2010届上海六校联考高三数学考试（理科）

1、 2、 3、

2010届上海市六校联考高三数学试卷（理）

已知向量AB?(3,?4)，A点的坐标是(?1,2)，则B点的坐标是_____ 若集合A?{a,1}是集合B?{1,2,a}的子集，则实数a的值为______ 不等式

?一、填空题：（各4分，共56分）

x?x12x?3的解是_________________________

4、

22n?1?3n?1计算：lim=_____________

n??22n?3n已知(3x?1)?a0?a1x?a2x???a10x，则a1?a2???a10?________ 已知三角形ABC中，AB?3,BC?13,?BAC?60，则AC的长为_________ 若关于x的方程x?(1?2i)x?(3m?1)i?0有实根，则纯虚数m的值是_____ 从5位同学中选派4位同学在周五、周六、周日参加公益活动，每人一天，要求周五有2人参加，周六、周日各1人参加，则不同的选派方法种数为（用数字作答）______

20102105、 6、 7、 8、

9、

一批救灾物资随26辆汽车从某市以v千米/小时速度匀速直达灾区，已知两地公路长400千米，为安全起见，两汽车间距不得小于(v2)千米，则物资全部到灾区，最少20需要_____________________小时（汽车的长度忽略不计）

?a11??a2110、 已知一9行9列的矩阵中的元素是由互不相等的81个数组成，????a91a12?a19??a22?a29? ?????a92?a99?若每行9个数与每列的9个数按表中顺序分别构成等差数列，且正中间一个数a55?7， 则矩阵中所有元素之和为__________． 11、 定义在区间[2，4]上的函数f(x)?3反函数是f

12、 已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点(??1x?m,(m为常数）的图像过点（2，1），设f(x)的(x)]2?f?1(x)，则函数F(x)?[f?1(x2)的值域为_______________

3,0)成中心对称图形，且满足4AFOC3f(x)??f(x?),f(?1)?1,f(0)??2， E

2则f(1)?f(2)?f(3)?L?f(2009)=________________ 13、 如图O为半径为1的球心，点A、B、C在球面上， OA，OB，OC两两垂直，E，F分别是大圆弧AB与AC 中点，则点E、F在该球面上的球面距离为_________

O????????14、 如图，O,A,B是平面上三点，向量OA?3,OB?2，

P????????????设P是线段AB垂直平分线上一点，则OP?(OA?OB)的

值为___________________

BCA二、选择题：（每题只有一个正确答案，多选、错选、漏选都不得分）（各4分，共16分）

215、 不等式f(x)?ax?x?c?0的解集为x?2?x?1，则函数y?f(?x)的图象为

??（ ）

y21-2-1-11x-1y2112xy1-1-1-212xy1-2-1-11xABCD-216、 下列命题中正确的是（ ）

A a?b是a?b的必要非充分条件； B ???是tan??tan?的充分非必要条件

C 两虚数之积为实数是这两虚数互为共轭复数的必要非充分条件； D 空间两直线不相交是这两直线异面的充要条件。 17、 若函数y?x?22aa?在(1,??)上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） x2A (??,?1] B [?1,??) C (??,1] D [1,??)

18、 已知函数f(x)?asinx?bcosx(a,b为常数，a?0,x?R)的图像关于直线x?对称，则函数y?f(?43??x)是（ ） 4A 偶函数且它的图像关于点(?,0)对称

3?,0)对称 23?C 奇函数且它的图像关于点(,0)对称

2 B 偶函数且它的图像关于点( D 奇函数且它的图像关于点(?,0)对称

三、解答题：（按要求答题，写出必要的解题步骤）

19、 （本小题满分12分，两小题各6分）已知z是复数，z?2i,2z均为实数（i为虚2?i数单位），且复数(z?ai)在复平面上对应的点在第一象限，（1）求复数z；（2）求实数a的取值范围。

20、 （本小题满分14分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题4分）

已知函数f(x)?2cosx(cosx?sinx)?1,x?R （1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)在区间[?3?8,4]上的最小值与最大值。

?（3）将函数y?f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d

21、 （本小题满分14分，两小题各7分）已知圆锥的底面半径r?2，半径OM与母线SA垂直，N是SA中点，NM与高SO所成的角为?，且tan??2 （1） 求圆锥的体积；（2）求M,N两点在圆锥侧面上的最短距离。 NS?

BMOA22、 （本小题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）

已知函数f(x)?lg2x1,f(1)?0，当x?0时，恒有f(x)?f()?lgx ax?bx（1）求f(x)的表达式；

（2）设不等式f(x)?lgt的解集为A，且A?(0,4]，求实数t的取值范围。 （3）若方程f(x)?lg(8x?m)的解集为?，求实数m的取值范围。

23、 （本小题满分20分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题10分） 已知：函数f(x)?12x?3，数列{an}对n?2,n?N总有an?f(),a1?1；

a3xn?1（1）求{an}的通项公式。

(2) 求和：Sn?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5???(?1)（3）若数列{bn}满足：①{bn}为{n?1anan?1

11}的子数列（即{bn}中的每一项都是{}的项，且按anan在{11}中的顺序排列）②{bn}为无穷等比数列，它的各项和为。这样的数列是否存在？an2若存在，求出所有符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由。

六校联考高三数学试卷参考答案

二、填空题：

24、 (2,?2) 2、0或4 3、(??,?)?(1,??) 4、2 5、 1023 6、 4 32a)

51?i 8、60 9、 10 10、 567 11、[2,5] 12、2 13、 14、

2123二、选择题： 15、 B 16、 C 17、 B 18、 D

三、解答题：

19、 解 （1）设z?x?yi(x,y?R),又

z?2i?x?(y?2)i?R ?y??2 ?2分

zx?2i11??(2x?2)?(x?4)i?R?x?4 ?5分 2?i2?i55 所以z?4?2i ?6分 （2） 由（1），(z?ai)?(12?4a?a)?8(a?2)i ?8分

22?12?4a?a2?0???8(a?2)?0?2?a?6?10分?12分

20、 解（1）f(x)?2cosx(cosx?sinx)?1?2cosx?2cosxsinx?1

2?cos2x?sin2x?2?2?2sin(2x?3?) ?2分 4因此，函数f(x)的最小正周期为? ?4分

3??3?3?3?)在区间[,]上是减函数,在区间[,]上是增48884?3?3?函数，又f()?2,f()?2?2,f()?3 ?8分

884?3?所以，函数f(x)在区间[,]上的最大值为3，最小值为2?2 ?10分

84（2）因为f(x)?2?2sin(2x?（3）设平移后的图像的函数解析式为y?g(x)，因为g(x)的图像关于原点成中心对称，

??k?3?g(x)?2sin(2x?k?)(k?Z)所以，所以d?(??,?2)， ?12分

28为使d的模最小，则取k?1，此时d?(????8,?2) ?14分

S21、解 （1）设OA中点C，连接NC、CM，则NC//SO，

故?MNC即为NM与高SO所成的角?， ?2分 又NC?MC且tan??2所以MC?2NC?SO，?4分 又MC?OM?OC?22N22?12?5，即SO?5，?5分

BMOCA1145?2从而圆锥的体积V?Sh???2?5? ?7分

333（2）作圆锥的侧面展开图，线段MN即为所求最短距离。?8分 由已知OM?SO,OM?SA?OM?OA， 故M是弧AB的中点，即M是扇形弧的因为扇形弧长即为圆锥底面周长4?，

由（1）知SO?5,OA?2，所以母线SA?3， 从而扇形的中心角为

A'A1点。?10分 4SN4??，所以?MSA? ?12分 33M

在三角形MSA中SN?333?,SM?3,?NSM?，由余弦定理得MN??14分

22322、解：（1）?当x?0时，f(x)?f()?lgx恒成立

1x?lg2x2?lg?lgx，即(a?b)x2?(a?b)x?0恒成立，?a?b?2分 ax?bbx?a2x又f(1)?0，即a?b?2，从而a?b?1,?f(x)?lg ?4分

1?x（2）由不等式f(x)?lgt， 即lg2x(2?t)x?t2x?lgt??0且?0 ?6分 1?x1?x1?x由于解集A?(0,4]，故0?t?2， ?7分

tt8]?(0,4] 即?4?t?， ?8分 2?t2?t58又因为0?t?2，所以实数t的取值范围是(0,] ?10分

5所以A?(0,（3）解法一：

?2x?8x?m??8x2?(6?m)x?m?02x?1?x??由lg?lg(8x?m)???12分

1?x?x??1或x?0?2x?0??1?x方程的解集为?，故有两种情况：

①方程8x?(6?m)x?m?0无解，即??0，得2?m?18 ?14分 ②方程8x?(6?m)x?m?0有解，两根均在[?1,0]内，g(x)?8x?(6?m)x?m

222???0?g(?1)?0??m?2或m?18????0?m?2 ?17分 则?g(0)?0?6?m?10???6?m??1??0?16?综合①②得实数m的取值范围是0?m?18 ?18分 （3）解法二： 若方程有解，

?2x2x?8x?m??m??8x2x?1?x???则由lg?lg(8x?m)???12分 1?x1?x?2x?0?x??1或x?0??1?x?由g(x)?2x2?8x?10?[?8(x?1)] 1?x1?x2?8(x?1)?18， 1?x当x??1,则g(x)?10?2当且仅当x??3时取到18 ?14分 2当x?0，则g(x)是减函数，所以g(x)?g(0)?0

即g(x)在(??,?1)?(0,??)上的值域为(??,0)?[18,??) ?17分 故当方程无解时，m的取值范围是[0,18) ?18分 23、解

2?3an?12?3an?1122x?3)???an?1? ?2分 （1）由f(x)?，又an?f(3an?1333xan?122n?1所以，{an}是以a1?1为首项，为公差的等差数列，即an?(n?N*)?4分

334（2）当n为偶数，an?1an?anan?1?an(an?1?an?1)??2dan??an

344a2?ann22所以 Sn??(a2?a4??an)????n2?n ?6分

332293当n为奇数，则n?1为偶数，

222n?12n?32n2?6n?72Sn?Sn?1?anan?1??(n?1)?(n?1)?? ?8分

93339?222?n?n??93综上：Sn??2?2n?6n?7?9?（3）设b1?*n为偶数 ?10分

n为奇数31331*n，公比q??0，则b1q?（k,p?N）对任?n?2k?1m2p?12k?1m意的n?N均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m?1 ?12分 当m?3时，S?当m?5时，S?133，此时b1?，bn?n?1，成立 ?13分 2392?1?1，此时b1????故不成立 ?14分

5?an?2133，此时b1?，bn?n，成立 ?15分 2771813234*当m?9时，1??，由S?，得b1?，设b1?，则k?，又因为k?N，

m922k?189m?7时，S?所以k?1,2，此时b1?1或b1?b13分别代入S?1?，得到q?0不合题意?18分

1?q25由此，满足条件（3）的{bn}只有两个，即bn?

33或 ?20分 b?n3n?17n

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