概率统计1.4事件的独立性

概率统计

Ch1-83

§1.4 事件的独立性事件的独立性 例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球. 设第 i 次 取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) . 求P( A1) , P( A2 ) ,

P(A2 A ), P( A2 A1 ) , 1P(A2 A ) = 3/ 8, 1

解 P( A ) = 3 / 8 = P( A2 ) , 1P( A2 A1 ) = 3 / 8,

P( A2 A1 ) = P( A2 ) = P( A2 A1 )

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Ch1-84

事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立

P(A A2) = (3/ 8) = P(A )P(A2 A ) = P(A )P(A2) 1 1 1 12

定义 设 A , B 为两事件，若

P ( AB ) = P ( A) P ( B )则称事件 A 与事件 B 相互独立

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Ch1-85

两事件相互独立的性质两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的 若 P ( A) > 0, 则P ( B ) = P ( B A) 若 P ( B ) > 0, 则 P ( A) = P ( A B ) 若 P ( A) > 0, P ( B ) > 0, 则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥” 不能同时成立 (自行证明)

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Ch1-86

四对事件 A, B; A, B ; A , B; A , B 任何一对相互独立,则其它三对也相互独立 试证其一 A, B 独立 A, B 独立 事实上

P( AB) = P( A AB) = P( A) P( AB)= P( A) P( A) P( B)= P( A) 1 P( B) = P( A) P( B)

[

]

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定义

三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立：P ( AB ) = P ( A) P ( B ) P ( AC ) = P ( A) P (C ) P ( BC ) = P ( B ) P (C )(1)

Ch1-87

P( ABC) = P( A)P(B)P(C) (2)

注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立 A, B, C 两两独立

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Ch1-88

例2 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下 1 R W Y 2 R W 3 R W 4 R 5 W Y Y Y 6 7 8

将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面 出现的颜色。 R 红色 设事件 W 白色 Y 黄色

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则

3 1 P(RW) = , P(WY) = P(RY) = 8 81 P ( RWY ) = = P(R)P(W)P(Y) 8

4 1 P ( R ) = P (W ) = P (Y ) = = 8 2

Ch1-89

但

P( RW ) ≠ P( R) P(W )P (WY ) ≠ P (W ) P (Y ) P ( RY ) ≠ P ( R ) P (Y )

本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1) 本例说明

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Ch1-90

例3 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子 事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数 B 表示2号骰子向上一面出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数 则

P(A) = P(B) = P(C) =1/ 2 P( AB) = P( BC) = P(CA) = 1/ 4 = P( A)P(B) = P(B)P(C) = P(C)P( A) 但 P( ABC) = 0 ≠ 1 / 8 = P( A) P( B) P(C)本例说明 不能由 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立

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Ch1-91

定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立

P( Ai Aj ) = P( Ai ) P( Aj ), 1 ≤ i < j ≤ nP( Ai Aj Ak ) = P( Ai )P( Aj )P( Ak ), 1 ≤ i < j < k ≤ n

P( A1 A2 An ) = P( A1 )P( A2 ) P( An )常由实际问题的意义 判断事件的独立性

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Ch1-92

例4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件 A 与 B∪C 也相互独立 证

= [P ( B ) + P (C ) P ( BC )]

P(A(B ∪C)) = P(B ∪C) P( A(B ∪C))

= P ( A )[P( B ) + P (C ) P( BC )]= P( A )P(B ∪ C )

[P ( AB ) + P ( AC ) P ( ABC )]

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Ch1-93

命题若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立,将这 n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能 同时属于两个不同的组,则对每组的事件 进行求和、积、差、对立等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.

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利用独立事件的性质 计算其并事件的概率 , 若 A1, A2, …, An 相互独立, 则 相互独立, P ( ∪ A i ) = 1 ∏ (1 P( Ai ))i =1i =1

Ch1-94

n

n

P (∪ Ai ) = P ( A1 ∪ A2 ∪ ∪ An )i =1

n

= 1 P( A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) n = 1 P( A1 A2 An ) = 1 ∏ P( Ai )

= 1 ∏ (1 P( Ai ))i =1

n

i =1

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Ch1-95

特别， 当 特别， P( Ai ) = p ,则

P (∪ Ai ) = 1 (1 p )i =1

n

n

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Ch1-96

例5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率 解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100 则 A = ∪ Aii =1 100

P(A) =1 ∏[1 P(Ai )] =1 (1 0.004 ≈ 0.33 )100

100 i=1

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Ch1-97

若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝 炎病毒，则

P(Bn ) =1 (1 ε ) ,n

0 < ε <1

n =1,2,

lim P ( B n ) = 1n→ ∞

—— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生

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Ch1-98

例6

系统的可靠性问题 (教材P.40例5)

一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性 系统由元件组成,常见的元件连接方式： 串联1 1 2

并联2

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Ch1-99

设

两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性.

S1:

A1 B1

A2 B2

P(S1 ) = P( A1 A2 ) + P( B1B2 ) P( A1 A2 B1B2 )

= 2p p = p (2 p )2 4 2 2

概率统计

S2:

A1 B12

A2 B2

Ch1-100

P(S2 ) = ∏ P( Ai ∪ Bi ) = 2 p pi =1 =1

(

2 2

)

= p (2 p ) ≥ p2 (2 p2 ) = P(S1).2 2

注 利用导数可证, 当 p∈( 0, 1) 时, 恒有f ( p) = (2 p) (2 p ) > 02 2

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Ch1-101

公 Bayes式

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Ch1-102

应用举例 —— 肠癌普查A 设事件 i 表示第 i 次检查为阳性,事件B表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下： P( Ai B ) = P( Ai B ) = 0.95, 且 P(B) = 0.005 某患者首次检查反应为阳性, 试判断该 患者是否已患肠癌？ 若三次检查反应均为 阳性呢？

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Ch1-103

由Bayes 公式得

P(B A ) = 1

P(B)P(A B) 1

P(B)P(A B) + P(B)P(A B) 1 1 0.005× 0.95 = 0.005× 0.95 + 0.995× 0.05 ≈ 0 . 087 .

首次检查反应为阳性 患肠癌的概率并不大

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j6f4.html