平面向量的概念及线性运算练习题

§5.1 平面向量的概念及线性运算

一、选择题

1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a?b|，则下面结论正确的是（ ） A.a∥b B. a⊥b C.{0,1,3} D.a+b=a?b

答案 B

2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )． A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析 若a＋b＝0，则a＝－b. ∴a∥b；

若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立． 答案 A

3．设P是△ABC所在平面内的一点，→BC＋→BA＝2→BP，则( )． A.→PA＋→PB＝0 C.→PB＋→PC＝0

B.→PC＋→PA＝0 D.→PA＋→PB＋→PC＝0

解析 如图，根据向量加法的几何意义，→BC＋→BA＝2→BP?P是AC的中点，

∴→PA＋→PC＝0.答案 B

4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( ) A．－3 B．2 C．4 D．－6 解析 因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)， ∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6. 答案 D

→→→

5．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )． A．矩形 C．梯形

B．平行四边形 D．以上都不对

解析 由已知→AD＝→AB＋→BC＋→CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2→BC. ∴→AD∥→BC，又→AB与→CD不平行， ∴四边形ABCD是梯形． 答案 C

→成立，6．已知△ABC和点M满足→MA＋→MB＋→MC＝0，若存在实数m，使得→AB＋→AC＝mAM则m＝( )． A．2

B．3

C．4

D．5

解析 ∵→MA＋→MB＋→MC＝0，∴点M是△ABC的重心， ∴→AB＋→AC＝3→AM，∴m＝3. 答案 B

7.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于( ) A．30° C．90°

B．60° D．120°

解析：由OA＋OB＋CO＝0得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°. 答案：A 二、填空题

8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则________.

解析：由OA－3OB＋2OC＝0，得OA－OB＝2(OB－OC)， 即BA＝2CB，于是

|AB|

＝2. BC||

|AB|

＝|BC|

答案：2

9．给出下列命题：

①向量→AB的长度与向量→BA的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量→AB与向量→CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________． 解析 ①中，∵向量→AB与→BA为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．

②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．

③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．

④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误． ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若→AB与→CD是共线向量，则A，B，C，

D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 3

10.已知向量a,b夹角为45? ，且a?1,2a?b?10；则b?_____. 解析

答案 32

31

11．若M为△ABC内一点，且满足→AM＝→AB＋→AC，则△ABM与△ABC的面积之比

44

为________．

解析 由题知B、M、C三点共线，设→BM＝λ→BC，则：→AM－→AB＝λ(→AC－→AB)， ∴→AM＝(1－λ)→AB＋λ→AC，

1∴λ＝，

4S△ABM1∴＝. S△ABC4

1答案

4

12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|→OB－→OC|＝|→OB＋→OC－2→OA|，则△ABC的形状为________．

解析 (等价转化法)→OB＋→OC－2→OA＝→OB－→OA＋→OC－→OA＝→AB＋→AC， →OB－→OC＝→CB＝→AB－→AC， ∴|→AB＋→AC|＝|→AB－→AC|.

故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 答案 直角三角形

【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题

213．如图所示，△ABC中，→AD＝→AB，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，

3

交DE于N.设→AB＝a，→AC＝b，用a，b分别表示向量→AE，→BC，→DE，→DN，→AM，→AN.

221→→→→

解析 AE＝b，BC＝b－a，DE＝(b－a)，DN＝(b－a)，

33311→→

AM＝(a＋b)，AN＝(a＋b)．

23

14．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，

a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？ 1?

a－解析 设a－tb＝λ?

3?

1

3

a＋b?(λ∈R)，

??

1??2??

化简整理得?λ－1?a＋?t－λ?b＝0，

3??3??∵a与b不共线，∴由平面向量基本定理有

2??3λ－1＝0，?λ??t－3＝0，

3

?λ＝，?2∴?

1??t＝2.

11

故t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上．

2315．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE2

＝AD，AB＝a，AC＝b. 3

(1)用a，b表示向量AD、AE、AF、BE、BF； (2)求证：B、E、F三点共线． 解析：(1)延长AD到G， 1

使AD＝AG，

2

连结BG、CG，得到?ABGC， 所以AG＝a＋b， 11

AD＝AG＝(a＋b)，

2221

AE＝AD＝(a＋b)，

3311AF＝AC＝b，

22

11

BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)，

3311

BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．

222

(2)证明：由(1)可知BE＝BF，

3所以B、E、F三点共线．

→＋nOB→，(m，n∈R)．

16．已知O，A，B三点不共线，且→OP＝mOA(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.

证明 (1)m，n∈R，且m＋n＝1， ∴→OP＝mOA→＋nOB→＝mOA→＋(1－m)→

OB， 即→OP－→OB＝m(→OA－→OB)． ∴→BP＝mBA→，而→BA≠0，且m∈R. 故→BP与→BA共线，又→BP，→BA有公共点B. ∴A，P，B三点共线．

(2)若A，P，B三点共线，则→BP与→BA共线，故存在实数λ，使→BP＝λ→BA，∴→

OB＝λ(→OA－→OB)． 即→OP＝λ→OA＋(1－λ)→OB. 由→OP＝mOA→＋nOB→. 故mOA→＋nOB→＝λ→OA＋(1－λ)→OB. 又O，A，B不共线，∴→OA，→OB不共线． 由平面向量基本定理得??

m＝λ，?n＝1－λ.

∴m＋n＝1.

→OP－

证明 (1)m，n∈R，且m＋n＝1， ∴→OP＝mOA→＋nOB→＝mOA→＋(1－m)→

OB， 即→OP－→OB＝m(→OA－→OB)． ∴→BP＝mBA→，而→BA≠0，且m∈R. 故→BP与→BA共线，又→BP，→BA有公共点B. ∴A，P，B三点共线．

(2)若A，P，B三点共线，则→BP与→BA共线，故存在实数λ，使→BP＝λ→BA，∴→

OB＝λ(→OA－→OB)． 即→OP＝λ→OA＋(1－λ)→OB. 由→OP＝mOA→＋nOB→. 故mOA→＋nOB→＝λ→OA＋(1－λ)→OB. 又O，A，B不共线，∴→OA，→OB不共线． 由平面向量基本定理得??

m＝λ，?n＝1－λ.

∴m＋n＝1.

→OP－

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