不等式与数列函数综合应用2

不等式综合应用

一、知识梳理

1、 不等式的性质、均值定理、绝对值不等式定理 2、 不等式的解法、证法

3、 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系与区别 4、 线形规划，导数的应用。

1、）若实数a、b满足ab<0，则（ ）

A．|a－b|<|a|－|b| B．|a－b|<|a|+|b| C．|a+b|>|a－b| D．|a+b|<|a－b|

2

2、 设ｆ(x)= x+ax+b，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则点(a，b)在aOb平面上的区域的面积是 （ ）

A．

19 B．1 C．2 D． 227

3、 已知xy＜0且x+y=2，而(x+y)按x的降幂排列的展开式中，第三项不大于第四项，那

么x的取值范围是 （ ）

A．(??,0)?(0,) B．[,??)

5454C．(??,0) D．(??,]

544、 函数y?f(x?1)的图像如下图所示，它在R上单调递减.现有如下结论：①f(0)?1；

?1②f()?1；③f(1)?0；④f12?11()?0其中正确结论的个数是 （ ） 2A. 1 B. 2 C. 3 Ｄ. 4

5、 实数x、y满足不等式

Ａ．[－１，0] Ｂ．???,0? Ｃ．??1,??? Ｄ．??1,1? 三、典型例题

1:已知f(?)?2cos2??2acos??a,如果对于任意??R,f(?)的值都不小于 －5，求实数a的取值范围。

22、经过抛物线y?4x的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.

则Ｗ＝

y?1的取值范围是（ ） x（1） 若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程； （2） 若直线的斜率k＞2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为

1，试确定m的取值范围。 5 - 1 -

3、如图：已知△OFQ的面积为26，且OF?FQ?m，

（1）若6?m?46时，求向量OF与FQ的夹角?的取值范围；

（2）设|OF|?c，m?(6?1)c2时，若以O为中心，F为焦4点的双曲线经过点Q，当|OQ|取得最小值时，求此双曲线的方程．

4、已知函数f(x)=x3?(m?4)x2?3mx?(n?6)(x?R)的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。

（１） 求m , n的值；

（２） 试用单调性的定义证明：f (x) 在区间[-2, 2] 上是单调函数；

（３） 当-2≤x≤2 时，不等式f(x)?(n?logma)恒成立，求实数a的取值范围。

5、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an?2Sn?Sn?1?0(n?2),a1?1. 21（１） 求证：{

Sn}是等差数列；（2）求an的表达式；

2

（3）若bn=2(1－n)·an(n≥2)时，求证：b2

+b32+b42?+bn2＜1.

- 2 -

a(x?1)2?1 6、已知函数f(x)?（a、b、c?N）的图象按e＝（-1，0）平移后得到的

bx?c?b图象关于原点对称，f（2）＝2，f（3）＜3． （1）求a、b、c的值；

（2）设0?|x|?1，0?|t|?1求证：|t?x|?|t?x|?|f(tx?1)|； （3） 设x是正实数，求证：fn(x?1)?f(xn?1)?2n?2．

7：函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x+2x． (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．

（Ⅲ）若h(x)?g(x)??f(x)?1在??1,1?上是增函数，求实数?的取值范围

2

- 3 -

四、练习

1、已知抛物线方程为y?ax2?bx?c(a?0,b、c?R).则“此抛物线顶点在直线y=x下方”是“关于x的不等式ax?bx?c?x有实数解”的

A．充分非必要条件 C．充分必要条件

2（ ）

B．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件

（ ）

2、a、b是任意实数，记|a+b|、|a－b|、|b－1|中的最大值为M，则

A．M≥0

B．0≤M≤

1 2C．M≥1 D．M≥

1 23、若a、b、c、d均为实数，使不等式

ac??0 和 ad?bc 都成立的一组值（a，bdb，c，d）是 （只要写出适合条件的一组值） 4、（北京市东城区2004年模拟）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？

5、（北京市西城区2004年模拟）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线y??9x?36的顶点和准线.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆C上的一个动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围.

已知曲线x?2y?4x?4y?4?0按向量a＝（2，1）平移后得到曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点D（0，2）的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，

222??????????设DM＝λMN，求实数λ的取值范围．

- 4 -

训练反馈：

(1)D, (2)B, (3)C, (4)C, (5) D 典型例题:

1:析：由于cos2??2cos??1，通过换元本题可归结为二次函数问题，但要注意定义域。

解：记x?2cos?,则?2?x?2,且

2

2cos2??2acos??a?2(2cos2??1)?2acos??a?x?ax?2?a22

于是f(?)??5对于任意??R成立，即x?ax?2?a??5对于任意

x?[?2,2]成立，即x2?ax?3?a?0，对于任意x?[?2,2]成立，即函数

g(x)?x2?ax?3?a,x?[?2,2]的最小值?0

?g(?2)?7?3aa?4?aa2?而g(x)的最小值??g(?)?3?a?,?4?a?4

24???g(2)?7?a,a??4于是所求的实数a的取值范围由下式决定：

??4?a?4?a?4?a??4?2 或或???a7?3a?07?a?0??3?a?4?0??解之即得?7?a?2.

2

2、解： (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入y?4x,,得 kx-(2k+4)x+k=0 设M(x ,y).则

2222?x1?x2k2?2x??,??2k2 ??y?y1?y2?2.?2k?K2?22,) ∴点M的坐标为(2kk消去k可得M的轨迹方程为?2x?2(x?0).

2 - 5 -

k2?223??4??mkk21 (2)由 d=?,

5568???1?3?m, 2kk11即 0＜＜,得

k2110＜?1?3?m?,

2151919?m??2 或 ??m??4, 故的取值范围为 (-,?2) 即 ?222得

?146?|OF|?|FQ|sin(π??)?26，2:解：（1）由已知，得?2所以tan??，因为

m?|OF|?|FQ|cos??m，?6?m?46，所以1?tan??4，则

π???arctan4． （2）以O为原点，OF所在4x2y2直线为x轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为2?2?1，（a＞0，b＞0），Q点的

ab坐标为（x1，y1），则FQ＝（x1?c，y1），因为△OFQ的面积

1|OF|?y1?26，所以2y1?6466?(x1?c)c?(?1)c2，，又由OF?FQ?（c，0）（x1?c，y1）所以x1?c，

4c42121963c2当且仅当c＝4时，此时Q的坐标为（6，|OQ|?x?y?2??12，|OQ|最小，

c8?662?x2y2?a?4，?2?2?1，??1 ，由此可得?a解之得?2故所求的方程为6）b412??b?12，?a2?b2?16，?3、解： (1)由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数, f(-x)=-f(x)

?x3?(m?4)x2?3mx?(n?6)??x3?(m?4)x2?3mx?(n?6)恒成立，即(m?4)x2?(n?6)?0恒成立，必有m?4,n?6.(2)由(1)可知f(x)?x3?12x,任取x1,x2???2,2?,且x1?x23f?x1??f?x2??(x13?12x1)?(x2?12x2)?(x1?x2)(x?x1x2?x?12)2由?2?x1?x2?2知，x1?x2?0，x12?x1x2?x2?12?0,2122

从而f?x1??f?x2??0,即f?x1??f?x2?,

- 6 -

∴f(x)在[-2,2]上是减函数。

（3）由（2）知f(x)在[-2,2]上是减函数，则-2?x?2时,f?x??f?2???16. 故-2?x?2时，不等式f(x)?(n?logma)logma恒成立

4、解：（1）证明：??an?2Sn?Sn?1,??Sn?Sn?1?2SnSn?1(n?2),Sn?0(n?1,2,3?)

?列

111??2??2分 又1?1?2 ?{}是以2为首项，2为公差的等差数SnSn?1SnS1a1（2）解：由（1）

111 当n≥2时， ??2?(n?1)?2?2n ?Sn2nSnan?Sn?Sn?1?1111（或n≥2时，an??2SnSn?1??） ???2n(n?1)2n2(n?1)2n(n?1)?1(n?1)?12?当n=1时，S1?a1? ?an??(n?2)

21????2n(n?1)11]?

2n(n?1)n11111122 ?b2?b32???bn?2?2???2?????1?22?3(n?1)n23n（3）由（2）知，bn?2(1?n)an?2(1?n)?[?111111?(1?)?(?)???(?)?1??1

n223n?1n?ax2?15、解：（1）函数f（x）的图象按e?（-1，0）平移后得到的图象的函数式为f(x?1)?，

bx?ca(?x)2?1ax2?1因为其图象关于原点对称，所以f(?x?1)??f(x?1)，即，因为??b(?x)?cbx?c2所以ax?1＞0，所以-bx＋c＝-bx-c，所以c＝0，又因为f（2）＝2，所以a?N，

a?1?2，c?ba＋1＝2b，a＝2b-1??①，又f(3)?4a?1?3，4a＋1＜6b??②，由①②及a、b?N2b11(x?1)2?1得a＝1，b＝1． （2）f(x)?，所以f(tx?1)?tx?，|f(tx?1)|?|tx?|

txtxx?1?|tx|?|11|?2|tx|?||?2，当且仅当|tx|＝1时，上式取等号，但0＜|x|＜1，0＜|t|txtx222≤1，所以|tx|≠1，|f(tx?1)|＞2，(|t?x|?|t?x|)?2(t?x)

- 7 -

?2|t2?x2|，当|t|?|x|时，上式＝4t2≤4；当|t|?|x|时，上式＝4x2＜4，所以

|t?x|?|t?x|?2?|f(tx?1)|，即|t?x|?|t?x|?|f(tx?1)|； （3）fn(x?1) 1111n?112n?2n?1n?2?f(xn?1)?(x?)n?(xn?n)?C1x??Cx????Cx??C1nnnnx2n?1xxxxxn?4n?111n?22n?4n?11n?11?C2x???CS?Cx?Cx???CS?C，令，又 nnnnnnxn?2xn?2xn?2111?21n?21n?22n?4?1?Cn???Cx2S?C(x?)?C(x?)???Cn，所以nnnnn n?4n?2n?4xxx(1xn?2n?2?xn?2)?C1?n2x1xn?2n?4?C2?n2x1xn?4????1Cnn21xn?2?xn?2?2(C1nn?1n?C2n???Cn)?2(2?2)

??16?(6?log4a)log4a?(log4a?8)(log4a?2)?0?log4a??2或log4a?8?0?a?1或a?48.16

7：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力满分14分 解：(Ⅰ)设函数y?f?x?的图象上任意一点Q?x0,y0?关于原点的对称点为P?x,y?，则

?x0?x?0,??x0??x,?2即 ???y0?y?0,?y0??y.??2∵点Q?x0,y0?在函数y?f?x?的图象上

∴?y?x?2x，即y??x?2x, 故g?x???x?2x

222(Ⅱ)由g?x??f?x??x?1， 可得2x?x?1?0

2当x?1时，2x?x?1?0，此时不等式无解 22当x?1时，2x?x?1?0，解得?1?x?1 2因此，原不等式的解集为??1,? 2??1??（Ⅲ）h?x????1???x2?2?1???x?1

- 8 -

①当???1时，h?x??4x?1在??1,1?上是增函数， ? ???1

②当???1时，对称轴的方程为x?1??. 1??1??ⅰ）当???1时,??1,解得???1.

1??1??ⅱ）当???1时,??1,解得?1???0.

1??综上，??0.

巩固练习：

(1) A, (2)D, (3)（２，１，－３，－２） 4、解：设BC=a，(a>1)，AB=c，AC=b，b?c?1. 2c2?a2?b2?2abcos60?.

1将c?b?代入得

21(b?)2?a2?b2?ab

212代简得b(a?1)?a?.

4∵a>1 ∴a-1>0

13(a?1)2?2a?2?34?4?(a?1)?b??2?3?2.

a?1a?14(a?1)3当且仅当a?1?时，取“=”号，

4(a?1)a2?即a?1?3时，b有最小值2?3. 23)米 2答：AC最短为(2?3)米，此时，BC长为(1?25、解：（Ⅰ）抛物线y??9x?36??9(x?4)的顶点为（4，0）.

925x2y2 准线方程为x??4?.设椭圆方程为2?2?1(a?b?0).

44aba225x2y222???1 则有c?4,又，可得a?25,b?9.∴椭圆方程为c4259

- 9 -

（Ⅱ）设P点坐标为P(xP,yP) 由椭圆的第二定义，有

|PF1|?e， 2a|xP?|c4xP.5

?|PF1|?a?exP?5?4xP.5同理|PF2|?a?exP?5?|F1F2|?2c?8 在△PF1F2中，

cos?F1PF2?|PF1|?|PF2|?|F1F2|?2|PF1||PF2|222(5?44xP)2?(5?xP)2?6455

442(5?xP)(5?xP)55162162xp?7)xP?725. ??251621622(25?xP)25?xP25252(??F1PF2是钝角 ??1?cos?F1PF2?0162xP?725即?1??0.

16225?xP25解得?5757. ?xP?44备选题：

解：（Ⅰ）解：设P（x，y）为曲线C上任意一点，它在曲线x?2y?4x?4y?4?0上的对应点为P?（x?，y?），

22依题意??x?x??2?x??x?2 即? ??y?y?1?y??y?122代入曲线x?2y?4x?4y?4?0中，得

(x?2)2?2(y?1)2?4(x?2)?4(y?1)?4?0．整理得 x2?2y2?2．

x2?y2?1． ∴ 曲线C的方程为2（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，显然有M（0，1），N（0，－1），此时λ＝（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y?kx?2．

将直线l的方程代入椭圆C中并整理得：(2k?1)x?8kx?6?0． （*）

221． 2 - 10 -

由于直线l与椭圆有两个不同的交点，则△＝64k－24（2k＋1）＞0，得k＞设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1、x2为方程（*）的两相异实根，

222

3． 28k?x?x?????????????x??122k2?1于是 ?，∵ DM＝λMN，∴x1＝λ（x2－x1），则1?，

6x1??2?xx?122?2k?1?x1x2?1??x1x2x12?x22(x1?x2)2?2x1x2进而． 另一方面＝??????x2x11???x2x1x1x2x1x2316x1x21032k232322

－2＝－2，而 k＞，得 4＜＜，即 2???，21123x2x133(2k?1)3(2?2)3(2?2)kk101，又λ＞0，故解得 λ＞．

1???321综合（1）、（2）得，λ的取值范围为[，＋∞)．

2亦即 2???1???解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），根据线段的定比分点公式得，

?x22??y2，y1?． 1??1???x222??y22)＋2()＝2．由于点M、N在椭圆x2?2y2?2上,∴ x12?2y12?2，即( 1??1??x1?整理得 ?2(x22?2y22)?8?y2?8?2?2?4??2．

2??3． 4?2??31∵－1≤y2≤1，∴ －1≤≤1，又λ＞0，故解得 λ≥．

4?21故λ的取值范围为[，＋∞)．

2∵x22?2y22?2∴2?2?8?y2?8?2?2?4??2．即y2?解法三：设曲线C上任一点P（2cos?，sin?），

222则|PD|＝(2cos??0)?(sin??2)＝?(sin??2)?10．

当sin?＝1，即点P为椭圆短轴上端点B（0，1）时，|PD|min＝1，

当sin?＝－1，即点P为椭圆短轴下端点A（0，－1）时，|PD|max＝3，

∴ |DM|≥|DB|＝1，|DN|≤|DA|＝3，从而|MN|＝|DN|－|DM|≤2． ∴λ＝

|DM|1≥（等号当且仅当B与M重合时成立）． |MN|21，＋∞) 2- 11 -

又∵λ＞0，故λ的取值范围为[

由于直线l与椭圆有两个不同的交点，则△＝64k－24（2k＋1）＞0，得k＞设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1、x2为方程（*）的两相异实根，

222

3． 28k?x?x?????????????x??122k2?1于是 ?，∵ DM＝λMN，∴x1＝λ（x2－x1），则1?，

6x1??2?xx?122?2k?1?x1x2?1??x1x2x12?x22(x1?x2)2?2x1x2进而． 另一方面＝??????x2x11???x2x1x1x2x1x2316x1x21032k232322

－2＝－2，而 k＞，得 4＜＜，即 2???，21123x2x133(2k?1)3(2?2)3(2?2)kk101，又λ＞0，故解得 λ＞．

1???321综合（1）、（2）得，λ的取值范围为[，＋∞)．

2亦即 2???1???解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），根据线段的定比分点公式得，

?x22??y2，y1?． 1??1???x222??y22)＋2()＝2．由于点M、N在椭圆x2?2y2?2上,∴ x12?2y12?2，即( 1??1??x1?整理得 ?2(x22?2y22)?8?y2?8?2?2?4??2．

2??3． 4?2??31∵－1≤y2≤1，∴ －1≤≤1，又λ＞0，故解得 λ≥．

4?21故λ的取值范围为[，＋∞)．

2∵x22?2y22?2∴2?2?8?y2?8?2?2?4??2．即y2?解法三：设曲线C上任一点P（2cos?，sin?），

222则|PD|＝(2cos??0)?(sin??2)＝?(sin??2)?10．

当sin?＝1，即点P为椭圆短轴上端点B（0，1）时，|PD|min＝1，

当sin?＝－1，即点P为椭圆短轴下端点A（0，－1）时，|PD|max＝3，

∴ |DM|≥|DB|＝1，|DN|≤|DA|＝3，从而|MN|＝|DN|－|DM|≤2． ∴λ＝

|DM|1≥（等号当且仅当B与M重合时成立）． |MN|21，＋∞) 2- 11 -

又∵λ＞0，故λ的取值范围为[

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j6nv.html