2009年英国数学奥林匹克第2轮试题及解答

2009年英国数学奥林匹克第2轮试题及解答 1.对于任意整数n?1，设p?n?为n的最大质因数．求所有的三个不同的正整数x，y，z，使其满足：⑴x，y，z是等差数列；⑵p． yz?≤3?xmn?????3． x,y,z?k,2k,3k,2k,3k,4k,解：?或?2,?，这里k?2?k9,k16k不妨设x?y?z．若充分求出X，Y，Z不含任何公因数k的解?X,Y,Z?，则全部的解集?x,y,z?为?k?，Xk,Yk,Zmn其中k?2?3． 记W与X具有相同奇偶性． ?Y?X，则Z?X?2W因此X与Y必具有相异奇偶性．否则，X与Y同偶或同奇．若X与Y同偶，则X、Y、Z都是偶数，有公因数2，

Y?3b，Z?3c，矛盾；若X与Y同奇，则X、Y、Z都是3的幂（含指数为0的情形）．不妨设X?3a，这里0，≤a?b?cac?ac?baacb31?323?b，则3．则1?3a23???3?2?3????ts?1，．令bas这里0?s?t，则1而t≥c?a?t，?323??s．??，

ts?1ss?3≥1?31??3?3?2?3则1，矛盾．

⑴若X是奇数，则Z是大于1的奇数，于是Z是3的幂．若X?1，则X也是3的幂，于是Y?X?Z也含3的幂．矛

22??1?????X?Z1?4?1??1??14n?4?m盾．因此X必是1．若Z?3，则Y（其中42?m表示所有含42或???222nnnn?1??其更高次项的和）．因此 n是奇数，否则Y是奇数，矛盾．从而Y．但Y是一个2的幂．这是因为Y?2mod4显然不含大于3的质因数；也不含质因数3，否则不妨设Y?1?3?3u，则1，矛盾．于是Y?2，Z?3． ?3n?6u2n⑵若X是偶数，则Y是奇数且是一个3的幂．若X能被3整除，则Z也能被3整除．矛盾．因此X必是一?2Y?X个2的幂．类似地，Z必是一个2的幂．若X能被4整除，则由于Z是一个2的更大的幂，它也必能被4整除．于

?2,9,16?X?W是2是能被4整除，故Y?能被2整除．矛盾．因此X必是2．容易验算得?，???X,Y,Z?2,3,4WZ??Xn?1是它的解．Y能被27整除时无解，证明如下：容易（虽然有点麻烦）由Z?2验算出

Z?Xn??， Y??2?1?3,5,9,17,6,11,21,14,0,26,24,20,12,23,18,8,15,2,3,?mod272??时，得Y能被27整除． ?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,??9mod18其中n．于是我们必有nn????，则Y也能被19整除．于是Y?9mod18但2．所以若n?1?3,5,9,17,14,8,15,10,0,18,16,12,4,7,13,6,11,2,3,?mod19不能是一个大于9的3的幂．

2.△ABC中，D为AB上一点，且4AD=AB．过D的射线l与C在AB的同侧，交△ABC的外接圆于P，且?ADP??ACB，证明P． B?2PD D A P B C

APB??ADPADP??ACB证：连结AP．则?，又?，故?，△APB∽△ADP． APB??ACB22从而P，P．即相似比为2．故PB = 2PD． A??ADAB?4ADA?2AD?是一个正整数集?的一一映射． 3.设f:????????af?a?df?a?2d⑴证明存在一个由正整数a组成的等差数列，这里d?0，使f． ,a?d,a?2d??????a?fa?d???fa?2003d⑵一定存在一个等差数列a，这里d?0，使f吗？ ,a?d,?,a?2003d?1,a?2,a?4,a?8,a?16,a?32,?证明：⑴设f?a??1，考虑a，显然其中任意相邻两项与a都构成等差数列，

在这些等差数列中，必存在一个满足要求．这是因为：

ii?1i??????????2?fa2?fa?fa?2假设不存在满足要求的等差数列．由于1，其中i是非负整数，则必有fa．

1

????????????即f．但f?a?1?是一个确定的正整数，且f:???a?1?fa?2?fa?4?fa?8?fa?16?fa?32??是一个正整数集?的一一映射，从而小于f?a?1?的正整数有有限个，故在f?a?2j?中必存在某一个

kk?1kk?1k?????，满足fa???????????a?2?fa?11???fa2f?a?2且f?，其中j,k??．则f，这af?a?2?fa?2k?1k,a?2,a?2时公差d?2k?1的等差数列a满足要求．矛盾！

⑵不一定存在．

构造映射：

n?1n以象f满足2分成若干档，其中n是非负整数．上述映射中“||”为分档线． ?f≤2 1?1,||2?2,||4?3,3?4,||8?5,7?6,6?7,5?8,||16?9,15?10,14?11,13?12,12?13,11?14,10?15,9?16,||?设f?a?2003d?在第i档，而第i档的最大的象是2i?1．分析各档里象的情况如下：

前i?3档 i?4 1~2第i?2档 i?4i?3 2?1~2第i?1档 i?3i?2 2?1~2第i档 i?2i?12?1~2 i?2i?3i?3由于第i?1档里象的个数为2，又每档里最多只能选择一个，否则将出现fa，id?fai?1d?2?2????????故d?2i?4．从而前i?3档里最多只能选择一个．故总共最多只能选择四个．

倘若从中选择五个及五个以上，由抽屉原理知，必定在后三档里存在某一档至少被选择了两个． 因此题设中的映射不一定存在满足要求的等差数列．

??????n2?≥fn??4.设f是一个定义在非负整数集内的函数，使所有n≥0，有⑴?；⑵f?． f2n?1?f2n?6fn?1???22问在函数f的象中有多少个数小于2003？

解：128．

??????????????因为?，?，所以f2n?1?f2n?6fn?1f2n?f2n?6fnf?1≤2n?6f2n?1?f2n?3????????????????f??????????????2．但?2n??12n?1f2n??1f2n?6fn?1与?f?2n??．从而f或f?2?f2nf?2n?1?f2n?3n????222222222??f????2n??12n?1具有相反奇偶性，因此必有f．于是f?． 2n?3f?n从而，特别地，f?0??0，故f?1??1．一般地，由归纳推理得，f是严格单调递增的．证明如下：

?，显然成立；假设n????f???????10?f1???fk2?fk2?1当n≤1时，f?0时，f．则 ≤2k?1??????????????????，而fk，故f． 2?1?fk2?1?3fk?1f2k?2?31fk?≥3fk?1??3fk32k?1?f2k?2??2k??32k??21又因为f． 2k?2?f2k?3??f??，所以f????????????????从而f．因此f是严格单调递增的． 0?f1?f2??f2k?f2k?1?f2k?2?f2k?3??7??128?32?187?2003显然f．

??????????????????f127?f126?1?3f63?1?3f62?4?9f31?4?9f30?13?27f15?13?27f14?40?81f7?40?????????81f6?121?243f3?121?243f2?364?729f1?364?729?364?1093?2003． ??????0,f1,?,f127因此有128个相异数f小于2003．

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