量子力学导论第2章答案

第二章 波函数与Schr?dinger方程

2.1设质量为m的粒子在势场V(r?)中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为 E??d3r??，

???2?*???*2m?V? （能量密度）

（b）证明能量守恒公式 ?w???2???s?0s?????**??t?2m??t??????t?????（能流密度） ?证：（a）粒子的能量平均值为（设?已归一化）

??2E???*??2????V??2m??d3r?T?V （1） ?V??d3r?*V? （势能平均值） （2）

T??d3r?*?????22???(动能平均值)?2m???

2???3*2m?dr?????*??????????????其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。T??23??*2m?dr??? （3）

2结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度???**2m???????V?, （4）

且能量平均值 E??d3r?? 。

（b）由（4）式，得

???2?...????*??????*???t?2m????????????V?????t?t?V??t?t2?..??..??.?????????*?2m????????2??2*?????*????????????t?t??????t???t????????tV???V?t

.2.?????s??????2?????2??t????V?*?2m?????t???2?V?2m???..?????s?E???????*???????t?t?? 因此1

??????s?E? （? ：几率密度）

?t?????s （定态波函数，几率密度?不随时间改变）

所以

?w?t????s?0 。

2.2考虑单粒子的Schr?dinger方程

??????2i???r,t??????r,t???V1?r??iV2?r????r,t? （1） ?t2mV1与V2为实函数。

?2（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

（b）证明粒子在空间体积?内的几率随时间的变化为

ddt???d?3r????*????2imS?*??????*??2V2?dS?????d?3r??

*证：（a）式（1）取复共轭， 得

?i???t?*???22m??2*??V1?iV2?? （2）

** ??（1）-??（2）,得

i???t??*?????22m???2*??????22*??2i?**V2?

???????????2m?2im?*??2iV????2*???t????*??????????????**2V2???*?? （3）

?2V2???j???0 ， 即 ?t?此即几率不守恒的微分表达式。

（b）式（3）对空间体积?积分，得

????t??dr????3?*??2im?2im????S?????????*?**?d3r??????32drV2??rV2??*3?*?

????????????*??2?dS?????d?上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积?的几率（????生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。

??j?dS ） ，而第二项代表体积?中“产

2

2.3 设?1和?2是Schr?dinger方程的两个解，证明

ddt*?3?r,t??dr?1??r,t??0。 2???1 （1） ?????2 （2） ??证： ?i???1?t????22?????V?2m?2i???22?????V??t?2m?*取（1）之复共轭： ?i???1?t?????22??2m??V???*??1 ?*2?（3）??1?（2）,得

?i???22?t??*1?2???2m????**221??1??2?

对全空间积分：

2?i?ddt?d3r?*21?r?,t??2?r?,t????2m?d3r??2??**21??1??2?

???23**2m?dr?????2??1??1??2??????????*?????*211?????2??

???2?d3r???**2m??2??1??1??2??

???2???**2m2??1??1??2??dS??0，

（无穷远边界面上，?1,?2?0）即 ddt?d3r?*1?r,.t??2?r,t??0。

2.4）设一维自由粒子的初态??x,0??eip0x/?， 求??x,t?。

i??解： ??x,t??e?pp20t?0x???2m?/??

2.5 设一维自由粒子的初态??x,0????x?，求??x,t?2。

????提示：利用积分公式

?cos??2?d???sin??2?d???2

???? （3） 3

??或

?exp?i?2?d???exp?i?4?。

????解：作Fourier变换： ??x,0??12?????p?eipx?dp，

????????p??1?ipx?2?dx?1e?ipx?dx?1，

????x,0?e??2??(x)????2?????x,t??1??i?px?Et?/?dp2? （E?p22m）

????p?e?????i??p2?t?px??12???e???2m??dp （指数配方）

?????1imx22?t2??e?exp???it?2????2m??p?mx???t???dp ??2令 ?2?t?2m??p?mx??t?，则 ???x,t??12m???22??eimx22?t?t?e?i?d????1eimx2t2???2m?2?t??e?i?/4

?m??mx2?2??texp?i????????2?t4??????x,t?2?m2??t 。

2.6 设一维自由粒子的初态为??x,0?，证明在足够长时间后，

??x,t??m?imx2?texp??i?4??exp??mx????2?t??????t? ???式中 ??k??1?x,0?e?ikxdx2???是??x,0?的Fourier变换。

??提示：利用 lim?4?ei?/e?i?x2????x???。

证：根据平面波的时间变化规律

eikx?ei?kx??t? ， ??E???k22m，

4

任意时刻的波函数为

??x,t??12?12??e??????k?eikx??tk?2/2m?dk

?imx2/2?t?????2??t?mx??dk??k??exp??i?k??? （1）

2m?t??????当时间足够长后（所谓t??） ，上式被积函数中的指数函数具有?函数的性质，取

???t2m ， u??k???mx??， （2） ?t?参照本题的解题提示，即得

??x,t??12?eimx22?t?2?m?t??e?i?/4???k???k?????mx??dk ?t??m?te?i?/4eimx2/2?t???mx?? （3） ??t???x,t?2?mx????? （4） ?t??t?m2物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为k?mx?t，即x??ktm，强度???k?，因子m?t描述整个波包的扩散，波包强度?222?1t。

2设整个波包中最强的动量成分为?k0，即k?k0时??k?最大，由（4）式可见，当t足够大以后，?大值出现在mx?t?k0处，即x??k0tm处，这表明波包中心处波群的主要成分为k0。

2.7 写出动量表象中的不含时Schr?dinger方程。 解：经典能量方程 E?p2的最

2m??V?r? 。

在动量表象中，只要作变换p?p，r?i?所以在动量表象中，Schr?dinger为：

?p2?V ??2m?ddp

?d????i??????p??E??p?。 ?dp??

5

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