高考数学专题讲解 第10讲 圆锥曲线解题规律 下

第10讲 圆锥曲线解题规律（下）

题一：已知抛物线C：y2??2px,(p?0)上横坐标为?3的一点，与其焦点的距离为4.（1）求p的值；（2）设动直线y?x?b与抛物线C相交于A、B两点，且这两点位于直线l:y?2的两侧.问在直线l上是否存在与b的取值无关的定点M ,使得

?AMB被直线l平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

x2y2?1(a?b?0)与过点A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，题二：椭圆2?ab且椭圆的离心率e?3.(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为2线段AF2的中点，求证：?ATM??AF1T。

题三：已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为22，离心率为2，P是椭圆在第2一象限弧上一点，且PF1?PF2?1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值

x2y2题四：设椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点M(2,1)，且焦点为F1(?2,0)

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上取点Q，满足APQB?AQPB，证明：点Q总在某定直线上

题五：已知抛物线y2＝4x，过点(0，－2)的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．(1)→→若OA·OB＝4，求直线AB的方程．(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点(n,0)，求n的取值

范围．

题六：△ABC为直角三角形，∠C=90°，若OA?(0,?4),M在y轴上，且AM?1(AB?AC)，2点C在x轴上移动.（Ⅰ）求点B的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点F(0,)的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N（0，a）（a<0），NP与NQ 的夹角为?，若??范围.

12?2恒成立，求a的取值

第10讲 圆锥曲线解题规律（下）

题一：

p?2;存在点M(-1，2)

详解： (1)由已知得：(2)

?3?p?4,又p?0,所以p?2 2

2y1y2令A(?,y1),B(?,y2),设存在点M(a,2)满足条件，由已知得，44 kAM?kBM?0代入坐标得：2y1y2(y1?y2?4)?2(y1?y2)2?4a(y1?y2)?16a?0由??y?x?b得，y2?4y?4b?0,从而有：y1?y2??4,y1y2??4b代入后得 2?y?4x?4b(?4?4)?2(?4)2?4a(?4)?16a?0,解得：a??1

所以存在点M(-1，2)满足题意

x2?2y2?1. 题二：2详解：（I）过点

A、B的直线方程为

x?y?1. 2?x2y2??1??a2b2,因为由题意得有惟一解， ??y??1x?1??2即(b21?a2)x2?a2x2?a2?a2b2?0有惟一解， 42222，故 a?4b?4?0. b(a2?4b2?4)?0 （ab?0）

所以??a1a2?b2332222a?2,b?, ?,a?4b.,即 又因为 e?所以 从而得 22a42x2?2y2?1. 故所求的椭圆方程为2（II）由（I）得 c?6666,0),F2(,0),从而M(1?,0). ,故F1(?2242?x2?2y2?1?16?2T(1,)., 由解得所以 因为tan?AFT??1, x?x?1,?11222?y??1x?1??221?12626,得tan?ATM?又tan?TAM?,tan?TMF2???1,

12261?6因此?ATM 题三：(1,??AFT1.

2)

y2x2??1a2b2，由题意可得

详解：（1）设椭圆方程为

a?2,b?2,c?22，方程为

y2x2??1F1(0,2),F2(0,?2)，设P(x0,y0)(x0?0,y0?0) 42则PF122?(?x0,2?y0),PF2?(?x0,?2?y0),?PF1?PF2?x0?(2?y0)?1

222x0y04?y02??1. ?x0?点P(x0,y0)在曲线上，则242

24?y02?(2?y0)?1，得y0?2，则点P的坐标为(1,2) 从而

2（2）由（1）知PF1//x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k?0)，

?y?2?k(x?1)?则PB的直线方程为：y?2?k(x?1) 由?x2得 y2?1???24(2?k2)x2?2k(2?k)x?(2?k)2?4?0

2k(k?2)k2?22k?2?1?设B(xB,yB),则xB?

2?k22?k2k2?22k?242kx?x?同理可得xA?，则AB2?k22?k2

yA?yB??k(xA?1)?k(xB?1)?所以：AB的斜率kAB

8k2?k2

?yA?yB?2为定值

xA?xBx2y2??1 题四：42?c2?2?x2y2?2122??1 详解：(1)由题意： ?2?2?1 ，解得a?4,b?2，所求椭圆方程为

ab42?222??c?a?b(2) 设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2)。

由题设知

AP,PB,AQ,QB均不为零，记??APPB?AQQB,则??0且??1

又A，P，B，Q四点共线，从而AP???PB,AQ??QB

x1??x2， 1?1??x1??x2 x?， y?1??于是 4?y1??y21??y1??y21??

2x12??2x2?4x，从而 21??（1）

2y12??2y2?y，21??（2）

又点A、B在椭圆C上，即 x12?2y12?4,22(3) x2?2y2?4,(4)

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得4x?2y即点Q(x,y)总在定直线2x?

?4

y?2?0上

题五：AB的方程为y＝(2－1)x－2. n的取值范围为(2，＋∞)．

2

详解：(1)设直线AB的方程为y＝kx－2 (k≠0)，代入y＝4x中得， k2x2－(4k＋4)x＋4＝0①

4k＋44

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝2.

kky1y2＝(kx1－2)·(kx2－2)＝k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝－. k48→→2

∵OA·OB＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝2－＝4，∴k＋2k－1＝0，解得k＝－1±2.又由方程①的判

8

kk别式Δ＝(4k＋4)－16k＝32k＋16>0得

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