第十节函数与方程

高中理科1轮复习第二章 函数、导数及其应用

高考总复习 数学(理科)

第二章第十节 函数与方程

高中理科1轮复习第二章 函数、导数及其应用

高考总复习 数学(理科)

判断函数在给定的区间是否存在零点 【例1】 判断下列函数在给定区间上是否存在零点： (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=x3-x-1,x∈[1,2];

(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3];(4)f(x)= -x,x∈(0,1). 思路点拨：利用函数零点的存在性定理或图象进行判断. 自主解答：

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解析：(1)(法一)因为f(1)=-20<0,f(8)=22>0,所以f(1)×f(8)< 0.故f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.

(法二)令x2-3x-18=0,x∈[1,8],解得 x=-3或x=6,所以函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点. (2)因为f(1)=-1<0,f(2)= 5 >0,所以f(1)× f(2)< 0. 故f(x)=x3-x-1在[1,2]上存在零点. (3)因为f(1)= log2(1+2)-1=log23-1> log22-1=0,f(3)= log2(3 +2)-3=log25-3< log28 -3=0, 所以f(1)× f(3)< 0.故f(x)=log2(x+2)-x在区间[1,3]上存在零点.

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高考总复习 数学(理科) (4)画出函数f(x)= -x的图象如下图所示，由图象可知函数

f(x)=

-x在(0,1)内的图象与x轴无交点，故函数f(x)= -x

在区间(0,1)上不存在零点.

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点评： (1) 研究函数的零点存在性问题常用的办法有 三种：一是用零点存在性定理，二是解方程，三是用图 象. (2) 三次函数问题是近几年的高考热点问题，解决这 类问题主要抓住图象的零点、特殊点、函数值、图象的

变化趋势等方面综合考虑.

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变式探究 1.(2013· 北京东城区模拟 )在以下区间中，存在函数f(x)=x3+3x-3的零点的是( A.[-1,0] ) C.[0,1] D.[2,3] B.[1,2]

解析： 由于 f(0) =- 3 < 0 , f(1) = 1 > 0 ,所以 f(x) 在区间 [0,1]上存在零点，故选C.

答案：C

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高考总复习 数学(理科) 求函数的零点 【例2】 求下列函数的零点：

(1)f(x)=2x2-5x-3;(2)f(x)=x3+1. 自主解答：

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高考总复习 数学(理科) 解析：(1)由2x2-5x-3=0,解得x=3或x=- ,所以函数f(x) =2x2-5x-3的零点是- 和3. (2)f(x) = x3 + 1 = (x + 1)(x2 -x + 1) ,令 f(x) = 0 ,得 (x + 1)(x2 - x +1)=0,解得x=-1,所以函数f(x)=x3+1的零点是-1.

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点评：求函数的零点即求对应方程的根，若这个方程可解， 就可以直接求出根，若代数方法不能求得方程的根，则可以结 合图象判断根所在的区间，用二分法求方程的近似解.

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高考总复习 数学(理科) 变式探究

2.若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( A.f(x)=4x-1 )

B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x- )

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解析：因为g(0)<0,g( )>0,g(x)的零点在(0, )内， 而f(x)=4x-1的零点为x= ,故选A.

答案：A

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高考总复习 数学(理科) 用二分法求方程的近似解 【例3】 求函数 f(x)=x3 -x-1在区间 [1,1.5]内的一个零

点(精确到0.01). 思路点拨： 根据用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤求 之. 解析：由于f(1)<0,f(1.5)>0,所以f(x)在区间[1,1.5]存 在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间.

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高考总复习 数学(理科) 用二分法逐次计算列表如下： 端(中)点坐标 中点函数值 取区间 bn-an

[1,1.5] 1.251.375 1.312 5

0.5 0.250.125 0.062 5

f(1.25)<0f(1.375)>0 f(1.312 5) <0 f(1.343 75) >0

[1.25,1.5][1.25,1.375] [1.312 5, 1.375] [1.312 5, 1.343 75]

1.343 75

0.031 25

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高考总复习 数学(理科) 1.328 125 1.320 312 5 f(1.328 125) >0 [1.312 5, 1.328 125] 0.015 625 0.007 812 5

f(1.320 312 5) <0

[1.320 312 5 1.328 125]

|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01. 至 此 可 以 看 出 ， 函 数 的 零 点 落 在 区 间 长 度 小 于 0.01 的 区间 [1.320 312 5,1.328 125]内，因为该区间的所有值精确到0.01都

是在 1.32 和 1.33 之间，因此 1.32 和 1.33 是函数 f(x) = x3 - x - 1 精确到0.01的一个近似零点.

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点评：用二分法求函数零点近似值的步骤，借助 于计算器一步一步求解即可，也可以借助于表格和数 轴，清楚地描述逐步缩小零点所在区间的过程，而运 算终止的时候就在区间长度小于精确度 ε 的时候.

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高考总复习 数学(理科) 变式探究

3.(2012· 福州模拟) 若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f(1)=-2 f(1.375)= -0.260 f(1.5)=0.625 f(1.437 5)=0.162 f(1.25)=-0.984 f(1.406 25)=-0.054 )

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为(

A.1.2

B.1.3

C.1.4

D.1.5

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高考总复习 数学(理科) 解析：f(1.406 25)=-0.054<0,f(1.437 5)=0.162>0, 且都接近0,由二分法可知其根近似于1.4.故选C.

答案：C

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高考总复习 数学(理科) 求与函数零点有关的参数问题 【例 4】 (2013· 浙江十二校二次联考 ) 已知函数 f(x) =

xln x,g(x)=-x2+ax-2.若函数y=f(x)与y=g(x)的图象恰 有一个公共点，求实数a的值. 解析：由题意得，f(x)-g(x)=xln x+x2-ax+2=0在 (0,+∞)上有且仅有一个根， 即a=ln x+x+ 在(0,+∞)上有且仅有一个根.

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高考总复习 数学(理科) 令h(x)=ln x+x+ ,则h′(x)= +1- =(x+2)(x-1), 易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 所以a=h(x)min=h(1)=3. 点评：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范 围，若方程

可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方 程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用 两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简 单，这也体现了数形结合思想.

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