高三数学（理）总复习--金版教程《高效作业》带详解答案3-8

第3章 第8节

一、选择题

1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C的距离是( )

A．103海里 C．52海里 答案：D

解析：在△ABC中，由正弦定理易求BC＝56(海里)．

2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )

106

B.海里

3D．56海里

A．a km C.2a km 答案：B

解析：利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2

1＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×(－)＝3a2，∴AB＝3a.

2

3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )

176A.海里/小时

2172C.海里/小时

2答案：A

PMMN

解析：如图所示，在△PMN中，＝，

sin45°sin120°

B．346海里/小时 D．342海里/小时

B.3a km D．2a km

68×3

∴MN＝＝346，

2MN17∴v＝＝6(海里/小时)．

42

4．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好3 km，那么x的值为( )

A.3

B．23 D．3

C．23或3 答案：C

解析：如右图，在△ABC中，AB＝x， BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，

由余弦定理得(3)2＝32＋x2－2×3x×cos30°， 即x2－33x＋6＝0，解得x1＝3，x2＝23， 经检验均合题意．

5．如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )

A．c和α C．c和β 答案：D

解析：从图中可以看出，不能直接测量出a及c，故A、B、C均不适宜．只需测量出bπba

和α(在河边一侧即可测出)，此时，β＝－α，在△ABC中，利用正弦定理，可得＝，

2sinβsinαsinαsinα

∴a＝b＝b＝btanα.

sinβcosα

6．在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度是( )

A．20(1＋

3

) m 3

B．20(1＋3) m D．20(6＋2) m

B．c和b D．b和α

C．10(6＋2) m 答案：B

解析：如右图所示，由条件可知四边形ABCD为正方形，AB＝CD＝20 m，BC＝AD＝20 m.

在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20 m， ∴EC＝CDtan60°＝203(m)， ∴BE＝BC＋CE＝20＋203(m)． 二、填空题

7. 已知A船在灯塔C北偏东80°处 ，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为________km.

答案：6－1

解析：如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝6－1.

8．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到O，测得塔A仰角为30°，则塔高为________．

答案：10 m

解析：画出示意图，如图所示．CO＝10，∠OCD＝40°，∠BCD＝80°，∠ACB＝45°，∠AOB＝30°，AB⊥平面BCO.

令AB＝x，则BC＝x，BO＝3x. 在△BCO中，则余弦定理，得：

(3x)2＝x2＋100－2x×10×cos(80°＋40°)，

整理得：x2－5x－50＝0，解得x＝10，x＝－5(舍去)．

9. (2010·合肥质检一)如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件_____时，该船没有触礁危险．

答案：mcosαcosβ>nsin(α－β)

BMm

解析：由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，

sin?90°－α?sin?α－β?mcosα

解得BM＝，

sin?α－β?

mcosαcosβ

要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝>n，

sin?α－β?所以α与β的关系满足mcosαcosβ>nsin(α－β)时船没有触礁危险． 三、解答题

10．(2009·宁夏、海南卷)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．

解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M.由题中所给数据可得， DF＝MF2＋MD2＝302＋1702＝10298， DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130， EF＝?BE－FC?2＋BC2＝902＋1202＝150.

在△DEF中，由余弦定理得， DE2＋EF2－DF2cos∠DEF＝

2×DE×EF1302＋1502－102×29816＝＝.

652×130×150

11．(2010·宝鸡质检一)如图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100m，AB＝140m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．

解：在△ABD中，设BD＝xm，

则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA， 即1402＝x2＋1002－2×100×x×cos60°， 整理得x2－100x－9600＝0， 解之得x1＝160，x2＝－60(舍去)， 故BD＝160m，

BCBD由正弦定理，得：＝，

sin∠CDBsin∠BCD又AD⊥CD，∴∠CDB＝30°， 160∴BC＝·sin30°＝802≈113(m)．

sin135°即两景点B与C之间的距离约为113m.

12．(2010·南京调研)如图，矩形ABCD是机器人踢球的场地，AB＝170cm，AD＝80cm，机器人先从AD中点E进入场地到点F处，EF＝40cm，EF⊥AD.场地内有一小球从点B向点A运动，机器人从点F出发去截小球．现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍. 若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？

解：设该机器人最快可在点G处截住小球，点G在线段AB上，连接FG， 设FG＝x cm，根据题意，得BG＝2x cm. 则AG＝AB－BG＝(170－2x)cm.

连接AF，在△AEF中，EF＝AE＝40cm，EF⊥AD， 所以∠EAF＝45°，AF＝402cm. 于是∠FAG＝45°，

在△AFG中，由余弦定理，得

FG2＝AF2＋AG2－2AF·AGcos∠FAG.

所以x2＝(402)2＋(170－2x)2－2×402×(170－2x)×cos45°， 370解得x1＝50，x2＝.

3

230

所以AG＝170－2x＝70cm，或AG＝－cm(不合题意，舍去)．

3答：该机器人最快可在线段AB上离A点70cm处截住小球．

FG2＝AF2＋AG2－2AF·AGcos∠FAG.

所以x2＝(402)2＋(170－2x)2－2×402×(170－2x)×cos45°， 370解得x1＝50，x2＝.

3

230

所以AG＝170－2x＝70cm，或AG＝－cm(不合题意，舍去)．

3答：该机器人最快可在线段AB上离A点70cm处截住小球．

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