第二章 第一节函数的概念与表示

同步检测训练

一、选择题

1．设集合A＝R，集合B＝正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是( ) A．f：x→y＝|x| B．f：x→y＝x

－

C．f：x→y＝3x

D．f：x→y＝log2(1＋|x|) 答案：C

－

解析：指数函数的定义域是R，值域是(0，＋∞)，所以f是x→y＝3x.

1

2．设f(x)＝|x－1|－|x|，则f[f()]＝( )

2

1

A．－ B．0

21C. D．1 2

答案：D

1??1?1

－1－解析：f()＝?＝0， 2?2??2?1

f[f()]＝f(0)＝|0－1|－|0|＝1，故选D. 2

3．函数f：{1,2,3}→{1,2,3}满足f[f(x)]＝f(x)，则这样的函数个数共有( ) A．1个 B．4个 C．8个 D．10个 答案：D

解析：本题考查映射的性质．

根据映射一对一、多对一的性质，以及f[f(x)]＝f(x)的条件，可列举出来10个符合要求的

函数：如等．

4．(2009·北京市东城区)设f(x)＝ ??2－x (0≤x≤1)－3?，则f1()的值等于( ) 22??(x－2) (1

1A. 2C．2－

1B. 4

66 D．2＋ 22

答案：A

331－3

解析：设f1()＝n，则f(n)＝，解方程2－n＝(0≤n≤1)，得n＝，函数f(x)有反函数，

222233

满足f(n)＝的n只有一个值(不必再解方程(n－2)2＝(1

22

?log2x(x>0)?1

5．(2009·重庆市诊测)已知函数f(x)＝?x，则f[f()]的值是( )

4?3(x≤0)?

1A．－ B．－9

91C. D．9 9

答案：C

1111－

解析：依题意得f()＝log2＝－2，f[f()]＝f(－2)＝32＝，选C.

4449

2

??sin(πx) (－1

6．函数f(x)＝?x－1若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为( )

?e (x≥0).?

A．1 C．－B．1，－

2

2

22 D．1， 22答案：B

－－

解析：当a≥0时，f(1)＝1，f(a)＝ea1，∴1＋ea1＝2，∴a＝1，当－1

12

∴1＋sin(πa2)＝2，∴a2＝，∴a＝－.故选B.

22

7．(2008·西南师大附中)集合A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f满足f(a)＝f(b)＋f(c)，那么这样的映射f的个数是( )

A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 答案：D

解析：当f(a)＝－1时，f(b)，f(c)为－1,0或0，－1，这样的映射有两个；当f(a)＝0时，f(b)，f(c)为－1,1或1，－1或0,0，这样的映射有三个；当f(a)＝1时，f(b)，f(c)为1,0或0,1，这样的映射有两个；综上所述，所求映射共7个，故选D.

8．(2009·江西五校联考)已知函数f(x)＝ －x??2－1，(x≤0)?，若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范?f(x－1)，(x>0)?

围为( )

A．(－∞，0] B．[0,1) C．(－∞，1) D．[0，＋∞) 答案：C

解析：函数f(x)的图象如下图所示，从图中可知，当a≥1时，方程f(x)＝x＋a只有一个根，当a<1时，满足条件，故选C.

二、填空题 9．(2008·北京海淀)已知函数f(x)＝ ??－|x＋1| (x≤0)，?2那么不等式f(x)<0的解集为________． ?x－1 (x>0)，?

答案：(－∞，－1)∪(－1,1)

??－|x＋1|<0，

解析：由?

?x≤0，?

得x≤0且x≠－1，

2??x－1<0，由?得00，?

故填(－∞，－1)∪(－1,1)． 10．(2008·北京崇文)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝??1 (－1

答案：－1

解析：f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，则f(x)＝－f(x＋1)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2)，则f(x)的周期为2，f(3)＝f(1)＝－1，故填－1.

11．(2009·北京海淀区)已知：对于给定的q∈N*及映射f：A→B，B?N*.若集合C?A，且C中所有元素对应的象之和大于或等于q，则称C为集合A的好子集．

①对于q＝2，A＝{a，b，c}，映射f：x→1，x∈A，那么集合A的所有好子集的个数为________；

②对于给定的q，A＝{1,2,3,4,5,6，π}，映射f：A→B的对应关系如下表：

x 1 2 3 4 5 6 π f(x) 1 1 1 1 1 y z 若当且仅当C中含有π和至少A中2个整数或者C中至少含有A中5个整数时，C为集合A的好子集．写出所有满足条件的数组(q，y，z)：________.

答案：4，(5,1,3)

解析：①依题意得集合C中的所有元素的象都是1，且要求C中的所有元素的象之和不

3

小于2，因此集合C中的元素个数可以是2个或3个，满足题意的集合C的个数是C23＋C3＝4.

②依题意知当C中恰好含有A中5个整数时，C为集合A的好子集，因此q≤5；当C中仅含有A中4个整数时，C不是集合A的好子集，因此q>4.又q∈N*，于是q＝5.当C中恰好含有π和A中2个整数时，C为集合A的好子集，因此z＋y＋1≥5，z＋2≥5；当C中恰好含有π和A中1个整数时，C不是集合A的好子集，因此5>1＋z,5>y＋z,3≤z<4，又z∈N*，故z＝3，y≥1且y<2，又y∈N*，于是y＝1，所以满足条件的数组(q，y，z)＝(5,1,3)．

三、解答题 12.

如右图所示．

(1)求对应于折线OABC函数f(x)的解析表达式；

(2)若x=t与折线OABC及x轴所围成(x≤t)的部分面积为S，当t∈[0,3]时，求S与t的函数关系式，并画出图象．

图象如下图所示．

13．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x. (1)求g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|.

解：(1)设函数y＝f(x)的图象上任一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)， x

＝0，?x＋2

则?y＋y

?2＝0，

00

??x0＝－x， 即?

?y0＝－y.?

∵点Q(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，

∴－y＝x2－2x，即y＝－x2＋2x， 故g(x)＝－x2＋2x.

(2)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得：2x2－|x－1|≤0. 当x≥1时，2x2－x＋1≤0，此时不等式无解．

1

当x<1时，2x2＋x－1≤0，∴－1≤x≤.

21

因此，原不等式的解集为[－1，]．

2

14．如右图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，且上底CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域．

解：AB=2R.

C、D在⊙O的半圆周上，

设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB， 垂足为E，连接BD， 那么∠ADB是直角，

由此Rt△ADE∽Rt△ABD.

x22

∴AD=AE×AB，即AE=，

2R2x

∴CD=AB-2AE=2R-，

Rx2x2

所以y=2R+2x+(2R-)，即y=-+2x+4R.

RR

??x>0

再由?2R

x?2R－?R>0

2

2

x>0

x2

所以y＝－＋2x＋4R，定义域为(0，2R)．

R

15．已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数．又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值，最小值为－5.

(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；

(2)试求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式； (3)试求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．

，解得0

(1)证明：∵y＝f(x)是以5为周期的周期函数， ∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)．

又y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数， ∴f(1)＝－f(－1)＝－f(4)． ∴f(1)＋f(4)＝0.

(2)解：当x∈[1,4]时，由题意，可设 f(x)＝a(x－2)2－5 (a≠0) 由f(1)＋f(4)＝0得

a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0 解得a＝2.

∴f(x)＝2(x－2)2－5 (1≤x≤4)．

(3)解：∵y＝f(x) (－1≤x≤1)是奇函数， ∴f(0)＝－f(－0)．∴f(0)＝0.

又y＝f(x) (0≤x≤1)是一次函数， ∴可设f(x)＝kx(0≤x≤1)， ∵f(1)＝2(1－2)2－5＝－3， 又f(1)＝k·1＝k， ∴k＝－3.

∴当0≤x≤1时，f(x)＝－3x； 当－1≤x<0时，0<－x≤1. ∴f(x)＝－f(－x)＝－3x.

∴当－1≤x≤1时，f(x)＝－3x； 当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1，

∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15； 当6

f(x)＝f(x－5)＝2[(x－5)－2]2－5＝2(x－7)2－5.

?－3x＋15，4≤x≤6，?

∴f(x)＝? 2

?2(x－7)－5，6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j6zt.html