1，则

an?1?2?an?1?1?， a1?1?2，即数列?an?1?是以2为首项，2为公比的等比数列，

n222m?1?2m?22m?1?2m?2； ∴an?2?1，S2m?2?1（2）若x1?x2?1?0，则x1?1?x2,x2?1?x1，∵f?x?是定义在R上的增函数 ∴f?x1??f?1?x2?,f?x2??f?1?x1?，则f?x1??f?x2??f?1?x2??f?1?x1? ∴f?x1??f?1?x1??f?x2??f?1?x2??0，即g?x1??g?x2??0，与g?x1??g?x2??0矛

盾，

∴x1?x2?1?0 11、（本题满分17分）

已知数列?an?的前n项和为Sn，若a1?2,n?an?1?Sn?n?n?1?， （1）求数列?an?的通项公式： （2）令Tn???Sn，①当n为何正整数值时，②若对一切正整数n，总有Tn?m，Tn?Tn?1；n2求m的取值范围。 解：（1）令n?1，1?a2?a1?1?2，即a2?a1?2， 由?∵a2?a1?2，∴an?1?an?2n?N*，即数列?an?是以2为首项、2为公差的等差数列， ∴an?2n，

?n?an?1?Sn?n?n?1??n?an?1??n?1?an?an?2n?an?1?an?2?n?2?，

??n?1??an?Sn?1?n?n?1???Snn?n?1??n?1??n?2?，即n?2n?N*，

??T?n?12n2n2n?1S33②∵T1?1?1,T2?T3?，又∵n?2时，Tn?Tn?1，∴各项中数值最大为，∵对一

2223切正整数n，总有Tn?m，∴m?。

2（2）①Tn???12．（本题满分16分）

已知：x?N，y?N，且 1?n?1（n?N）．

xy（Ⅰ）当n?3时，求x?y的最小值及此时的x、y的值；

**2*?（Ⅱ）若n?N，当x?y取最小值时，记an?x，bn?y，求an，bn；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设Sn?a1?a2???an，Tn?b1?b2???bn，试求lim值．

注:1?2?3???n?解: （Ⅰ）?2222Tn的

n??n?Sn1n(n?1)(2n?1). 619??1, ?x?y?(x?y)(1?9)?10?y?9x?16, xyxyxy

当且仅当（Ⅱ）??x?4?x?4y9x,即?时,取等号. 所以,当?时, x?y的最小值为16. ?xy?y?12?y?12221nynx1n22?(n?1)2, ??1, ?x?y?(x?y)(?)?n?1??xyxyxy?x?n?1yn2x 当且仅当?,即?时,取等号. 所以,an?n?1, bn?n(n?1).

y?n(n?1)xy?1（Ⅲ）因为Sn?a1?a2???an ?2?3???(n?1)?n(n?3),

2 Tn?b1?b2???bn?(1?12)?(2?22)?(3?32)???(n?n2)

n(n?1)1?n(n?1)(2n?1) ?(1?2?3???n)?(12?22???n2)?261T2?n(n?1)(n?2) 所以limn?.

n??n?S33n13.（18分）

a11，a12，……a18 a21，a22，……a28 …………………

a81，a82，……a88

64个正数排成8行8列, 如上所示：在符合aij(1?i?8,1?j?8)中，i表示该数所在的

行数，j表示该数所在的列数。已知每一行中的数依次都成等差数列，而每一列中的数依次都成等比数列（每列公比q都相等）且a11?⑴若a21?11，a24?1，a32?。 241，求a12和a13的值。 436，联An⑵记第n行各项之和为An（1≤n≤8），数列{an}、{bn}、{cn}满足an?mbn?1?2(an?mbn)（m为非零常数），cn?取值范围。 ⑶对⑵中的an，记dn?的项数。 解：⑴∵q?bn22，且c1?c7?100，求c1?c2????c7的an200(n?N)，设Bn?d1?d2???dn(n?N)，求数列{Bn}中最大项ana211a?， ∴a14?24?2 a112q3 211?22a?aq?(?d)?q?12?3224 ⑵设第一行公差为d， ?1?a24?a14?q?(?3d)?q?12?11 解出：d?，q? ′

2211111 ∵an1?a11?()n?1?()n an8?a18?()n?1?4?()n?1?8()n

22222∵a11,a12,a13,a14成等差 ∴a12?1,a13?

an1?an81?8?36?()n ∴an?2n(1?n?8,n?N) 22b?1bn1?? ∵mbn?1?2(an?mbn) ∴n n?1nm22b1而cn?n ∴cn?1?cn? ∴{cn}是等差数列

anm(c?c7)?7故c1?c2?????c7?1

22222∵(c1?c7)2?c1?c7?2c1?c7?2(c1?c7)?200

∴An?∴?102?c1?c7?102

∴c1?c2?????c7?[?352,352] ⑶∵dn?200?()n是一个正项递减数列

12∴dn?1时Bn?Bn?1，dn?1时Bn?Bn?1

1n?200()?1??dn?12∴{Bn}中最大项满足? ??1d?1n?1?n?1?200()?12?解出：6.643

∵n?N, ∴n=7，即{Bn}中最大项的项数为7项.

14、（本题满分13分）

在不等边△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知sinA，sinB，sinC依次成等差数列，给定数列

222cosAcosBcosC，，． abc（1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号（ ）．

A．是等比数列而不是等差数列 B．是等差数列而不是等比数列 C．既是等比数列也是等差数列 D．既非等比数列也非等差数列 （2）证明你的判断．

解：（1）B （2）因为sinA、sinB、sinC成等差数列，所以2sinB?sinA?sinC，

232222所以

2b?a?c222．又

cosBa2?c2?b2?b2abc，

cosAb2?c2?a2?a2abc，

cosCa2?b2?c2?． c2abc2cosBcosAcosCcosAcosBcosC??，即、、成等差数列．若其为等比数列，bacabccosAcosBcosC??有，所以tanA?tanB?tanC，A?B?C，与题设矛盾 abc显然

15、（本题满分16分）

设

有

f(x)?x,方程f(x)?xa(x?2)唯一解,已知

f(xn)?xn?1(n?N*),且f(x1)?1. 1004（1）求数列{xn}的通项公式；

224?4013xnan?1?an（2）若an?,且bn?(n?N*)，求和：Sn=b1+b2+…+bn；

xn2an?1anm*

（3）是否存在最小整数m，使得对任意n∈N，有f(xn)?成立，若存在，求出m

2008的值，若不存在，说明理由. 解：（1）因方程f(x)=x有唯一解，可求a=

12x从而得到f(x)?. 2x?2

f(x1)?2x1112,即??x1?1004x1?2100420072xn111又由已知f(xn)?xn?1;?xn?1xn?0???xn?2xn?1xn2111数列{}是首项为，公差为的等差数列，

2xnx112?(n?1)x111故=, ?(n?1)??xnx122x12x12所以数列{xn}的通项公式为xn?. ?(n?1)x1?2n?2006111?). ?Sn?n?1?（2）将xn代入an可求得an=2n－1，所以bn?1?( 2n?12n?12n?1m对n?N*恒成立， （3）?f(xn)?xn?1?2008m2212?只要?()max即可,而()max??.

2008n?2007n?20071?20072008m2?,?m?2,故存在最小的正整数m=3. 即要

2008200816．(本题满分16分)

已知Sn是正数数列{an}的前n项和，S12，S22、……、Sn2 ……，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{bn}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90。

(1)求an、bn； (2)从数列{

11}中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于2。若能的话，请bnS6写出这个数列的第一项和公比?若不能的话，请说明理由。

(1){Sn}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以Sn2=3+(n–1)=n+2

因为an>0，所以Sn=n?2(n?N)，当n≥2时，an=Sn–Sn–1=n?2–n?1，又a1=S1=3，

?n?1?3所以an=?(n?N) ，设{bn}的首项为b1，公比为q，则有

??n?2?n?1n?13??b1?3?b1q?b1q?90n

，所以，所以bn=3(n?N)， ??2??q?3?b1?b1q?30

1111n

=()，设可以挑出一个无穷等比数列{cn}，首项为c1=()p，公比为()k，(p、k?N)，

33bn31()p111111它的各项和等于2=，则有3?，所以()p=[1–()k]， 当p≥k时3p–3p–k=8，

13838S681?()k3(2)

即3p–k(3k–1)=8， 因为p、k?N，所以只有p–k=0，k=2时，即p=k=2时，数列{cn}的各项和为

1。当pp右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在2S6111p、k?N，所以唯一存在等比数列{cn}，首项为，公比为，使它的各项和等于2。

99S617、（本题满分14分）

2?cot??0的两根为?,?，且0???2?，若数列关于x的方程x?xsin2??sin2n?11?1?11???1,?,????,??，的前100项和为0，求?的值。 ??????????????1??11?100?11???????????1???????111?????????0???????1???1，

?????11??1?1?1????1??????????100解：S100???1?sin???∵?????sin2?,????sin?cot???cos?，∴2sin0???2?，∴??1， ∵27?11?或。 66

18、（本题满分16分）

已知等差数列?an?中，公差d?0，其前n项和为Sn，且满足

a2?a3?45,a1?a4?14， （1）求数列?an?的通项公式；

Sn （2）通过bn?构造一个新的数列?bn?，是否存在一个非零常数c，使?bn?也为等差

n?c数列；

bn(n?N*)的最大值。

(n?2005)?bn?1解：（1）∵等差数列?an?中，公差d?0，

（3）求f(n)?∴??a2?a3?45?a2?a3?45?a2?5?????d?4?an?4n?3。

?a1?a4?14?a2?a3?14?a3?91??2n?n??S1n?1?4n?3?1?2???（2）Sn?，令c??，即得?2n?n??，bn?n?2n?cn?c22??bn?2n，

数列?bn?为等差数列，∴存在一个非零常数c??（

3

1，使?bn?也为等差数列。 2）

11?，

2005n??200622005?2006n∵45?2005?2005?44?89?22005?7921?8020?0，即

459?。 45?2005?2005?44， ∴n?45时，f?n?有最大值

2050?4618860f(n)?bnn??(n?2005)?bn?1?n?2005??n?1???19、（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分。

已知函数f(x)?3x2?bx?1是偶函数，g(x)?5x?c是奇函数，正数数列?an?满足

an?1,f(an?an?1)?g(an?1an?an)?1

（1） 求?an?的通项公式；

（2）若?an?的前n项和为Sn，求limSn.

n??2解：（1）f(x)?3x2?1 g(x)?5x

(an?1?an)(3an?1?2an)?0，

（2）limsn?n??an?122?，an?()n?1

3an3121?3?3

20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分, 第3小题满分8分。

2已知公比为q(0?q?1)的无穷等比数列?an?各项的和为9，无穷等比数列an各项的

??和为

81。 5（1）求数列?an?的首项a1和公比q；

（2）对给定的k(k?1,2,3,?,n)，设T(k)是首项为ak，公差为2ak?1的等差数列，求T(2)的前2007项之和； （3）（理）设bi为数列T(i)的第i项，Sn?b1?b2???bn：

①求Sn的表达式，并求出Sn取最大值时n的值。 ②求正整数m(m?1)，使得limSn存在且不等于零。

n??nm

（文）设bi为数列T(i)的第i项，Sn?b1?b2???bn：求Sn的表达式，并求正整数

m(m?1)，使得limSn存在且不等于零。

n??nm?a1?a1?3?1?q?9????（4＇+4＇+8＇） (1)依题意可知,?22。

q?a811???3?2?51?q??2?(2)由(1)知,an?3????3?n?1,所以数列T(2)的的首项为t1?a2?2,公差d?2a2?1?3,

1S2007?2007?2??2007?2006?3?6043077,即数列的前2007项之和为6043077。

2?2?(3) （理）bi=ai??i?1??2ai?1?=?2i?1?ai??i?1?=3?2i?1????3??2?n?n?1?①Sn?45??18n?27????；

2?3?ni?1??i?1?；

由??bn?bn?1，解得n?2，

?bn?bn?1计算可得b1?3,b2?5,b3?1429453,b4?,b5?,b6???0， 39381因为当n?2时，bn?bn?1，所以Sn当n?5时取最大值。

Sn4518n?27?2?n?n?1?②limm=limm?， ???mmn??n??nnn2n?3?n当m?2时，limSnSn1m?2lim=－，当时，=0，所以m?2。 mn??nmn??2ni?1?2?（文）bi=ai??i?1??2ai?1?=?2i?1?ai??i?1?=3?2i?1????3??2?n?n?1?； Sn?45??18n?27????32??n??i?1?；

Sn4518n?27?2?n?n?1?limm=limm?， ???mmn??n??nnn2n?3?n当m?2时，lim

SnSn1m?2lim=－，当时，=0，所以m?2。 mn??nmn??2n

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