【解析】北京市密云区2022届高三上学期期末考试数学试题

- 1 - 北京京市密云区2019-2020第一学期期末试题

高三数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.若集合{|13}A x x =≤<，{|22}B x x =-≤<，则A B =U （ ）

A. {|12}x x ≤<

B. {|12}x x <<

C. {|23}x x -≤<

D. {|23}x x -<<

【答案】C

【分析】

根据集合的并运算，即可容易求得.

【详解】因为{|13}A x x =≤<，{|22}B x x =-≤<，

故可得A B =U {|23}x x -≤<.

故选：C.

【点睛】本题考查集合并集的求解，属基础题.

2.双曲线22

143x y -=的离心率是（ ） A. 54 B. 1

2

C. 4

D. 2 【答案】D

【分析】

由方程求得,a b ，即可由离心率计算公式求得结果. 【详解】因为双曲线的方程是22

143x y -=

，故可得2,a b ==，

故离心率2e ==.

故选：D.

- 2 - 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.

3.若函数()y f x =满足：对任意正整数x ，都有(1)()2f x f x +=+，且函数()f x 的图象经过点(1,1)M ，则在下列选项中，函数()f x 通过的点的坐标是（ ）

A. (4,6)

B. (4,7)

C. (4,8)

D. (4,9) 【答案】B

【分析】

根据函数经过的点，以及(1)()2f x f x +=+，即可容易递推得到结果.

【详解】因为()f x 过点()1,1，且(1)()2f x f x +=+，

故可得()()2123f f =+=，()()()()3225,4327f f f f =+==+=，

故()f x 过点()4,7.

故选：B

【点睛】本题考查函数值的求解，属基础题.

4.若函数()=sin()f x A x ω?+（0,0A ω>>）的相邻两个极小值点之间的距离为π，最大值与最小值之差为2，且()f x 为奇函数，则函数π()2y f =的值是（ ）

A. 2

B. 1

C. 0

D. ±1 【答案】C

【分析】

根据题意，结合正弦型函数的性质，即可容易求得函数解+析式，再求函数值即可.

【详解】因为()f x 相邻两个极小值点之间的距离为π，故可得2T ππω=

=，则2ω=； 又因为最大值与最小值之差为2，故可得22A =，则1A =；

又因为()f x 是奇函数，故可得,k k N ?π+=∈； 故()sin 2sin 1022f k k ππππ????=?+=+= ? ?????

. 故选：C .

- 3 - 【点睛】本题考查由正弦型三角函数的性质求解+析式，属综合基础题.

5.“2,6x k k Z π

π=+∈”是“1sin 2

x =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 【答案】A

【分析】

解正弦方程，结合题意即可容易判断 【详解】因为12sinx =，故可得26x k ππ=+或52,6x k k Z ππ=+∈， 则“2,6x k k Z ππ=+

∈”是“1sin 2x =

”的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及三角方程的求解，属综合基础题.

6.下列函数中，既是偶函数，又是(0,)+∞上的增函数是（ ） A. 12y x = B. 12log ||y x = C. 22x x y -=+ D.

22x x y -=-

【答案】C

【分析】

根据函数解+析式，求得函数单调性和奇偶性即可容易判断. 【详解】对12y x =，其定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，故其不是偶函数，故A 错误； 对12

log ||y x =，其在(0,)+∞是减函数，故B 错误； 对22x x

y -=+，其是偶函数，且在()0,+∞上为增函数，故C 正确； 对22x x y -=-，其是奇函数，故D 错误.

故选：C.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及指数函数，对数函数，幂函数的性质，

- 4 - 属综合基础题.

7.如图所示，四个边长为1的正方形拼成一个大正方形，AB 是其中一个小正方形的一条边，

(1,2,3,4,5,6,7)i P i =是小正方形其余的顶点，则集合{|,1

,2,3,4,5,6,7}i x x AB AP i =?=u u u r u u u r 中元素的个数为（ ）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【答案】A

【分析】 根据向量的数量积运算，即可容易判断.

【详解】根据数量积的定义，元素的个数取决于i

AP u u u r 在向量AB u u u r 方向的投影的结果的个数. 结合已知条件，由图可知：

5AP u u u r 与2 AP u u u r ，6AP u u u r 与3AP u u u r ，7AP u u u r 与41

,AP AP u u u r u u u r 在向量AB u u u r 方向的投影相同， 故集合{|,1

,2,3,4,5,6,7}i x x AB AP i =?=u u u r u u u r 中有3个元素. 故选：A.

【点睛】本题考查数量积的定义，属基础题.

8.阶段测试后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排按序走上领奖台领奖，其中甲和乙都在丙的前面走，则不同的排序方法种数共有（ ）

A. 20

B. 40

C. 60

D. 80

【答案】B

【分析】

先求出甲乙丙顺序确定时的所有方法，再考虑甲乙内部的排列即可. 【详解】根据题意，若甲乙丙顺序确定，则所有排法有5533A A 种，

- 5 - 再考虑甲和乙的顺序，则所有排法有525233

40A A A ?=种. 故选：B.

【点睛】本题考查部分元素定序问题的排列，属基础题.

9.已知函数2,0,()1,0.

x x f x ax x ?≥=?-

范围是 （ ）

A. (,2]-∞-

B. (,1]-∞-

C. [2,0)-

D. [1,0)-

【答案】A

【分析】

将问题转化为方程有根的问题，进而根据二次方程根的分布即可求解.

【详解】根据题意，不妨设00x >，则问题转化为方程20010x ax ++=有正根， 则只需240a =-≥n 且0a ->，

解得a ∈(,2]-∞-.

故选：A.

【点睛】本题考查一元二次方程根的分布问题，属中档题；其中问题的转化是关键.

10.设非零向量,a b r r 的夹角为θ，定义运算“*”： *

a b a b sin θ=??r r r r ． 下列命题

①若*0a b =r r ，则a r //b r ；

②设ABC ?中，,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，则2ABC S ?=*a b r r ；

③()

***a b c a b a c +=+r r r r r r r （c r 为任意非零向量）； ④若1a b ==r r ，则()*1max a b =r r .

其中正确命题的编号是（ ）

- 6 - A. ①②

B. ②③

C. ①②③

D. ①②④

【答案】D

【分析】 根据新运算的定义，对选项进行逐一分析即可求得.

【详解】*0a b =r r ，0a b sin θ??=r r ，解得0θ=?或180θ=?，故a r //b r ，则①正确；

由*a b r r 的定义可知，其结果表示以,a b r

r 为一组邻边的平行四边形的面积， 故2ABC S ?=*a b r

r ，则②正确； 不妨取()()()1,0,0,1,1,1c b a ===r r r ，故可得()

*0a b c +=r r r ，

而**11222

a b a c +=?+?=r r r r ，显然不相等，故③错误； 若1a b ==r r ，则[]*0,1a b sin θ=∈r r ，故④正确.

故选：D .

【点睛】本题考查向量新定义问题，属中档题.

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11.复数11i

z =

+对应的点在第_____象限，复数z 的实部是_______________． 【答案】 (1). 四 (2). 12

【分析】

根据复数的运算法则化简复数z ，再求对应点的坐标，以及实部即可. 【详解】因为11i z =+(

)()1111122i i i i -==-+-， 故其对应的点为11,22??-

???位于第四象限，其实部为12. 故答案为：四；12

. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题. 12.抛物线24x y =-的焦点坐标是______________，准线方程是_____________．

- 7 - 【答案】 (1). ()01-，

(2). 1y =

【分析】

根据抛物线22x py =-的焦点坐标为0,2p ?

?- ???，准线方程为2

p y =，可得本题答案. 【详解】因为抛物线的标准方程为24x y =-，得2p =，所以其焦点左边为(0,1)-，准线方程为1y =.

故答案为：()01-，

；1y = 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标和准线方程，属于基础题.

13.若数列{}n a 是由正数组成的等比数列，且342a a =，34a =，则公比q =__________，其前

n 项和n S =______.

【答案】 (1). 2 (2). 21n -

【分析】

根据等比数列的基本量求得公比和前n 项和即可.

【详解】因为{}n a 是等比数列，且各项均为正数，故0q >；

又332411331,4a a q a q a a q ====，故可得11,2a q ==.

()11211n n n a q S q -==--.

故答案为：2；21n -.

【点睛】本题考查等比数列的基本量求解，涉及前n 项和的求解，属基础题.

14.在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且5a =，10c =，3B π

=，则b =______，

A =_________.

【答案】

(1). (2).

6

π

【分析】

- 8 - 根据余弦定理求得b ；再根据正弦定理求得A 即可.

【详解】因为5a =，10c =，3B π=，

故可得2227553b a c accosB =+-==； 根据正弦定理可得12

asinB sinA b ==， 又因为b a >则B A >，故可得6A π=

.

故答案为：53；6π. 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属基础题. 15.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________．

【答案】2

【分析】

根据三视图还原几何体，再利用棱锥的体积公式即可求得.

【详解】根据三视图还原几何体如下所示：

则容易知()112232ABCD S =

+?=，13223

P ABCD V -=??=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及棱锥体积的计算，属基础题.

- 9 - 16.密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠劵一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；

优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；

优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．

如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是__________元．

【答案】201

【分析】

根据题意，构造函数，由函数的值域即可容易求得.

【详解】设标价为x ，

则当50x >时，优惠金额10

x y =； 当100x >时，优惠券2的优惠金额20y =，优惠券3的优惠金额()910050y x =

-. 故当标价在(]50,100之间，只能用优惠券1，故不满足题意；

当标价超过100时，若满足题意，

2010x >，且()91001050

x x >-， 解得200225x <<. 则答案不唯一，只需在区间()200,225内任取一个元素即可.本题中选取标价为201. 故答案为：201.

【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用，属中档题.

三、解答题: 本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

17.已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P ，角β的终边与角α的终边关于直线y x =对称．

（Ⅰ）若α为第三象限角，点P 的纵坐标为45

-

， （i ）求sin ,cos αα和tan α的值；

- 10 - （ii ）求πsin()6

β+的值． （Ⅱ）求函数()cos 2cos f ααα=-的最小值.

【答案】（Ⅰ）（i ）4sin 5α=-，3cos 5α=-．4tan 3α=.（ii

（Ⅱ）98-

【分析】

（Ⅰ）（i ）根据三角函数的定义，以及同角三角函数关系，即可容易求得；

（ii ）由角度终边的对称性，求得,sin cos ββ，再用正弦的和角公式即可求得； （Ⅱ）利用余弦的倍角公式，将函数转化为关于cos α的二次函数，求其值域即可.

【详解】（Ⅰ）（i ）因为角α的终边与单位圆交于点P ，P 的纵坐标为45

-， 所以4sin 5

α=-

，又因为α为第三象限角，

所以3cos 5

α==-． 因此sin 4tan cos 3ααα==. （ii ）因为角β的终边与角α的终边关于直线y x =对称， 所以3

sin 5β=-，4cos 5

β=-. πππsin()sin cos cos sin 666

βββ+=+

3414525210

-??=-?+-?= ???. （Ⅱ）2

()cos 2cos 2cos cos 1f ααααα=-=-- 2192cos 48

α=--(). 由[]cos 1,1α∈-， 所以当1cos 4α=时，()f α有最小值98

-. 【点睛】本题考查三角函数的定义，同角三角函数关系，诱导公式，以及二次型三角函数的最值，属综合基础题.

- 11 - 18.甲、乙两位运动员一起参加赛前培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84

乙：86 85 79 86 84 84 85 91

（Ⅰ）请你运用茎叶图表示这两组数据；

（Ⅱ）若用甲8次成绩中高于85分的频率估计概率，对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于85分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ；

（Ⅲ）现要从中选派一人参加正式比赛，依据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位选手参加较为合适？并说明理由．

【答案】（Ⅰ）茎叶图见解+析（Ⅱ）分布列见解+析，

9.8

Eξ=（Ⅲ）派乙比较合适，理由见解+析

【分析】 （Ⅰ）根据茎叶图的绘制方法，结合数据绘制即可；

（Ⅱ）先计算高于85分的概率，再求得ξ的取值，由二项分布的概率求解即可求得其分布列； （Ⅲ）求出两组数据的平均数和方差，据此判断即可.

【详解】（Ⅰ）作出茎叶图如下：

（Ⅱ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于85分”为事件A ，3()8

P A =． 随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且3(3,)8

ξB ～． 所以()3335C 88k k k P k ξ-????== ? ?????，k 0,1,2,3=．

所以变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3

P 125

512

225

512

135

512

27

512

125225135279

0123

5125125125128

Eξ=?+?+?+?=．

（Ⅲ）派乙参赛比较合适．

理由如下：

()

1

x7879+81+82+8488+93+9585

8

=++=

甲

，

()

1

x798428528629185

8

=+?+?+?+=

乙

，

()()()()()

22222

2

1

78857985818582858485

8

s?

=-+-+-+-+-+

?

甲

()()()

222

88859385958535.5

?

-+-+-=

?，

()()()()()

22222 2

1

79852848528585286859185]9.5 8

s?

=-+?-+?-+?-+-=?

乙

因为x=

甲x乙，

22

s s

>

乙

甲

，

说明乙的成绩较稳定，更容易发挥队员水平，

所以派乙参赛比较合适．

【点睛】本题考查茎叶图的绘制，以及平均数和方差的计算，以及二项分布的分布列求解，属综合中档题.

19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，//

AD BC，90

BAD PAD

∠=∠=?，

1

PA AB BC

===，2

AD=，2

BP=，E为线段PD的中点.

- 12 -

- 13 - （Ⅰ）求直线AE 与平面PCD 所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角B PC D --的大小；

（Ⅲ）若F 在段AP 上，且直线BF 与平面PCD 相交，求AF AP 的取值范围. 【答案】

（Ⅰ）

105（Ⅱ）56π（Ⅲ）110122????? ??????

U ，，

【分析】 以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系：

（Ⅰ）求得直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的夹角求得线面角的夹角； （Ⅱ）求出平面,PBC PCD 的法向量，利用向量法求二面角的大小；

（Ⅲ）设出F 点坐标，根据BF 的方向向量和法向量不垂直，即可求得范围.

【详解】（Ⅰ） 因为090BAD PAD ∠=∠=，

所以,AB AD AP AD ⊥⊥；

又因为1==PA AB ，2BP =

，

所以222+=AP AB PB ，

因此AP AB ⊥.

以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示.

则()000A ，

，，()100B ，，，()110C ，，， ()020D ，，，()001P ，，，1012E ?? ??

?，，.

- 14 - 所以AE u u u r 1012??= ??

?，，，CD uuu r ()110=-，，，PD u u u r ()021=-，，. 设平面PCD 的法向量m r

()x y z =，，， 由00

m CD m PD ??=???=??u u u r r u u u r r 得： 020.x y y z -+=??-=?， 令1x =，则()1,1,2m =r

设直线AE 与平面PCD 所成角为θ， 则有,m AE sin cso AE m m AE θ?==?u u u r r u u u r r u u u r r

=

所以cos θ= 即：直线AE 与平面PCD

（Ⅱ）同理可得：平面BPC 的法向量()1,0,1n =r

， 则有,m n cos m n m n ?==r r r r r

r = 因为二面角B PC D --的平面角为钝角，

所以二面角B PC D --的大小为

56π. （Ⅲ）设AF AP λ=u u u r u u u r ()01λ≤≤，

由()0,0,1AP =u u u r 得：()0 0F λ=，

，. 则()1,0,BF λ=-u u u r ，

又因为直线BF 与平面PCD 相交，

所以0BF m ?≠u u u r r .

即: ()1120λ-?+≠, 解得：12λ≠

所以AF AP 的取值范围是110122????? ??????

U ，，. 【点睛】本题考查利用向量法求线面角，二面角，以及由线面不平行推证线段比例关系，属

- 15 - 综合中档题.

20.已知函数()sin ln f x x x =+．

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点ππ(,())22M f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：函数()f x 在区间(1,3)上存在唯一的极大值点； （Ⅲ）证明：函数()f x 有且仅有一个零点.

【答案】（Ⅰ）2π=

ln π2y x +（Ⅱ）证明见解+析（Ⅲ）证明见解+析

【分析】

（Ⅰ）求导，从而解得切线的切率，根据点斜式即可求得结果； （Ⅱ）根据()f x '的单调性，即可容易求证；

（Ⅲ）根据()f x '的正负，判断函数()f x 的单调性，即可容易证明.

【详解】（Ⅰ）因为()sin ln ,0f x x x x =+>， 所以1

'()cos 0f x x x x

=+>，， π2'()2π

k f ==， 又因为ππ()1+ln 22

f =， 所以切线方程为π2π(1ln )()2π2y x -+=

-， 即：2π=ln π2

y x +. （Ⅱ）证明：因为cos y x =和1y x =

在()1,3上单调递减， 所以'()f x 在()1,3上单调递减，

且'(1)cos110f =+>． 又121111'(3)cos3cos π0333236

f =+<+=-+=-<， 所以在()1,3内有且仅有一个实数0x ，使得0'()f x =0，

并且当01x x <<时，0'()'()0f x f x >=，

- 16 - 当03x x <<时，0'()'()0f x f x <=，

所以()f x 在区间()1,3上有唯一的极大值点0x .

（Ⅲ）证明：当еx >时，

ln 1x >，sin 1x ≥-，

此时()sin ln 0f x x x =+>.

当1еx ≤≤时，

ln 0x ≥，sin 0x >，

此时()sin ln 0f x x x =+>.

当01x <<时， 因为1'()cos 0f x x x

=+

>，所以()f x 在()0,1内单调递增. 因为11()1sin 0ееf =-+<，(1)sin10f =>， 所以()f x 在()0,1上有且仅有一个零点.

综上所述，函数()f x 有且仅有一个零点.

【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点个数和零点个数，以及用导数的几何意义求切线的斜率.

21.已知椭圆M ：22

221x y a b

+=(0)a b >>的长轴长为4，离心率为12．直线12,l l 交于点3(1,)2

A ，倾斜角互补，且直线12,l l 与椭圆M 的交点分别为,

B

C （点B 在点C 的右侧）. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；

（Ⅱ）证明：直线BC 的斜率为定值；

（Ⅲ）在椭圆上是否存在一点D ，恰好使得四边形ABCD 为平行四边形，若存在，分别指出此时点,B C 和D 的坐标；若不存在，简述理由.

【答案】（Ⅰ）22

143

x y +=（Ⅱ）证明见解+析（Ⅲ）存在，3(2,0),(1,),(2,0)2B C D --

【分析】

- 17 - （Ⅰ）根据长轴长和离心率即可容易求得,,a b c ，则椭圆方程可得； （Ⅱ）由A 点在椭圆上，结合12,l l 的斜率互为相反数，结合韦达定理，即可容易求得,B C 两点的坐标，即可求证斜率为定值；

（Ⅲ）根据题意，即可容易求得对应点的坐标.

【详解】（Ⅰ）根据题意得22224,1,2.

a c a

a b c =???=??=+??

解得2,1.a b c =??=??=?

所以椭圆M 的方程为22

143

x y +=． （Ⅱ）易知点3(1,)2A 在椭圆M 上.

设直线1:l 3(1)2

y k x -=-，即32y kx k =-+． 令223,23412.

y kx k x y ?=-+???+=?

消去y 得222

(34)4(32)41230k x k k x k k ++-+--=． 设11(,)B x y ，则212412334A k k x x k

--=+． 所以212412334k k x k

--=+． 因为直线1l 和2l 的倾斜角互补，所以直线2:l 32

y kx k =-++

． 设22(,)C x y ，同理可得222412334k k x k +-=+． 所以12121212121233()(2)22BC kx k kx k y y k x x k x x x x x x -+--++-+-===---

- 18 - 22222222

41234123(2)134344123412323434k k k k k k k k k k k k k --+-+-++==--+--++． 即直线BC 的斜率为定值12

． （Ⅲ）存在3(2,0),(1,),(2,0)2

B C D --符合已知条件， 且使得四边形ABCD 为平行四边形．

【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中定值问题的证明，属综合中档题.

22.设数组1221(,,,)n G a a a +=L ，2n ≥，*i a N ∈(1221)i n =+L ,,

,，数i a 称为数组G 的元素．对于数组G ，规定：

①数组G 中所有元素的和为1221(),n S G a a a +=+++L ；

②变换f ，f 将数组G 变换成数组2112111()222n a a a f G ++++??= ???L [],[],,[]，其中[]

x 表示不超过x 的最大整数；

③若数组1221(,,,)n M b b b +=L ，则当且仅当i i a b =(1221)i n =+L ,,

,时，G M =． 如果对数组G 中任意2n 个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组n 个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组G 具有性质P ．

（Ⅰ）已知数组(1,1,1,1,1)A =，(1,4,7,10,13)B =，计算(A)f ，()f B ，并写出数组,A B 是否具有性质P ；

（Ⅱ）已知数组G 具有性质P ，证明：()f G 也具有性质P ；

（Ⅲ）证明：数组G 具有性质P 的充要条件是1221n a a a +L ===．

【答案】（Ⅰ）数组A 是具有性质P ，数组B 不具有性质P ．（Ⅱ）证明见解+析（Ⅲ）证明见解+析

【分析】

（Ⅰ）根据题意，即可容易得()(),f A f B ，则可判断；

（Ⅱ）对1221n a a a +L ,,

,都为奇数和都为偶数，结合性质P 的定义，即可证明； （Ⅲ）从充分性和必要性上，结合（Ⅱ）中所求，即可证明.

【详解】（Ⅰ）()(1,1,1,1,1)f A =，()(1,2,4,5,7)f B =；

- 19 - 数组A 是具有性质P ，数组B 不具有性质P ．

（Ⅱ）证明：当元素1221n a a a +L ,,

,均为奇数时， 因为1122i i a a ++??=????

，1221i n =+L ,,,，所以2112111()(,,,)222n a a a f G ++++=L ． 对()f G 中任意2n 个元素，不妨设为212111,,,222

n

i i i a a a +++L ． 因为数组G 具有性质P ，所以对于122,,,n i i i a a a L ，

存在一种分法：将其分为两组，每组n 个素，使得各组内所有元素之和相等． 如果用1

2k i a +替换上述分法中的k i a （1,2,,2k n =L ）， 就可以得到对于

212111,,,222n

i i i a a a +++L 的一种分法： 将其分为两组，每组n 个元素，显然各组内所有元素之和相等．

所以此时()f G 也具有性质P ．

当元素1221n a a a +L ,,

,均为偶数时， 因为112222

i i i a a a +????=+=????????，1221i n =+L ,,,，所以2112()(,,,)222n a a a f G +=L ． 对()f G 中任意2n 个元素，不妨设为212,,,222

n i i i a a a L ． 因为数组G 具有性质P ，所以对于122,,,n i i i a a a L ，

存在一种分法：将其分为两组，每组n 个元素，使得各组内所有元素之和相等． 如果用2k

i a 替换上述分法中的k i a （1,2,,2k n =L ）， 就可以得到对于

212,,,222n i i i a a a L 的一种分法： 将其分两组，每组n 个元素，显然各组内所有元素之和相等．

所以此时()f G 也具有性质P ．

综上所述，由数组G 具有性质P 可得()f G 也具有性质P ．

（Ⅲ）证明：（1）充分性：显然成立．

（2）必要性：

因为数组G 具有性质P ，所以对于数组G 中任意2n 个元素，存在一种分法： 将2n 个元素平均分成2组，并且各组内所有元素之和等于同一个正整数，

所以()i S G a -均为偶数，从而元素(1221)i a i n =+L ,,

,的奇偶性相同．

- 20 - 由（Ⅱ）可知，如果数组G 具有性质P ， 那么2112111()(,,,)222

n a a a f G ++++=L 仍具有性质P ． 又因为，当(1221)i a i n =+L ,,

,为奇数时， 111[]22

i i i a a a ++=≤≤，当且仅当1i a =时等号成立， 当(1221)i a i n =+L ,,

,为偶数时， 111[][]2222

i i i i a a a a +=+=<≤， 由此得到()f G G =的充要条件是(1,1,1,1,1)G =． 易知2112122111121[][][]222

n n a a a n a a a ++++++++++++L L ≤≤， 当且仅当12211n a a a +====L 时等号成立．

即21(())()n S f G S G +≤≤，当且仅当12211n a a a +====L 时等号成立． 令1G G =，1()k G f G +=，*k N ∈．

假设对于任意的*k N ∈，有()k k f G G ≠，则(())()k k S f G S G <， 又1*a N ∈，1[]*2

i a N +∈，得(())()1k k S f G S G -≤，即1()()1k k S G S G +-≤． 得21()()1S G S G -≤ ，…，

1()()1k k S G S G --≤，

所以1()()(1)()(1)k S G S G k S G k --=--≤，且()k S G 单调递减． 又因为()21k S G n +≥，矛盾．

所以存在0*k N ∈，有00()k k f G G =．

又由结论1，得此时0(1,1,1,1,1)k G =．

上述过程倒推回去，

因为数组0(1,2,,)k G k k =L 均具有性质P ，即数组k G 中元素(1221)i a i n =+L ,,

, 的奇偶性相同，可得数组k G 中的所有元素都相同，

所以，数组1G G =中的元素均相同，即1221n a a a +L ===．

【点睛】本题考查集合新定义问题，属综合困难题.

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