弹塑性力学定理和公式

应力应变关系

弹性模量 || 广义虎克定律

1.弹性模量

对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量 单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即

b 切变模量 切应力与相应的切应变之比,即

c 体积弹性模量 三向平均应力

与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即

d 泊松比 单向正应力引起的横向线应变ε

1

的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即

此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。

2.广义虎克定律

线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。

A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式） 对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、θ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。

B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律 应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即 体积弹性定律

应力偏量与应变偏量关系式

在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,θ。

弹性力学基本方程及其解法

弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本

方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式

1.弹性力学基本方程

在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即

(1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为

(2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为

(3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为

或

2.边界条件

弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。

a 应力边界问题 在边界Sζ表面上作用的表面力分量为Fx、Fy、Fz.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为

式中，lnj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。

这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。 b 位移边界问题 在边界Sx上给定的几何边界条件为

式中，Ui为表面上给定的位移分量。

*

这一类问题是已知体积力和表面各点的位移，求解体内各点的位移、应变和应力。 c 混合问题 部分边界上给定力，部分边界上给定位移。

3.按位移求解的弹性力学基本方法

按位移求解时，以3个位移分量为基本未知量，利用几何方程和物性方程，15个基本方程简化为以位移表

示的平衡方程：

求解时位移分量在物体内部满足式（3-14），在位移边界Su上满足式（3-13），在应力边界Sζ上满足式（3-12），但式中的应力分量应利用应力-应变关系和应变-位移关系变换为位移的形式。求出位移分量后，再利用几何方程和物性方程，求出应变和应力分量。

4.按应力求解的弹性力学基本方程

按应力求解时，以6个应力分量为基本未知量。它们必须满足平衡方程，同时还要满足以应力表示的协调方程，即

式（3-15）和平衡方程式（2-1-22）一起，成为按应力求解弹性问题的基本方程组。按应力求解弹性问题，就是寻求满足基本方程式（2-1-22）和式（3-15），以及边界条件[式（3-12）]的解。

5.平面问题的基本方程

弹性力学平面问题，包括平面应力和平面应变问题两类。通常利用应力函数将弹性力学平面问题简化为解双调和方程的边值问题。平面问题基本方程的直角坐标和极坐标表达式见表3-4 平面问题的基本方程。表中除物性方程外，对于其他方程，平面应力和平面应变问题中的形式是相同的。比较一下这两类问题的基本方程后

2

可知，只要将平面应力问题的解中的弹性常数E、v改为E/（1-V）、V/（1-V）后，就得到对应的平面应变问题的解。因此，对于截面形状和边界条件相同的物体，平面应力问题与平面应变问题中的应力分布（ζx、ζy、ηxy、ζz除外）是相同的。

6.基本方程的解法

15个弹性力学基本方程简化为以位移表示的3个平衡方程[式（3-14）]或以应力表示的6个协调方程[式（3-15）]。求解上述方程时，类似在平面问题中应用艾雷应力函数所用的方法，常引用应力函数或位移函数，以消去应力分量或位移分量，求解以应力函数表示的协调方程，或以位移函数表示的平衡方程。

表3-5 帕普科维奇-诺埃伯谢函数和勒夫谢函数 列出用帕普科维奇-诺埃伯函数和勒夫函数表示的无体积力时平衡方程的齐次解。勒夫函数常用于求解轴对称问题。

7.二维和三维问题常用的应力、位移公式

（见表3-6 二维和三维问题常用的应力、位移公式）

能量原理

应变能、应变余能与应变能定理 || 虚位移定理 || 最小势能原理 || 虚力原理|| 最小余能原理 || 卡氏定理 || 互等定理 || 李兹法

直接求解弹性力学基本方程在数学上存在困难，只有一些比较简单的问题已求得精确解。而能量法把求解问题的过程转变为一种极值问题，它比直接求解偏微分方程边值问题能更方便地得到近似解。因此能量原理是目前广泛应用的近似计算方法的基础。 1.应变能、应变余能与应变能定理

a 应变能 单位体积的应变能称为应变能密度，以W表示。W为应变分量εij的函数，W可用脚标形式表示为

对于线弹性体，其值为

线弹性体的总应变能为

对各向同性材料，利用虎克定律，应变能密度可用单一的应力分量或应变分量表示为

b 应变余能 单位体积的应变余能W*为应力分量ζij的函数，W*（ζij）定义为

对线弹性体，

c 用应变能和应变余能表示力与应变的关系 应变能密度函数W（εij），表示因弹性变形而储存于单位体积内的弹性势能。应力与应变之间的关系，通过弹性势函数W表示为

如果把应变分量表示为应力分量的函数时，则存在如下关系式，即

对线弹性体，W*=W，式（3-34）变为

d 应变能定理 如果弹性体在变形过程中无能量耗损，则弹性体内的应变能在数值上等于外力在变形过程中所作的功，即

式中，A为外力所作的功，包括体积力和面力所作的功。 2.虚位移定理

弹性体在外力作用下处于平衡状态时，体内各点如果发生一虚位移δui(所谓虚位移，是指几何约束容许的任意、微小的位移，也就是指符合物体的连续条件和位移边界条件的可能位移)，则外力对虚位移所作的功（虚功），等于虚位移所引起的弹性体的虚应变能，即

式中，虚功δA包括体积力fi和面力pi在虚位移δui上所作的功，即

因虚位移而引起的虚应变能为

式（3-37）称为虚功原理或虚位移原理。虚位移原理等价于平衡条件。如结构上的外力在虚位移上所作的虚功等于结构的应变能，则结构必处于平衡状态。在虚位移原理推导过程中并未应用虎克定律，虚位移原理也适用于非弹性体。 3.最小势能原理

如果外力可由一个势函数V导出，外力势V=-A,则δV=-δA.由式（3-37），得变分方程

式中,

称为系统的总势能，是位移的函数。式（3-38）表明：弹性体处于平衡状态时，其内力和外力的总势能取驻值。可以证明，线弹性体处于平衡状态时，其总势能取最小值。因此，式（3-38）称为最小势能原理。也就是说，在所有几何容许位移中，满足势能驻值条件δⅡ=0的位移解，使总势能Ⅱ取最小值。在应用中，可根据势能驻值条件去求解弹性力学问题。

在分析结构稳定问题时，在平衡状态（δⅡ=0），总势能Ⅱ可能取极大值（δ2Ⅱ<0，不稳定平衡），驻值（δ2Ⅱ=0，临界状态）或极小值（δ2Ⅱ>0，稳定平衡）。 4.虚力原理

如对变形协调的弹性体施加某种虚力（即平衡条件所容许的，任意微小的力的改变，包括虚应力δζij和虚面力δpI）,则虚外力在真实位移上的虚余功δA*等于虚应变余能，即

物体内的热应力为

图3-6 半无限体表面上的点热源

塑性力学基本方程

屈服条件 || 塑性应力应变关系 || 滑移线场理论 || 极限分析定理

1.屈服条件

对于处于单向拉伸（或压缩）的物体，当应力达到屈服极限时，材料开始进入塑性状态，对于处于复杂应力状态的物体，由弹性状态过渡到塑性状态的临界条件称为屈服条件。在应力空间将初始屈服的应力点连成的弹性和塑性的分界面称为屈服面。描述屈服面的数学表达式称为屈服函数。常用的各向同性金属材料的屈服试验表明，屈服应力数据点介于屈雷斯卡（T resca）屈服条件和密赛斯（Mises）屈服条件之间，而更接近于密赛斯屈服条件。

A 屈雷斯卡屈服条件（最大切应力条件） 屈雷斯卡屈服条件为：当最大切应力达到某一极限值时，材料开始进入塑性状态，即

在主应力空间，当差值∣ζ1-ζ2∣、∣ζ2-ζ3∣、∣ζ3-ζ1∣中任一个达到2k时，材料进入塑料性状态。因此用屈雷斯卡条件表示的屈服面为由下列六个平面组成的正六边形柱体（图3-7a），即

材料常数k由实验确定。在拉伸试验时，ζ1=2k=ζs，即k=ζs/2。在纯剪切试验时，ζ1-ζ3=2k=2ηs，即k=ηs。如果屈雷斯卡条件成立，必有ηs=1/2ζ

s

图3-7 屈服面

B 密赛斯屈服条件 密赛斯条件为：:当切应力强度η

I

等于剪切屈服极限η

s

时，材料开始屈服；或者当

应力强度ζI等于拉伸屈服极限ζs时，材料开始屈服，即

或

式中，j′2为应力偏量第二不变量 对于密赛斯条件，ηs=ζ

。密赛斯条件与屈雷斯卡条件的最大差别不超过15%。

s

在主应力空间，密赛斯屈服面为一外接于屈雷斯卡屈服面的圆柱面。在平面应力状态，设ζs＝0，则在ζ1、ζ2应力平面上，密赛斯条件为一椭圆，屈雷斯卡条件为内接六边形（图3-7b）。

C 后继屈服函数（加载函数）已产生塑性变形的材料，继续塑性变形的条件，称为后继屈服条件。在主应力空间满足后继屈服条件的应力点所连成的曲面，称为后继屈服面（加载面）。对于理想塑性材料，后继屈服面即为初始屈服面；对于强化材料，后继屈服面随塑性变形的历史而变化。描述后继屈服面的函数，称为后继屈服函数或加载函数，一般可写成

式中，H为应变历史和材料性质的函数。在应力空间，加载面随H的变化而改变其形状、大小和位置。目前应用较多的两种简单的强化模型为等向强化模型和随动强化模型。图3-8表示按照屈雷斯卡屈服条件在π面（ζ1+ ζ2+ ζ3=0的面）上的屈服曲线和加载曲线。

图3-8 屈服曲线和加载曲线

等向强化模型的加载函数表示为

式中，H为决定于塑性应变历史的单调递增正函数。加载面是初始屈服面等向扩大，屈服面中心位置不变。这种模型不考虑材料的包辛格效应。 随动强化模型的加载函数表示为

式中，ζij表示初始屈服面中心在应力空间的残茶剩饭量。加载面的大小，形状保持不变。 2.塑性应力应变关系

塑性应力应变关系有增量（流动）理论和全量（形变）理论两种类型。

A 增量理论 材料在塑性变形时，应力与应变之间一般不存在一一对应的关系。增量理论假设在塑性流动的任一瞬时，塑性应变增量矢量与加载面正交，即

对理想塑性材料，ψ＝f。若取f为密赛斯屈服函数时，上式变为

对于刚塑性材料，式（3-70）写成完全表达式为

式中，

式（3-71）称为列维- 密赛斯（levy-Mises）关系式。 若考虑弹性变形，则对密赛斯理想塑性材料有

式中，塑性功增量

式（3-73）称为普朗特-劳埃斯(prandtl-Reuss)关系式。

对于具有密赛斯等向强化加载面的强化材料，增量理论公式中的比例因子dλ为与材料强化性质有关的非负标量，当加载时

式中H′为强化函数H对其自变量的导数。

B 全量理论 全量理论用应力和应变的瞬时值表示的塑性应力应变关系，是塑性应力应变增量关系沿加载途径的积分形式。当满足小变形及简单加载（应力分量成比例增长）条件，应力强度ai和应变强度εi之间存在单一的函数关系。这时全量理论表达为

式中，应变强度

3.滑移线场理论

滑移线场理论，是基于塑性材料在屈服流动时，沿最大切应力方向，成为塑性变形区内的特征性质。据此来对整个变形区进行应力分布的数值分析。

此处所讨论的滑移线场理论，只限于各向同性的理想刚塑性材料的平面应变问题，并假设屈服条件与静水压力无关。

A 应力方程不滑移线场的几何性质

(1) 应力方程 在塑性变形区内，连接最大切应变方向的线，称为滑移线。两族正交的滑移线组成的网络，称为滑移线场。这两簇曲线，分别称为α簇和β簇。从α线到β逆时针转动时，最大主应力方向在α线和β线之间。从x轴到α线的逆时针转角用θ表示（图3-9）。α、β的曲线方程为

图3-9 α、β线和应力图

由于主切应力面上的切应力k=ηs，如果正应力ζ(ζ=ζx+ζy/2)和θ角已知时，滑移线场内任一点的应力仅取决于ζ、θ的变化，即

由单元体平衡条件，应力沿滑移线变化规律为

式（3-80）称为汉基（Hencky）应力方程 (2) 滑移线场的几何性质

1. 沿线性质 由应力方程,沿同一滑移线移动时,ζ和θ的变换成正比,即

在直线段上,ζ和θ都是常量。

2. 跨线性质 （图3-10）位于两根同簇滑移线之间的另一簇滑线段上，θ的变化相等，即

相应地，ζ的变化也相等，即

图3-10 跨线性质

B 速度方程和速端曲线 在刚塑性体平面应变问题中，沿滑移线上的线应变为零。因此将任一点处的质点速度沿α线和β线分解为vα和vβ（图3-11），得到速度沿线变化规律为

图3-11 速度的分解

式（3-84）称为盖林格（Geiringer）速度方程。

可以把速度方程改写成差分方程，求出节点速度，建立速度场。也可以用作图法作速度图（速度矢端曲线）来表示速度分布。由于沿滑移线上线应变为零，同一滑线相邻两点的相对速度必与该滑移线线元正交。因此滑移线上各点的速度矢端曲线与该滑移线线元正交。图3-12中代表P1点的速度平面上的映象即为速度图。

图3-12 速度场和速端曲线 (a)物理平面 (b)速端曲线

4.极限分析定理

在设计中把加载的极限状态作为设计准则的分析方法，称为极限分析。理想刚塑性结构的极限载荷，是指载荷增加到某一数值时，结构达到极限状态，这时即使载荷不再增加，塑性变形继续发展。由于求解弹塑性结构极限状态对应的极限载荷比较复杂，因此需要寻求一种计算极限载荷的近似方法，即利用极限分析上下限定理，来估计极限载荷的近似值范围。在分析中，把材料假定为理想刚塑性体。

刚塑性材料平面应变问题的真实解，在应力方面体内应满足平衡方程、屈服条件和应力边界条件，在几何方面应满足体积不变条件和速度边界条件，并使外力对速度场作正功率。在实际问题中，要同时满足全部条件是困难的。如果只满足应力方面的条件，这时所得到的应力场称称为静力许可应力场。根据这个应力场求得的载荷为真实极限载荷的下限。如果只满足应变和位移条件所求得的速度场，称为运动许可速度场，由此求得的载荷为真实极限载荷的上限。如果上下载荷相等，所求得的载荷，即为真实的极限载荷。 A 下限定理 由任何静力许可应力场所求得的载荷，恒小于或等于极限载荷。在塑性状态下，物体发生一微小变形速度vi时，在非作用力表面Sv上，任一静力许可应力场所引起的表面力T′i所作的功率，恒小于或等于极限载荷表面力Ti所作的功率，即

B 上限定理 任一与运动许可速度场相对应的载荷，恒大小或等于极限载荷。在塑性状态下，任一运动许可速度场上所作的功率，恒大于或等于极限载荷表面力，在真实应变速度场上所作的功率，即

式中，V*I--任一运动许可速度场

k--剪切屈服应力

S*D--速度不连续面 ΔV*--S*D面上速度不连续量 ζ

*ij

和ε

*ij

——由V*i导出的应力和应变速度率 如果塑性机构按刚性块在速度不连续面上相互移动，

则上式左边第一项为零，在许多实际问题中，力的边界条件

，这时式（3-86）简化为

粘弹性

粘弹性模型与本构关系 || 三维性粘弹性理论的基本方程与对应原理

弹性理论和塑性理论中的应力应变关系，都不考虑时间和速率的影响。近代某些工程材料，在一定条件下，显示出与时间有关的性质。例如，金属、陶瓷和高聚合物在较高温度下发生蠕变，即在不就应力下应变随时间绶慢增加的现象。在定应变下，应力随时间绶慢衰减的现象，称为松弛。具有明显时间效应的本构关

系的物体，称为粘弹性理论。 1.粘弹性模型与本构关系

A 基本元件 粘弹性体的力学模型，可看作具有理想弹性元件（弹簧，用S表示）的组合体。

在简单拉伸情况下，理想弹性元件（图3-14a）的应力应变关系为

ζ=Eε

而理想粘性元件（图3-14b）的应力应变率关系为

图3-14 弹簧阻尼器

式中,η--粘性系数

B 马克思威尔体 由S和D串联的粘弹性模型称为马克思威尔体（图3-15a）。用字母M或S-D表示，

其本构方程为

式中，p1、q1为材料常数，p1＝η/E，q1＝η。方程的解含有时间t

在定应力下应变随时间的变化规律，即蠕变特性为

变形随时间t线性（图3-15b），表现出流体粘性性质。

在定应变ε0下的松弛特性（图3-15c）为

图3-15 马克思威尔体

(a) 粘弹性模型 (b) 蠕变曲线 (c) 松弛曲线

C 开尔文体 （图3-16a）为S和D并联组成的粘弹性模型。用字母K或S/D表示。开尔文体的本构方程

为

图3-16 开尔文体

(a) 粘弹性模型 (b) 蠕变曲线 (c) 松弛曲线

式中 q0=E q1=η

开尔文体在定应力ζ0下蠕变特性（图3-16b）为

式中 η=q1/q0

在定应变εo的松弛特性（图3-16c）为

ζ=q0ε0+ q1ε0·δ(t)

其中，δ（t）为狄拉克函数，即当t≠0时，δ（t）＝0；t＝0时，δ（t）＝+∞

D 多元件模型的本构方程 实际材料的粘弹性特性与上述两种模型往往不符，因此寻求由更多元件组成

的模型。其本构关系列在表4.5-10中。多元件模型的本构方程的一般形式为

式中，P，Q为线性微分运算算子。引入算子符号D后，

E 蠕变柔度和松弛模量 除了用式（3-91）微分形式的本构方程来描述粘弹性体的流变性质外，可以用蠕变柔度J（t）和松弛模量Y（t）来表示粘弹性体在定应力下的蠕就特性和定应变下的松弛特性。在定应力

ζ=ζ0△(t)作用下[Δ（t）为单位阶跃函数，当t＜0时，Δ（t）＝0；t＞0时，Δ（t）＝1]，应变ε随

时间的变化关系为。

式中蠕就柔度J（T）为在单位应力ζ(t)=1*Δ(t)作用下，应变ε随时间的变化规律。

在定应变ε＝εoΔ（t）作用下，应力ζ时间的变化关系为

式中松弛模量Y（t）为在单位应变ε（t）＝1*Δ（t）作用下，应力ζ随时间的规律。

各种粘弹性模型的J（t）和Y(t)，见表3-10 粘弹性材料。

F 记忆积分 在就应力ζ(t)情况下，可用叠加原理把ζ(t)看作是ζ0Δ（t）和一系列无限小阶跃函数dζ′Δ(t-η)和叠加，其中dζ′＝dζ（η）= (dζ/dt)t=ηdη（图3-17）。因而与任意变化的应力ζ(t)相对应的应变ε（t）等于这两部分独立作用的结果。于是得到以蠕变柔度J（t）表示的积分形式的本构关

系

图3-17 记忆积分的推导

式（3-94）表示在整个应力历史上应变的变化。这个积分称为记忆积分。 同样，在变应ε（t）情况下，以松弛模量Y（t）表示的应力ζ(t)的表达式为

在实验室中蠕变试验和松弛试验，为研究粘弹性材料常用的标准静载试验。用蠕变柔度J(t)和松弛模量Y(t)表示的积分形式的本构关系在拟合曲线方面往往更为方便。除了用静载试验研究粘弹性特性外，还有用按简

谐变化的应力（或应变）下研究应变（或应力）的粘弹性响应。

2.三维性粘弹性理论的基本方程与对应原理

A 基本方程 三维线性粘弹性理论的基本方程组中，三个平衡方程，六个几何方程，以及应力和位移

的边界条件弹性理论中相同。

根据实验结果，对于各向同性粘弹性材料，应变球张量只与应力球张量有关，应变偏量只与应力偏量有关。

因此以积分形式用松弛模量表示的三维本构关系为

式中，ζ=ζx+ζy+ζz, e=εx+εy+εzG(t)和K(t)分别为纯剪切和各向等压试验时的松弛模量。

B 对应原理 对式（3-96）作关于时间t的拉普拉斯变换后，得到

将式（3-97）中的s(s ) s(s)置换为K、G后所得的方程和用体积弹性模量K和切变模量G表示的

线弹性方程完全相同。因此，可以在求解某一粘弹性问题时，先找出相应的弹性问题的解，经拉普拉斯变换求出弹性问题在象平面上的解。将其中所含的弹性常数K、G替换后得到粘弹性问题在象平面上的解。最后再经拉普拉斯逆变换，得到所要求的粘弹性问题的解。这种粘弹性问题在象平面上的解。最后再经拉普拉斯逆

变换，得到所要求的粘弹性问题的解。这种粘弹性问题和弹性问题的对应关系，称为对应原理。

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