2014-2015学年重庆市西南大学附中高二(下)期末数学试卷(理科)_99

2014-2015学年重庆市西南大学附中高二（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（ ） A． M∪N B． M∩N C． （?UM）∪（?UN） D． （?UM）∩（?UN）

2．已知复数z1=2+i，z2=1﹣2i，若

，则=（ ）

A． B． C． i D． ﹣i

3．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（ ） A． 必要不充分条件 B． 充要条件 C． 充分不必要条件 D． 既不充分也不必要条件 4．高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（ ） A． 36 B． 24 C． 18 D． 12

5．曲线y=cosx（0≤x≤ A． 4

）与坐标轴围成的面积是（ ） B．

C． 3

D． 2

6．设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1）．已知Φ（﹣1.96）=0.025，则P（|ξ|＜1.96）=（ ） A． 0.025 B． 0.050 C． 0.950 D． 0.975

7．已知不等式|a﹣2x|＞x﹣1，对任意x∈[0，2]恒成立，则a的取值范围为（ ） A． （﹣∞，﹣1）∪（5，+∞） B． （﹣∞，2）∪（5，+∞） C． （1，5） D． （2，5）

8．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（ ） A． C．

B． D．

9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，

的最小值为（ ）

第1页（共18页）

A． 10．从

B． C． D．

（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）

方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（ ） A．

11．函数y=e

|lnx|

B． C． D．

﹣|x﹣1|的图象大致是（ ）

A．

12．设函数

B． C． D．

，记Ik=|fk

（a2）﹣fk（a1）|+|fk（a3）﹣fk（a2）|+…+|fk（a2016）﹣fk（a2015）|，k=1，2，则（ ） A． I1＜I2 B． I1＞I2 C． I1=I2 D． I1，I2大小关系不确定

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上． 13．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=8cosθ于A、B两点，则|AB|= ． 14．

15．设函数f（x）=

16．已知曲线f（x）=x（n∈N）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为 ．

三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

32

17．已知函数f（x）=ax+bx﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6，在x=1时有极小值， （1）求a，b，c的值；

第2页（共18页）

n+1

*

展开式中的常数项为 ．

，若f（x）是奇函数，则g（2）的值是 ．

（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．

18．某款游戏共四关，玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏，每通过一关可得10分，现在甲和乙来玩这款游戏，已知甲每关通过的概率是，乙每关通过的概率是． （1）求甲、乙两人最后得分之和为20的概率；

（2）设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望．

19．已知定义域为R的函数（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

20．已知椭圆

（a＞b＞0），F1、F2分别为它的左、右焦点，过焦点且垂直于X轴的

2

2

是奇函数．

弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）问是否存在过椭圆焦点F2的弦PQ，使得|PF1|，|PQ|，|QF1|成等差数列，若存在，求出PQ所在直线方程；若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0． （1）求a，b的值；

（2）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围；

*

（3）证明：当n∈N，且n≥2时，++…+＞．

请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C． （Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；

（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

第3页（共18页）

2015?陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．

（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；

（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

【选修4-5：不等式选讲】

2015?陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4} （Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）求+的最大值．

第4页（共18页）

2014-2015学年重庆市西南大学附中高二（下）期末数学试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（ ） A． M∪N B． M∩N C． （?UM）∪（?UN） D． （?UM）∩（?UN）

考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合． 分析： 由题意可得5∈?UM，且5∈?UN；6∈?UM，且6∈?UN，从而得出结论． 解答： 解：∵5?M，5?N，故5∈?UM，且5∈?UN． 同理可得，6∈?UM，且6∈?UN， ∴{5，6}=（?UM）∩（?UN）， 故选：D． 点评： 本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题．

2．已知复数z1=2+i，z2=1﹣2i，若

，则=（ ）

A． B． C． i D． ﹣i

考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 解答： 解：∵复数z1=2+i，z2=1﹣2i， ∴

=

=

=

=i，

则=﹣i． 故选：D． 点评： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．

3．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（ ） A． 必要不充分条件 B． 充要条件 C． 充分不必要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．

第5页（共18页）

分析： 利用函数奇函数的定义，结合充分条件和必要条件进行判断即可．

解答： 解：根据奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点对称，若f（0）=0， 则f（﹣x）=f（x）不一定成立，所以y=f（x）不一定是奇函数．比如f（x）=|x|， 若y=f（x）为奇函数，则定义域关于原点对称， ∵f（x）是定义在R上的函数． ∴f（0）=0，

即“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件， 故选：A． 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用函数奇函数的定义和性质是解决本题的关键． 4．高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（ ） A． 36 B． 24 C． 18 D． 12

考点： 计数原理的应用． 专题： 排列组合． 分析： 由题意，先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，问题得以解决

解答： 解：先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，

故甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为

=36种．

故选：A 点评： 本题考查了分步计数原理，关键是如何分步，特殊位置优先安排的原则，属于基础题

5．曲线y=cosx（0≤x≤ A． 4

）与坐标轴围成的面积是（ ） B．

C． 3

D． 2

考点： 余弦函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0≤x≤

）与坐标

轴围成的面积是3=3sinx，计算求的结果．

）与坐标轴围成的面

解答： 解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0≤x≤

积是3=3sinx=3，

故选：C． 点评： 本题主要考查余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，属于基础题．

第6页（共18页）

6．设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1）．已知Φ（﹣1.96）=0.025，则P（|ξ|＜1.96）=（ ） A． 0.025 B． 0.050 C． 0.950 D． 0.975

考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 计算题． 分析： 根据变量符合正态分布，且对称轴是x=0，得到P（|ξ|＜1.96）=P（﹣1.96＜ξ＜1.96），应用所给的Φ（﹣1.96）=0.025，条件得到结果，本题也可以这样解根据曲线的对称轴是直线x=0，得到一系列对称关系，代入条件得到结果． 解答： 解：解法一：∵ξ～N（0，1） ∴P（|ξ|＜1.96）

=P（﹣1.96＜ξ＜1.96） =Φ（1.96）﹣Φ（﹣1.96） =1﹣2Φ（﹣1.96） =0.950

解法二：因为曲线的对称轴是直线x=0，

所以由图知P（ξ＞1.96）=P（ξ≤﹣1.96）=Φ（﹣1.96）=0.025 ∴P（|ξ|＜1.96）=1﹣0.25﹣0.25=0.950 故选C

点评： 本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查对称性，是一个数形结合的问题，是一个遇到一定要得分数的题目．

7．已知不等式|a﹣2x|＞x﹣1，对任意x∈[0，2]恒成立，则a的取值范围为（ ） A． （﹣∞，﹣1）∪（5，+∞） B． （﹣∞，2）∪（5，+∞） C． （1，5） D． （2，5）

考点： 不等关系与不等式． 专题： 计算题． 分析： 运用绝对值不等式的解法，结合题干利用不等式的性质进行求解． 解答： 解：当0≤x≤1时，不等式|a﹣2x|＞x﹣1，a∈R； 当1≤x≤2时，不等式|a﹣2x|＞x﹣1，

即a﹣2x＜1﹣x或a﹣2x＞x﹣1，x＞a﹣1或3x＜1+a， 由题意得1＞a﹣1或6＜1+a，a＜2或a＞5；

综上所述，则a的取值范围为（﹣∞，2）∪（5，+∞）， 故选B． 点评： 此题考查绝对值不等式的性质和不等关系与不等式的关系，此题是一道好题．

第7页（共18页）

8．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（ ） A． C．

B． D．

考点： 对数值大小的比较． 分析： 由f（2﹣x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f（x）=lnx得到函数的图象，从而得到答案．

解答： 解：∵f（2﹣x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1

∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大 故选C． 点评： 本题考查的是由f（a﹣x）=f（b+x）求函数的对称轴的知识与对数函数的图象．

9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2， A．

B．

的最小值为（ ） C．

D．

考点： 基本不等式在最值问题中的应用；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 计算题；数形结合． 分析： 依题意可求得3a+2b的值，进而利用基本不等式求得问题的答案． 解答： 解：由题意得3a+2b=2，

=（=故选D

）×

=1把

转化为（

）×

展开后利用

点评： 本题主要考查了基本不等式的应用．解题的关键是构造出+的形式．

第8页（共18页）

10．从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）

方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 计算题；压轴题． 分析： m和n的所有可能取值共有3×3=9个，其中有两种不符合题意，故共有7种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在x轴上的双曲线的选法，即m和n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率

解答： 解：设（m，n）表示m，n的取值组合，则取值的所有情况有（﹣1，﹣1），（2，﹣1），（2，2），（2，3），（3，﹣1），（3，2），（3，3）共7个，（注意（﹣1，2），（﹣1，3）不合题意） 其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共4个 ∴此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为

故选B 点评： 本题考查了古典概型概率的求法，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，列举法计数的技巧，准确计数是解决本题的关键

11．函数y=e

|lnx|

﹣|x﹣1|的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

考点： 对数的运算性质；函数的图象与图象变化．

|lnx|

分析： 根据函数y=e﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案． 解答： 解：由y=e当0＜x＜1时，y=e

﹣lnx

|lnx|

﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1）， ﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣

lnx

﹣lnx

+1＜0．

∴y=e﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e﹣x+1=1，

故选D． 点评： 本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．

12．设函数

，记Ik=|fk

（a2）﹣fk（a1）|+|fk（a3）﹣fk（a2）|+…+|fk（a2016）﹣fk（a2015）|，k=1，2，则（ ） A． I1＜I2 B． I1＞I2

第9页（共18页）

C． I1=I2

考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由于f1（ai+1）﹣f1（ai）=﹣fi（ai）=log2016

﹣log2016

﹣=log2016

﹣=

D． I1，I2大小关系不确定

．可得I1=|

﹣

|×2015．由于fi+1（ai+1）

．即可得出I2=log20152015，进而得到答案． =

．

解答： 解：∵f1（ai+1）﹣f1（ai）=

∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）| =|

﹣

|×2015=

．

﹣log2016

=log2016

．

∵f2（ai+1）﹣f2（ai）=log2016

∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）| =log2016（××…×

）=log20162016=1，

∴I1＜I2． 故选：A． 点评： 本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．

13．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=8cosθ于A、B两点，则|AB|= ．

考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．

222

分析： 由ρ=8cosθ化为ρ=8ρcosθ，化为（x﹣4）+y=16．把x=3代入解出即可得出．

22222

解答： 解：由ρ=8cosθ化为ρ=8ρcosθ，∴x+y=8x，化为（x﹣4）+y=16．

2

把x=3代入可得y=15，解得y=． ∴|AB|=2． 故答案为：2． 点评： 本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．

展开式中的常数项为 ﹣160 ．

考点： 二项式系数的性质． 专题： 二项式定理． 分析： 写出二项式的通项，直接由x得系数为0求得r的值，再代入通项求得答案． 解答： 解：由

，得

第10页（共18页）

r﹣3

=

由r﹣3=0，得r=3． ∴

展开式中的常数项为

?x．

=﹣160．

故答案为：﹣160． 点评： 本题考查了二项式定理，考查了二项式的展开式，是基础的计算题．

15．设函数f（x）=

，若f（x）是奇函数，则g（2）的值是 ﹣ ．

考点： 奇函数． 分析： 利用奇函数的定义f（x）=﹣f（﹣x）即可整理出答案． 解答： 解：由题意知g（2）=f（2）， 又因为f（x）是奇函数，

所以f（2）=﹣f（﹣2）=﹣2=﹣， 故答案为﹣．

点评： 本题考查奇函数的定义f（x）=﹣f（﹣x）．

16．已知曲线f（x）=x（n∈N）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为 ﹣1 ．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；对数的运算性质． 专题： 导数的综合应用；等差数列与等比数列． 分析： 由f′（x）=（n+1）x，知k=f′（x）=n+1，故点P（1，1）处的切线方程为：y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0，得xn=

，由此能求出log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值

nnn+1

*

﹣2

解答： 解：f′（x）=（n+1）x， k=f′（x）=n+1，

点P（1，1）处的切线方程为：y﹣1=（n+1）（x﹣1）， 令y=0得，x=1﹣即xn=

，

=

，

=

，

∴x1×x2×…×x2014=×××…×

则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015（x1×x2×…×x2015） =log2015

=﹣1．

故答案为：﹣1．

第11页（共18页）

点评： 本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．

三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

32

17．已知函数f（x）=ax+bx﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6，在x=1时有极小值， （1）求a，b，c的值；

（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．

考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题．

32

分析： （1）因为函数f（x）=ax+bx﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6，在x=1时有极小值得到三个方程求出a、b、c；

（2）令f′（x）=x+x﹣2=0解得x=﹣2，x=1，在区间[﹣3，3]上讨论函数的增减性，得到函数的最值．

2

2

解答： 解：（1）f′（x）=3ax+2bx﹣2由条件知解得a=，b=，

c=

（2）f（x）=

，f′（x）=x+x﹣2=0解得x=﹣2，x=1

2

由上表知，在区间[﹣3，3]上，当x=3时，fmax=

；当x=1，fmin=．

点评： 考查函数利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数增减性的能力．

18．某款游戏共四关，玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏，每通过一关可得10分，现在甲和乙来玩这款游戏，已知甲每关通过的概率是，乙每关通过的概率是．

（1）求甲、乙两人最后得分之和为20的概率；

（2）设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题： 概率与统计．

分析： （1）设“甲、乙最后得分之和为20”为事件A，“甲0分，乙（20分）”为事件B，“甲（10分），乙（10分）”为事件C，“甲（20分），乙0分”为事件D，利用独立重复试验的概率求解即可．

第12页（共18页）

（2）X的所有可能取值为0，10，20，30，40．求出概率．得到X分布列，然后求解期望即可． 解答： 解：（1）设“甲、乙最后得分之和为20”为事件A，“甲0分，乙（20分）”为事件B，“甲（10分），乙（10分）”为事件C，“甲（20分），乙0分”为事件D 则

， ，

则

（6分）

，

（2）X的所有可能取值为0，10，20，30，40．

，

，

， ，

，

X分布列为 X 0 P

10

20

30

40

（12分）． 点评： 本题考查独立重复试验的概率的求法，分布列以及期望的求法，考查计算能力．

19．已知定义域为R的函数

是奇函数．

（Ⅰ）求a，b的值；

22

（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

考点： 指数函数单调性的应用；奇函数． 专题： 压轴题．

分析： （Ⅰ）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求a，b的值；

22

（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0， 即

第13页（共18页）

又由f（1）=﹣f（﹣1）知所以a=2，b=1． 经检验a=2，b=1时，

．

是奇函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数． 又因为f（x）是奇函数，

，

所以f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0

222

等价于f（t﹣2t）＜﹣f（2t﹣k）=f（k﹣2t），

22

因为f（x）为减函数，由上式可得：t﹣2t＞k﹣2t．

2

即对一切t∈R有：3t﹣2t﹣k＞0， 从而判别式

所以k的取值范围是k＜﹣．

点评： 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．

20．已知椭圆

（a＞b＞0），F1、F2分别为它的左、右焦点，过焦点且垂直于X轴的

．

22

弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）问是否存在过椭圆焦点F2的弦PQ，使得|PF1|，|PQ|，|QF1|成等差数列，若存在，求出PQ所在直线方程；若不存在，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）由条件列出方程组，求出椭圆的几何量a，b，然后求解椭圆方程． （2）不存在．推出

．显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，推出矛盾结果；当

直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，得到直线PQ的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆C的方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，推出结果即可． 解答： 解：（1）由条件过焦点且垂直于X轴的弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形．

得，所以椭圆方程为（4分）

第14页（共18页）

（2）不存在．由条件得：|PF1|+|PQ|+|QF1|=3|PQ|=8，则

．

．

显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ斜率不存在时，当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，

则直线PQ的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆C的方程，

22222

消去y并整理得：（4k+3）x﹣8kx+4k﹣12=0，△=144（k+1）＞0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则

，

∴，

当时，k无解． （12分）

点评： 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用．

21．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0． （1）求a，b的值；

（2）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围；

*

（3）证明：当n∈N，且n≥2时，++…+＞．

考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）利用函数在点（1，f（1））处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得a，b的值； （2）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，等价于k＜0.5x﹣xlnx，构造函数，求最值，即可求实数k的取值范围； （3）证明

＞

=

﹣

，把x=1，2，…n分别代入上面不等式，并相加得结论．

2

解答： （1）解：∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=+b．

∵直线x﹣2y﹣2=0的斜率为0.5，且过点（1，﹣0.5），…（1分） ∴f（1）=﹣0.5，f′（1）=0.5 解得a=1，b=﹣0.5．…（3分）

（2）解：由（1）得f（x）=lnx﹣0.5x．

第15页（共18页）

2

当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，等价于k＜0.5x﹣xlnx．…（4分） 令g（x）=0.5x﹣xlnx，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．…（5分） 令h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）=

．

2

当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增， 故h（x）＞h（1）=0…（6分）

从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增， 故g（x）＞g（1）=0.5．…（7分） ∴k≤0.5．…（9分）

（3）证明：由（2）得，当x＞1时，lnx﹣0.5x+又xlnx＞0， 从而，

＞

=

﹣

．…（11分）

＜0，可化为xlnx＜

，…（10分）

把x=2，…n分别代入上面不等式，并相加得，

+

+…+

＞1﹣+﹣+…+

﹣

=1+﹣﹣

=

．…（14分）

点评： 本题属导数的综合应用题，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的最值，考查不等式的证明，有难度．

请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C． （Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；

（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆．

分析： （Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径． 解答： 证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径， 则∠BED+∠EDB=90°， ∵BC⊥DE，

∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED， ∵AB切⊙O于点B，

第16页（共18页）

∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA， 则∵BC=∴AB=3

=3， ， ，AC=

，

则AD=3，

由切割线定理得AB=AD?AE， 即AE=

，

2

故DE=AE﹣AD=3， 即可⊙O的直径为3． 点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

2015?陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．

（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；

（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

考点： 点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 坐标系和参数方程． 分析： （I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2可得出；． （II）设P

，又C

．利用两点之间的距离公式可得|PC|=

，再

sinθ．化为ρ=2

2

，把代入即

利用二次函数的性质即可得出． 解答： 解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2∴ρ=2配方为（II）设P∴|PC|=

2

sinθ．

，化为x+y=

=3．

，又C

22

，

．

=

≥2

，

因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）． 点评： 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

第17页（共18页）

【选修4-5：不等式选讲】

2015?陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4} （Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）求+的最大值．

考点： 不等关系与不等式． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： （Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得； （Ⅱ）原式=

+

=

+

，由柯西不等式可得最大值．

解答： 解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a， 又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}， ∴

，解方程组可得

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得==2

+

≤

+=+

=4，

当且仅当=即t=1时取等号，

∴所求最大值为4 点评： 本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．

第18页（共18页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j706.html