解决圆周运动问题的解题步骤

物理 解决圆周运动问题的解题步骤

1． 明确研究对象，分析运动状态：

①若有某个固定点或固定轴，开始运动瞬间速度与外力垂直，且某个外力为变力，物体将做圆周运动。 （关键是看是否有初速度与外力是否垂直，速度与外力是否变化。） ②若切线方向有加速度，则物体做非匀速圆周运动。 若切线方向无加速度，则物体做匀速圆周运动。

例题:如下图所示，将完全相同的两个小球A、B，用长L=0.8 m的细绳悬于以v=4 m／s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FB∶FA为(g=10 m／s2)（ C ）

A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4

答案：C （A球以v=4 m／s的速度做匀速圆周运动，B球静止） 2．确定圆心与轨道半径：

例题:如图所示，竖直放置的光滑圆环，半径R=20cm，在环上套有一个质量为m的小球，若圆环 以w=10 rad/s

2

的角速度转动（取g=10m/s），则角θ的大小为 （ C ）

A．30° B．45° C．60°

D．90°

答案：C （质点与转轴的垂点为圆心，垂线为半径） 3．受力分析，确定向心力的来源：

例题:创新P21 跟踪2

如图1所示，半径为r的圆形转筒，绕其竖直中心轴oo’转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，现要使小物块不下落，圆筒转动的角速度ω至少为：（ C ）

0 a 答案：C

1

0/ 图 4-21

如图4-21所示,半径为r的圆形转筒,绕其竖直中心轴OO’转动,小物块a靠在圆筒的内壁上,它与圆筒间的动摩擦因数为μ,现要使小物块不下落,圆筒转动的角速度ω至少为 答案：

几种常见的匀速圆周运动的实例图表

图形 受力分析 以向心加速度方向建立坐标系 利用向心力公式

2

4．列式求解

典型实例

一、 临界条件： 1， 竖直平面内：

考点: 在竖直平面内做圆周运动的临界条件

竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态. （1）、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：

①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg=

2mv临界r

上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v临界=rg.

v2?mg ②能过最高点的条件：v≥v临界. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力N?mr③不能过最高点的条件：v

①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度 v临界=0.

②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是

当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；

v2当0

r其取值范围是mg>N>0. 当v=rg时，N=0；

3

v2?mg，其大小随速度的增大而增大. 当v>rg时，杆对小球有指向圆心的拉力N?mr③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是

当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.

v2当0

r增大而减小，其取值范围是mg>N>0. 当v=gr时，N=0.

v2?mg，其大小随当v>gr时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力N?mr速度的增大而增大.

④图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的vv>gr时，小球将脱离轨道做平抛运动.

在竖直平面内作圆周运动的临界问题

⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况

v R R 杆 O 临界

=gr.当

v R 绳 v0

图 1

图 2

图 3

①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用

v临界＝Rg

②能过最高点的条件：v≥Rg ，当v＞Rg 时， 绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。 ③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。

⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力 ①能过最高点v临界＝0，此时支持力N＝mg

②当0＜v＜Rg 时，N为支持力，有0＜N＜mg，且N随v的增大而减小 ③当v＝Rg 时，N＝0

④当v＞Rg ，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增大

例题:轻杆长为2L，水平转轴装在中点O，两端分别固定着小球A和B。A球质量为m，B球质量为2m，在竖直平面内做圆周运动。

⑴当杆绕O转动到某一速度时，A球在最高点，如图所示，此时杆A点恰不受力，求此时O轴的受力大小和方向；

⑵保持⑴问中的速度，当B球运动到最高点时，求O轴的受力大小和方向；

4

⑶在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。

v22v2解析：⑴A端恰好不受力，则mg?m,v?gL，B球：T?2mg?2m,T?4mg由

LL牛顿第三定律，B球对O轴的拉力T??4mg，竖直向下。

v2⑵杆对B球无作用力，对A球T?mg?m,T?mg由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力

LT??2mg，竖直向下。

v?2v?2⑶若B球在上端A球在下端，对B球：T?2mg?2mg，对A球：T?mg?m，

LLv?2联系得v??3gL。若A球在上端，B球在下端，对A球：T?mg?m，对B球：

Lv?2v?2T?2mg?2m，联系得3mg??m显然不成立，所以能出现O轴不受力的情况，此

LL时vA?vB?3gL。 2， 水平面内：

在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。 说明：一般求解“在什么范围内??”这一类的问题就是要分析 两个临界状态。 小结

1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，

绳子的悬点不一定是圆心。

2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。

如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。

5

C

B 45° A 30° 图 6

（1） 拉力：

①假设法：假设两绳均受拉力作用，所得值为正，证明绳子拉紧；所得值为负，证明绳子松弛。 例题:如右下图所示，直角架ABC的AB边为竖直杆，BC边为水平杆，B点和C点各系一细绳，共同吊着一个质量为1kg的小球于D点，且BD⊥CD，∠ABD= 30o,BD=40cm,当直角架以AB为轴，以10rad/s的角速度转动时，求细绳BD、CD所受拉力各为多少？（g=9.8m/s2）

如图所示，直角架ABC和AB连在竖直方向上，B点和C点各系一细绳，两绳共吊着一个质量1千克的小球于D

0

点，且BD?CD，?ABD=30，BD=40厘米，当直角架以AB为轴，以10弧度/秒的角速度匀速转动时，绳BD的张力为_______牛，绳CD的张力为_______牛。 解析1：（假设法）

T1?cos30??T2?sin30??mg

T1?sin30??T2?cos30??m?2lsin30? ∴T1?53?10 T2?5?103

T2?0 ∴CD绳已松弛，T2?0

T1?cos??mg

T1?sin??m?lsin? T1?40N 解析2：（分析法）

临界条件：Fx?T1x?T2x???,Fx?,T1x?,T2x? T1sin??m?0lsin? T1cos??mg

22? ?0?503???10 3 ∴CD绳已松弛

②极限法：分别求出一绳拉紧，与一绳松弛的临界条件。

6

例题:（开放题）如下图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧；当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？

［解析］①当角速度

很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当

，则有

逐渐增大，BC刚被拉直（这是

一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零，设这时的角速度为

将已知条件代入上式解得②当角速度

继续增大时

将已知条件代入上式解得所以当满足本题所给条件

减小，

增大。设角速度达到

时，（这又是一个临界状态），则有

时，AC、BC两绳始终张紧。

、

都存在。

，此时两绳拉力

将数据代入上面两式解得，

注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。 如果

时，

。

，则AC与轴的夹角小于

如果，，则BC与轴的夹角大于45°。

例题2.如下图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L＝2 m,两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？

解析：两绳张紧时，小球受的力如上图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。 (1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有 Fx＝F1sin30°＝mω12Lsin30° ① Fy＝F1cos30°－mg＝0 ② 代入已知解①②得，ω1＝2.40 rad/s.

(2) AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为ω2，则有 Fx＝F2sin45°＝mω22Lsin30° ③ Fy＝F2cos45°－mg＝0 ④ 代入已知解③④得ω2＝3.16 rad/s.

可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s.

7

两绳系一个m?0.1kg的小球，两绳另两端分别固定于轴上AB两处，上面绳长l?2m，两绳都拉直时与轴之间的夹角分别是300,450,问球的角速度在什么范围内两绳始终张紧？当角速度为3rads时，上下两绳的拉力分别为多少？

（解析：半径不变时，临界条件是BC刚好拉直，张力为零，AC上的张力的分力提供向心力，?最小；AC刚好拉直，张力为零，BC上的张力的分力提供向心力，?最大。）

练习1：如图所示，OO/为竖直转轴，MN为固定在OO’上的水平光滑杆。有两个质量相同的有孔金属球A、B套在水平杆上，AC、BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO/上。当线拉直时，A、B两球到转轴距离之比为2∶1，当转轴角速度逐渐增大时（ A ）

A．AC线先断 O/ B AM N B．BC线先断

C C．两线同时断

D．不能确定哪段先断

O 答案：A

练习2：有一光滑水平板，板的中央有一个小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M的小球，轻线的下端系着质量分别为m1和m2的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态（如图6-25）.若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速率圆周运动？

图6-25

[解析] 该题用定恒观点和转化观点分别解答如下：

解法一 （守恒观点）选小球为研究对象，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时的线速度为v0，根据牛顿第二定律有

2v0(m1?m2)g?M ○1

R当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉力减小，不足以维持小球在半径为R的轨道上继续做匀速率圆周运动，于是小球沿切线方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端的物体m1逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小.假设物体m1上升高度为h，小球的线速度减为v时，小球在半径为（R+h）的轨道上再次做匀速率圆周运动，根据牛顿第二定律有

v2m1g?M ○2

R?h再选小球M、物体m1与地球所组的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m1上升的过程，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒.选小球做匀速率圆周运动的水平面为零势面，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时物体m1到水平板的距离为H，根据机械能守恒定律有：

112Mv0?m1gH?Mv2?m1g(H?h) ○3 22

8

以上○1○2○3三式联立解得：v?(3m1?m2)gR.

3M解法二 （转化观点）与解法一相同，首先列出○1○2两式，然后再选小球、物体m1与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m1上升的过程，由于系统的机械能守恒，所以小球M动能的减少量等于物体m1重力势能的增加量.即：

112Mv0?Mv2?m1gh ○4 221○2○4式联立解得：v?○

(3m1?m2)gR.

3M[评价] 比较上述两种解法可以看出，根据机械能守恒定律应用守恒观点列方程时，需要选零势面和找出物体与零势面的高度差，比较麻烦；如果应用转化观点列方程，则无需选零势面，往往显得简捷. 注：角速度不同，绳子与转轴的夹角不同。 （2） 弹力：

例题 :如图所示，一根水平轻质硬杆以恒定的角速度ω绕竖直OO'转动，两个质量均为m的小球能够沿杆无摩擦运动，两球之间用劲度系数为k的弹簧连接，弹簧原长为l0，靠近转轴的球与轴之间也用同样的弹簧与轴相连如图所示，求每根弹簧的长度。

分析和解答：当两球绕轴OO'做匀速圆周运动时，两球的受力情况如图所示，分别用l、L表示A、B两球左侧弹簧在做圆周运动时的长度，再列出圆周运动方程：

对A球有：m?l?k(l?l0)?k(L?l0) 对B球有：m?(l?L)?k(L?l0) 由①、②联解得

?2① ②

l?l03m?2m?221??()kk

练习： 有一水平放置的圆盘，上面放一劲度系数为k的弹簧，如图6－156所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端系一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，开始时弹簧未发生形变，长度为R。求： ω ⑴ 盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？ A ⑵ 当转速缓慢增大到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少？ 解析：

m?2(1?)l0kL?23m?m?221??()kk

?mg?mR?

9

2O R 图6－156

???gR

∴n0??1?g ??2?2?R有一水平放置的圆盘，上面放一根劲度系数为k的轻弹簧，其一端固定于轴O上，另一端系着质量为m的物体A，

物体A与盘面间最大静摩擦力为fm，弹簧原长为R0，如图5所示，求：①盘的转速n0达到多大时，A开始相对于盘滑动？②当转速达到2n0时，弹簧的伸长量△x是多少？（未离开盘面） 答案：

注：T?k△L

v2 ?k(L?l0) F向?m

L(3)支持力（压力）：

例题 :一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角??30，如图所示，一条长为L的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球（视作质点），小球以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动（小球和绳在图中都未画出） （1）当???1gl时，求绳子对小球的拉力； 63gl时，求绳子对小球的拉力。 2 （2）当?? 图 1－15

一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线间的夹角为θ＝30°，如图1－15所示。一条长为L的细绳，一端拴着一个质量为m的物体。物体沿锥面在水平面内绕轴线以速度V做匀速圆周运动，求（1）当V＝

13gL时绳对物体的拉力；gL时绳对物体的拉力。 （2）当V＝62解：本题涉及临界条件是：物体对锥面压力为零时，物体的速度值。如图1－15，物体受重力mg、锥面的支

持力N、绳的拉力T三个力作用，将三力沿水平方向和竖直方向分解，由牛顿第二定律得：

V2Tsinθ－Ncosθ＝m ① Tcosθ－Nsinθ＝mg ② 由①②两式得：

Lsin?

10

V2cos?N＝mgsinθ－m 可见，θ一定，V越大，N越小，当V增大到某值V0时，N＝0时，即V0＝

Lsin?因N为支持力，不能为负值，故当V>V0时物体离开锥面，物体飘起绳与轴线夹角增大到某值α。

3gL 6V21（1） 当V＝代入数字得T＝gL时V

L61.03mg

(2) 当V＝

3gL时,V>V0物体飞离锥面，此时物体只受重力mg和拉力T作用，设绳与轴线的夹角为α: Tsin2mV2α＝ ③ Tcosα＝mg ④

Lsin?将V代入③④两式消去α可得 2T－3mgT－mgT＝0 解取合理值 T＝2mg 【评注】

本题涉及到物体随速度增大将要飘离锥面的临界问题，故要用临界分析法来解题。临界分析法，就是找出问题的临界条件，算出关键物理量的值进行分析比较，得出在不同条件下物体不同的状态，从而求出结果。本题关键在求出N＝0时的速度值即临界条件。

练习：如图6－139所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，铁块将以角速度ω做半径为r的匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的最大压力和最小压力之差为多少？ m r O

图6－139

解析:电动机受力平衡,当铁块在最低点A时向心加速度竖直向上铁块超重最多,则系统对地

面的压力最大(设系统重力为G)FA=G+mR,同理当铁块在最高点时B,向心加速度竖直向下铁块失重最多,则系统对地面压力最小

FB=G- mR则FAB=FA-FB=2mR

如图所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，铁块将以角速度做半径为r的匀速圆周运动，则在转动过程中，铁块分别在最高点时和最低点时电动机对地面的压力差是多大？

2

22

解析：铁块在最高点时

此时电动机联立①②得铁块在最低点时此时电动机

①（2分） ②（1分）

③（1分） ④（2分） ⑤（1分）

11

联立④⑤得

⑥（1分）

（4）摩擦力：

例题 :如图所示的水平转台上M=2.0Kg的木块放在离转台中心0.4米处，与转台间动摩擦因数μ=0.15，m用线穿过光滑小孔与M相连,m=0.5kg,要保持M与转台相对静止,转台的最大转速不能超过多大?最小转速不能小于多少? （??3.14 ??10）

解析：?1（最小值）有向心运动趋势，f向外， ?2（最大值）有向心运动趋势，f向内。

2T?mg?0.5?10?5N

f??Mg?0.15?2?10?3N

T?f?M?12r?M?(2n1?)2r

2 T?f?M?2r?M?(2n2?)2r

∴nmax?0.5r nmin?0.25r

ss例1 如图所示，长0.40m的细绳，一端拴一质量为0.2kg的小球，在光滑水平面上绕绳的另一端做匀速圆周运动，若运动的角速度为5.0rad/s，求绳对小球需施多大拉力？

【分析与解答】：小球沿半径等于绳长的圆周做匀速圆周运动，根据向心力公式，所需向心力的大小为：

运动中，小球受到竖直向下的重力G，竖直向上的水平面支持力N和沿绳指向圆心的绳的拉力F，如图所示，这三个力的合力提供了小球做匀速圆周运动所需的向心

力，由于其中重力G和支持力N为一对平衡力，因此实际由绳的拉力为小球做匀速圆周运动的向心力，为此绳对小球需施拉力的大小为

N．

练习：（教材变式题）Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为?，Ａ的质量为2m，Ｂ、Ｃ质量均为m，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴2Ｒ，则当圆台旋转时（设Ａ、Ｂ、

Ａ Ｂ Ｃ 2m m m Ｃ都没有滑动，Ａ、Ｂ、Ｃ三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，如图所示）（ ） ? A. Ｃ物的向心加速度最大； B. Ｂ物的静摩擦力最小；

C. 当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动； D. 当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。

解析：比较哪个物体最先打滑，即比较哪个物体角速度最小。

A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B和C的质量均为m，A、B离轴为R，C离轴为2R，当圆台转动时，或A、B、C均没滑动，则：（ ）

A、C物体的向心加速度最大 B、B物体所受摩擦力最小

C、若圆台转速增大时，C比B先滑动 D、当圆台转速增大时，B比A先滑动

12

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答案：A B C

二、 圆周运动与直线运动、平抛运动的综合运用 1， 碰钉问题：

例题:如图所示，在光滑的水平面上钉相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上．开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动．若细绳能承受的最大拉力是4N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是

A、0.9?s B、1.8?s C、1.6?s D、0.8?s

12

解析：①小球绕A以1m为半径转半圈，

v222T1?m?0.4??1.6N?4N

r11②小球绕B以1?0.4?0.6m为半径转半圈，

v222T2?m?0.4??2.67N?4N

r20.6③小球绕A以06?0.4?0.2m为半径转半圈，

v222T3?m?0.4??8N?4N ∴绳断

r20.2s?r??1t1?1?1??0.5?

vv2s?r??0.6t2?2?2??0.3?

vv2∴t?t1?t2?0.5??0.3??0.8?

如图所示，在光滑水平面上固定相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率，在水平面上做匀速圆周运动，若细绳能够承受最大拉力为4N，那么从开始到细绳断开所经历的时间是多少？

解析： 设小球恰好断开时，运动半径为

r0，

mv4?Fm0.4??4r?0.4m r0r0 02小球绕第三个半周时半径为0.2m?r，所以当小球绕完两半周接第三个半圆时绳子断

2?R12??12?R22??0.611T2?T1?T2?tT1??????0.6?2222vv开。时间为

1t?(T1?T2)?0.8?(s) 2练习：如图所示，一小球质量为m，用长为L的悬线固定于O点，在O点正下方L/2处钉有

一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速度地释放小球，当悬线碰到钉子的瞬时（ A B D ）

A.小球的向心加速度突然增大， B.小球的角速度突然增大

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C.小球的速度突然增大 D.悬线的张力突然增大 答案：A B D 2， 子弹问题：

例题:如图所示，M,N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计。简的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同角速度。转其中心轴线（图中垂直于纸面）作匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时初速度方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则（） A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在c处一条与S缝平行的窄条上

B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与S缝平行的窄条上

C.有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和C处与S缝平行的窄条上 D.只要时间足够长，N筒上将到处落有微粒 解：微粒从M到N运动时间t=R/v,对应N筒转过角度θ=ωt=ωR/v, 即θ1=ωt=ωR/v1, θ2=ωt=ωR/v2, 只要θ1、θ2不是相差2π的整数倍，则落在两处，C项正确；若相差2π的整数倍，则落在一处，可能是a处，也可能是b处。A,B正确。故正确选项为ABC.

3， 圆筒（柱）问题：

例题:（小综合）如图所示，在圆柱形屋顶中心天花板上O点，挂一根L=3m的细绳，绳的下端挂一个质量m为0．5kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为10N，小球在水平面内做圆周运动．当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9m/s的速度落在墙角边．求这个圆柱形房

2

屋的高度H和半径R．(g取10m/s)

H

R

如图4—2—5所示，在圆柱形屋顶中心天花板O点，挂一根L=3 m的细绳，绳的下端挂一个质量m为0.5 kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为10 N.小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9 m/s的速度落在墙边.求这个圆柱形房屋的高度H和半径R.（g取10 m/s2

图4—2—5

解析：

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设绳与竖直方向夹角为θ，则cosθ=

mg1?,所以θ=60°， T2

①

小球在绳断时离地高度为：h=H-Lcosθ

小球做匀速圆周运动的半径为：r=Lsinθ

vF向=m0mgtanθ

r2

12L1mv=mg(H-)?mv02 222

④

联立①②③④式求得：H=3.3 m,平抛运动时间为：t=

2h=0.6 s,水平距离为：gs=v0t=16.2m,

圆柱半径为：R=s2?r2=4.8 m.

练习1：

据报道:我国航天员在俄国训练时曾经“在1.5万米高空,连续飞了10个抛物线.俄方的一个助理教练半途就吐得一塌糊涂,我们的小伙子是第一次做这种实际飞行实验,但一路却神情自若,失重时都纷纷飘起来,还不断做着穿、脱宇航服等操作.”设飞机的运动轨迹是如图所示的一个抛物线接着一段120度的圆弧再接着一个抛物线,飞机的最大速度是900km/h,在圆弧段飞机速率保持不变;被训航天员所能承受的最大示重是8g.求:(1)在这十个连续的动作中被训航天员处于完全失重状态的时间是多少?(2)圆弧的最小半径是多少?(实际上由于飞机在这期间有所调整和休息,所花总时间远大于这个时间,约是一小时)(3)完成这些动作的总时间至少是多少?(4)期间飞机的水平位移是多少?(提示:抛物线部分左右对称,上升阶段和下降阶段时间相等,水平位移相等,加速度相同,飞机在抛物线的顶端时速度在水平方向)(取g=9.75m/s2)

︶ 1200 起点 解：（1）在飞机沿着抛物线运动时被训人员处于完全失重状态，加速度为g 抛物线的后一半是平抛运动

在抛物线的末端飞机速度最大，为 v=250m/s 竖直方向的分量 vy=250cos300=216.5m/s 水平方向的分量 vx=250sin300=125m/s 平抛运动的时间 t=vy/g=22.2s

终点

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水平方向的位移是 s=vxt=2775m

被训航天员处于完全失重状态的总时间是 t总=10×2t=444s

（2）T－mg=mv2/r 由题意得T=8mg,r=v2/7g=915.7m （3）每飞过一个1200的圆弧所用时间

t/=(2πr/v)/3=7.67s, t总/=10t/+t总=76.7+444=520.7s （4）s总=20s+10×2rsin600=55500+15859=71359m 巩固练习 1，（郑州奥林匹克物理竞赛）如图4-22所示,长为2L的轻绳,两端分别固定在一根竖直棒上相距为L的A、B两点，一个质量为m的光滑小圆环套在绳子上，当竖直棒以一定的角速度转动时，圆环以A为圆心在水平面上作匀速圆周运动，则此时轻绳上的张力大小为 ；竖直棒转动的角速度为 。

A B 8g5答案: 4mg; 3L

解析：设小圆环做圆周运动的半径为r，则由如图4-22所示可知：

0 L2?r2?(2L?r)2 ∴r?∴cos??3L 4图

ABL??0.8 OA2L?rFA?FB 由于小球在水平内做匀速圆周运动 FAcos??mg

FAsin??FB?mr?

∴FA?258gmg ?? 43L2，在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R， 如

图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ B ）

A． ,B． C． D．

答案: B 3， (2006上海)如图所示，半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在 一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有 一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳．开始时圆盘静止， 质点处在水平轴O的正下方位置．现以水平恒力F拉细绳， 使两圆盘转动，若恒力 F=mg，两圆盘转过的角度θ= 时，质点m的速度最大．若圆盘转过的最大角度θ=π/3，则此时恒力F= 。 答案:

?3mg, 6?解析：质点m速度最大时，拉力F和重力mg对转动轴O的力矩是平衡的，故满足：

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Fr?mg?2rsin? 而F?mg ，即???6；在第二中，外力F做的功增大了物体的机

械能，力F作用点的位移为s?r?? ，所以满足：Fr?解得：F??3?mg?2r(1?cos?3) ，

3mg?

变式：如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为M的质点P，与穿过中央小孔H的轻绳一端连着，平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为a ，角速度为?1的匀速圆周运动，若绳迅速放松至某一长度b而拉紧，质点就能在以半径为b的圆周上做匀速圆周运动，求质点由半径a到b所需的时间及质点在半径为b的圆周上运动的角速度？

a2?1b2?a2答案： ，2

b?1a（开放题）如图所示，吊臂钳子夹着一块m?50kg的砖块，它们接触处的动摩擦因数为

??0.4，绳索悬点到砖块重心的距离L?4m，在下列两种情况下，为使砖块不滑出，钳

口对砖块的压力至少多大（g取10ms2）？

（1） 臂使砖块以4m的速度匀速向右运动。

s（2）吊臂突然停止运动。 解析：（1）mg?2f?2?FN ∴Fn?mg?625N 2?v2?mg （2）2f?mg?2f?2?FN?mL∴FN?875N

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