斜二测画法的几个问题

2 003年第 1

期(第9卷 )

科李教 t S e ie n

ee

Ed

uea

ti o n

斜二测画法的几个问题叶,

勇

(江苏省常熟中学二=

2 1 55 0 0 )

在高中教材中画水平放置的平面直观图采用的方法是斜二测画法这种画法的规则是,

OM X+

:

万/ Z M p万/ 4 Y+’

,

=

o

M

+

万/ Z o u’

,

=

x

+

万/ 2

x

l/ Z Y

1

.

在已知图形中取互相垂直的轴,,

O X

、

OY’

,

画直O Y’’

Y.’.

=

M p’

’

=

观图中把它画成对应的轴=

O

’

X

’

、

X

’

Y

’ .

使艺 X

涯/ Z M p’

=

万/ 2Y’

义

1/ ZY=

拒/ 4 Y

45

点x+

P (X

,

Y )与 P ( X

’,

)在直线坐标系 X ()Y中

.。

2

.

已知图形中平行于 X轴的线段在直观图中保,

坐标关系是

持原长度不变平行于半。

;

Y

宙的线段长度为原来的一,

}xIy

,

==

4万/,

Y

.

‘

{x

=

’ x

一

y,

’

,

JZ/ 4 Y

‘Y=

ZJ ZY

这种画法的规则中使人容易产生以下几个问题,

,

:

第一只存在一组平行线段它不与

X Y

轴平行但长一

.

(1 )是否还存在这样的线段它不与 X轴平行但,

度不变只存在一组平行线段它不与,

,

轴平行但长,

长度不变同样不与,

Y

轴平行但长度变为原来的一,,

度为原来的一半:证明设点

。

半?(2 )互相平行的直线在直观中是否还保持平行?(3 )互相垂直的直线是否能保持垂直还是要变成,

p

, (X Y一) p Z (x,’

Z

,

Y’

Z

)是线段的两个端

点点P,

I

’

(x l

’,

Yl

)PZ (兀’

’ .

YI

)是经过变换后的两

个端点 ’

5 4

角有没有本来不垂直的直线变成了垂直?,

lp: P Z I=’’

J (x一 x(x了:’

Z

)’+ (Y;Z’

一

YZ,

)2Y Z )2,

(4 )几何图形的面积是否改变了是怎样改变的?,

IP . P Z l==

一

x x

)2

+

(Y:2

一

(5 )原图中三点共线的是否还是三点共线?其三

J(x(x了

.

+

万z 4 yxZ Z

,

一

Z一

万/ 4 Y一

),

+

r

俩/

4 (Y

Z一

, Y . )〕

点所成的比是否改变了?因为坐标系,

=’

X O Y’’

不是笛卡直角坐标系因此高,

(x〔了

,一

)+万 24 (丫,+

,+ Y Z )〕

流 24 (、:一

2一

Y

,

, )〕一

二

,一

x’

),’

,/ 4 (Y

:一

中数学中的一些解析几何知识用不上那么我们不妨把O’与 O重合 O了直角坐标系中了’

.

Y Z ),

+

万/ 2 (x,一

x

Z

)(Y,

、 2 ),

X

’

与 O X重合这样直观图也处在,

(1 )若}P l几

=

}P l几}YZ

。

则 1/ 4 ((Y;一

Y;一

)2

+

万/ 2 (x一

x

Z

)+

(Y

、一

YZ )=

2 )2 Yl一

万/ 2 (x… Y;

x

Z

) (Y:(Y,

Y

Z

)= 3/ 4 (Y,:一

一

YZ

)’

特Y:

…

一

姚 )/ (x

x

Z

)= 2/ 33

万

(X

,

,

Y ),

即只要线段

P: P:

所在直线的斜率为i/ 2} P,

2/

/

/(X ),

万

,

那么

其长度不变则 (x一

。

P (2 )若 Il一

,

’

几 l=’

Z I PYZ

2 )2 Xl一

+

1/ 4

(Y

l一

)2

+

万/

2 (x

:一

x

Z

) (Y

:

YZ)=

设点 P是已知图形中任一点其坐标为 (X Y )而,,,

1/ 4

(x

x

Z

)

2+

1/ 4一

(Y一 Y Z ) 2;一

点 P是平面直观图中点’

P Y.

的对应点其在直角坐标系’

.

即 3/ 4 (x… x;

,一

及 )2…

=

万/ 2 (x)/ (x

xZ

Z)

(Y

,一

YZ

)

O Y中的坐标中为 (X XPN土 Y,、

’,

)过 P分别作 PM土 X轴,

,

笋x

:

(Y

:一

YZ

l一

x

)

=

一

3/ 4 3/ 4

拒万那,

轴 M N为垂足且 O M,

=

X

,

ONY’

=

Y,

.

过

P

’

分’

即只要线段:

Pl

几所在直线的斜率为。

一

’ U平行于别作 P

X

’

轴

.

P V

’

’

平行于。

轴交Y1/ ZON

’、

X

么长度为原来的一半

轴于 UZY

、

v=,

,

由斜二测画法的规则知M…

OU

=

=

/ l、

注比较恰好是这两组直线系互相垂直,,’

。

OV

V

与 M重合,、

再过 P’分别作 X轴x’

Y

第二互相平行的直线保持平行只有两组直线系原来保持垂直只有两组直线系垂直的经变换成,

轴的垂线垂足分别为 M

N

’,

=

oM

’

一

oM

+

MM

45 0

科李教育角。

S e ie n

ee

E du

ea

t io

n

20 03

年第 1期 (第 9卷)kZ=

:,证直线 L

: a

l

X

+

b, Y b Zy,

+

e,

=

o

k:

=

(一 3

万’

一

丫丽 )/ 4

(

一

3

万

+

直线呀(a,.

:

Z x a

十

十

2= o c.

了 )/压万 4

b,

,

a Z

.

b:

都不为。若为 0’

贝,】与 x轴或 Y轴平’

; (3 )要使 L与 LZ所成的角为 4 5’

’

行)则 L’

t

: a

;

(x+

一

Y。,

’

)+ b; 2万Yz1’

+

。;=

o

则由直线 L:的斜率’

K K

;

’

==+一

。,

/ (

a,一

22=

万b拒b士

,

) )

a,

x

’

(一一

玩

’:

Z x a

’

(+b,

2 a

= o万b y一 c’ 2一。 2万叼Y++

=

。;

直线场的斜率,’

Z

’

2/ ( aKZ’

aZ

一’

Z

’

t

四

,

=

(K2

Z

’

一

K

z’

)/ (1 (a,

K

l

)=

士1

…处 (a一

:一

l (1 )若L/玩

2泥ba:

)2,

一。L

2

万b一

l

)

1+〔

: Ll

/ (

a l

则

1 a

2/a

=

C c/ bZ护 I/ Z: a

2

万b…;

,

)一/ (一a,

aZ

/(2

一

万b)

Z

)〕/ (a:

‘、 2

a,

一

由等比定律得

,

/

a:

=

(一

。1

+

2

万b

l

)/ (一

a:

+

2

万b)+

一。,

2

万b

Z

)=

土

(〔

a,

一

2

万场)

共.’

。1

2/c’

万b

)(处

2

2拒b+

a la Z

〕a

.

Ll

/

LZ

’

即Z或=+

处

s bl s b;4

Z bb

一

4 4

t b )=万 Z

o

, 2 )若 L土 L Z (

Z

a, a:+

:一a,

万

aZ

b ),

=

o=

则则

a la Z+a l:‘:

b一b Z

o

要使 L l上场’

’

即6b2

lb2=

万一

2或6b b

,

bZ

4

万处。一

.

+

(一

a,

2+

万b。Z

l

)(一+

。:

+

2万b

)= o

:

一K

。,

b/

;=

3

万或

一。2:

b/

:=

3

4万/

Z a l处…6a,

一

2

bl b 2+

=

万( 2拒(/b 2=、

a l

b:

b, )

sb, b:= o

即

,=

一

3/4

泥或 K

二一

3

4/

万。

al

b:

+

处 bl )

第三任一多边形的面积变为原来的万/ 8倍,

,/b

aZ

3/2

,即一 (k

k Z )一

拒 3/2涯l k k z

证设△ A B C的三个顶点分别为:

八 (x,

;

.

I ) B Y (,,’

XZ

2’

,

Y Z ) C (X 3,

.

Y33’,

)经变换后 A,

’

(X

一’

Y

:

’

) B

(X

,

又

’

:

l土场 Ll=

’ .

=

一

1

姚 )’

,

e

’

(X

Y3

’

)

解之得 k

(

一

3

万

+

丫丽 )/ 4或

k

;

=

(

一

3

万

-

了丽 )/

4

则 S△

AC B

一

“2

】…}X3

XX

l

Yl Y,Y3

‘11

Z

1

…}

S么 A B C’’

’

一

’/ 2

{X

X

,

’

Yl

’

‘‘

… X}3

,

_

姚Y3

_

’

’

… 1}I

{

X‘/“ X

一+ Z+

2/ 4Y

z

2/ 4 YI

J|川川引

一

2/ 4 Y 2 2/ 4 Y3

/ 2

4

姚

凡

+

2/ 4 Y3

X工,

孟、几一,

2

/4Y4

X一

I

Y Y

-

l一月川 1川

/矛自,

/ 2

姚

2/ 4 Y3=

勿

凡凡

万/ 8 5△A B

C入’

又由任一多边形面积总可以分割有限三角形面积

=

A B/ B C,

’

’

’

=

(Y Z

’

一

Y

I

’

)/ (Y 3Y3一

’

一

姚 )’

之和因此结论成立,,

。

=。

俩/4(Y ZZ’

Y:

一

4拒/一

Yl )/ YZ’

俩/4入’

4万/:

YZ)

第四在直线上三点的定比不变:、,

=,

一一

Y: x,

)(妈’

)=

证由一三易知点与直线具有的接合性即原图中三点一直线的经变换后也成一直线设已知三点为其比值入==:。

或

、

’

二

(x, 2

)/ (X 3

一3

2 X+

)=〔 (x3

+一

万/ 4 Y(xx:

2

)-

(x,

+

A ( X=一’

一,

Y

l

) B (凡姚 ) C (X,,

3

,

Y

3

)

万/ 4 Y一Z

:

)〕/〔 (x

万/ 4 YY:

)

+

拒/

4Y=

)〕x:

3 l A

/ BC一

(Y Z )/ (x

一

Yz X

)/ (Y 3Z

一

姚)’,

〔 (X 2Y3一 Y

)+

万 (Y

:

一

)〕/以x

3一

Z

)千万/ 4

(凡

X

3一

),

(B’

)〕。

经变换后三点为(X3’,

A

(X l

’,

l ) Y’

(及

姚 )’

,

C

’

二入

Y

3

’

)

特别是线段的中点保持不变

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