2020届四川省眉山市高三第三次诊断性考试数学(文)试题解析

第 1 页 共 21 页 2020届四川省眉山市高三第三次诊断性考试数学（文）试题 绝密★启用前

山东省普通高中2020年高中学业水平等级考试模拟数学试卷 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1

．已知集合|A x y ?

==??，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =I （ ） A ．{}2,1,0,1,2--

B ．{}0,1,2,3

C ．{}1,2,3

D ．{}2,3 答案：D 先求出集合A ，再求交集得出结论.

解：

解：由题意得集合()1,A =+∞，所以{}2,3A B ?=．

故选：D.

点评：

本小题主要考查函数定义域，交集运算等基础知识；考查运算求解能力，应用意识，属于基础题.

2．若i 为虚数单位，则复数22sin

cos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 答案：B 由共轭复数的定义得到z ，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解 解： 由题意得22sin cos 33

z i ππ=--，

因为2sin 032

π-=-<，21cos 032π-=>， 所以z 在复平面内对应的点位于第二象限．

故选：B

第 2 页 共 21 页 点评：

本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.

3．“1x >”是“2log 0x >”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案：C

解： 2log 01x x >∴>∴Q “1x >”是“2log 0x >”的充要条件，选C.

4．函数()()sin f x A x =+ω?（其中0A >，0>ω，2

π?<

）的图象如图，则此函

数表达式为（ ）

A ．()3sin 24f x x π?

?=+ ??? B ．()13sin 2

4f x x π??=+ ??? C ．()3sin 24f x x π??=-

??? D ．()13sin 2

4πf x x ??=- ??? 答案：B 由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π??

???，求出?，从而得出函数解析式.

解：

解：由图象知3A =，534422T πππ??=-= ???，则2142ωπ==π， 图中的点3,02π?? ???

应对应正弦曲线中的点(,0)π， 所以1322

π?π?+=，解得4π?=，

第 3 页 共 21 页 故函数表达式为()13sin 2

4f x x π??=+ ???． 故选：B.

点评：

本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.

5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）

A ．若//m α，//n α，则//m n

B ．若//m α，n ?α，则//m n

C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α

D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥

答案：D

利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.

解：

解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面，

选项B 中m ，n 还可能异面，

选项C ，由条件可得//n α或n ?α．

故选：D.

点评：

本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题. 6．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥??--≤??≥?

，则2z x y =+的最大值为（ ）

A ．1-

B ．2

C ．7

D ．8

答案：C

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值. 解：

解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：

当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.

第 4 页 共 21 页

故选：C.

点评：

本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.

7．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，

cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）

A ．6π

B ．4π

C ．3π

D ．23

π 答案：C 3sin sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值.

解： 解：由cos 3sin a C c A b c +=+及正弦定理得

sin cos 3sin sin sin sin A C C A B C +=+.

因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+.

由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π??-= ??

?. 又0A π<<，故3A π=

. 故选：C.

点评：

本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.

8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包

含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）

A．1

3

B

．

1

2

C．

2

3

D．

3

4

答案：B

基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 解：

解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，

取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，

所以，所求的概率

31

62

P==.

故选：B.

点评：

本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．

9．如图，平面四边形ACBD中，AB BC

⊥，3

AB=，2

BC=，ABD

△为等边三角形，现将ABD

△沿AB翻折，使点D移动至点P，且PB BC

⊥，则三棱锥

P ABC

-的外接球的表面积为（）

A．8πB．6πC．4πD．

82

3

答案：A

第 5 页共 21 页

第 6 页 共 21 页 将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在Rt OBE V 中，计算半径OB 即可. 解：

由AB BC ⊥，PB BC ⊥，可知BC ⊥平面PAB ．

将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．

由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，

记ABP △的外心为E ，由ABD △为等边三角形，

可得1BE =．又12

BC OE ==，故在Rt OBE V 中，2OB =， 此即为外接球半径，从而外接球表面积为8π．

故选：A

点评：

本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.

10．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b

-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ）

A ．2

B 3

C ．2

D ．3

答案：B 设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2

a x c

=，ab y c =，即2

,a ab P c c ?? ???，由16PF OP =，列出相应方程，求出离心率. 解：

第 7 页 共 21 页 解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b

=--， 由()b y x a a y x c b ?=????=--??解得2

a x c =，a

b y

c =，即2,a ab P c c ?? ???，

由1PF =，所以有22224222226a b a a a b c c c c

c ????++=+ ? ?????， 化简得223a c =

，所以离心率=

=c e a

故选：B.

点评：

本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．

11．函数()2f x ax =-与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ）

A ．,4e ??-∞ ???

B ．,2e ??-∞ ???

C ．(],e -∞

D ．(

2,e ?-∞? 答案：C

由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解，可得2ln x a x +=有解，令()2ln x h x x +=，则()2

1ln x h x x --'=，对x 分类讨论，得出1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ??

= ???，也即为最大值，进而得出结论.

解：

解：由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解， 即2ln x a x +=

有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x

--'=， 则当10x e <<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<， 故1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ??= ???

，也即为最大值， 当x 趋近于0时，()h x 趋近于-∞，所以a e ≤满足条件．

故选：C.

点评：

第 8 页 共 21 页 本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．

12．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：

①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；

②//AE y 轴；

③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切.

其中，所有正确判断的序号是（ ）

A ．①②③

B ．①②

C ．①③

D ．②③ 答案：B

由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+，利用韦达定理判断第一个结论；将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，进而判断第二个结论；设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线，进而判断第三个结论.

解：

解：由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+，

代入抛物线C 的方程，有2

480y my --=．

设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，

则124y y m +=，128y y =-．

所()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=． 则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为1212

2y y x x =-．所以①正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，

根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称，

所以直线//AE y 轴．所以②正确．

如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，

则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，

第 9 页 共 21 页 点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线， 则12

||||||222

d d BF EF BE d R ++==>=．所以③不正确．

故选：B.

点评：

本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．

二、填空题 13．已知平面向量(),2a m =r ，()1,3b =r ，且()

b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与b r 的夹角的大小为________． 答案：4

π 由()

b a b ⊥-r r r ，解得4m =，进而求出2cos ,2a b =r r . 解：

解：因为()b a b ⊥-r r r ，所以()()1,31,1130m m ?--=--=，解得4m =，所以

22224,21,32cos ,24213a b ?==+?+r r ，所以向量a r 与b r 的夹角的大小为4π． 都答案为：

4

π. 点评： 本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．

14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是__________．

第 10 页 共 21 页

答案：30

根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100分的频率，继而得解. 解：

根据直方图知第二组的频率是0.040100.4?=，则样本容量是802000.4=， 又成绩在80～100分的频率是(0.0100.005)100.15+?=，

则成绩在区间[80,100]的学生人数是2000.1530?=．

故答案为：30

点评：

本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题.

15．已知3sin 45πα?

?+= ???，且344

ππα<<，则cos α=__________． 答案：210

- 试题分析：因344π

πα<<,故,所以，

,应填2【考点】三角变换及运用． 16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．

答案：11,3??- ???

构造2

()()g x f x x =-，先利用定义判断()g x 的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化2(2)(1)321f x f x x x -->+-为(2)(1)g x g x >-，结合奇偶性，单调性求解不

第 11 页 共 21 页 等式即可.

解：

令2

()()g x f x x =-，则()g x 是R 上的偶函数， ()()20g x f x x ''=-<，则()g x 在(0,)+∞上递减，于是在(,0)-∞上递增． 由2(2)(1)321f x f x x x -->+-得22(2)(2)(1)(1)f x x f x x ->---， 即(2)(1)g x g x >-，

于是(|2|)(|1|)g x g x >-，

则|2||1|x x <-， 解得113

x -<<． 故答案为：11,3??

- ???

点评：

本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

三、解答题

17．某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：

()1是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？

()2若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物券．若在获得了100元购物券的6人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率．

第 12 页 共 21 页

附表及公式：()()()()()2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++．

答案：()1有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；()

2815

. ()1由题得250

5.556 5.0249

K =

≈>，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；

()2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A ，2

A ；女顾客有4人，记为1

B ，

2B ，3B ，4B ．从中随机抽取2人，所有基本事件有15个，其中仅有1人是女顾客的

基本事件有8个，进而求出获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率. 解：

解析：()1由题得()2

22004040804050 5.556 5.02412080801209

K ?-?==≈>??? 所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．

()2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A ，2

A ；女顾客有4人，记为1

B ，

2B ，3B ，4B ．

从中随机抽取2人，所有基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，

()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()23,B B ，

()24,B B ，()34,B B ，共15个．

其中仅有1人是女顾客的基本事件有：()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，

()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，共8个．

所以获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率8

15

P =． 点评：

第 13 页 共 21 页 本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．

18．已知等差数列{}n a 满足11a =，公差0d >，等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，35b a =．

()1求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

()2若数列{}n c 满足3121123n

n n c c c c a b b b b ++++???+=，求{}n c 的前n 项和n S ．

答案：()121n a n =-，13n n b -=；()23n n S =.

()1由11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列，

所以()()21114d d +=?+，解得2d =.进而求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

()2当1n =时，由121c a b =，所以13c =，当2n …时，由3121123

n n n c c c c a b b b b ++++???+=，31121231

n n n c c c c a b b b b --+++???+=，可得123n n c -=?，进而求出前n 项和n S ． 解：

解：()1由题意知，11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列， 所以()()2

1114d d +=?+，解得2d =．

所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-．

数列{}n b 的公比3q =，其通项公式13n n b -=． ()2当1n =时，由

121c a b =，所以13c =． 当2n ≥时，由3121123n n n c c c c a b b b b ++++???+=，31121231

n n n c c c c a b b b b --+++???+=， 两式相减得1n n n n

c a a b +=-， 所以123n n c -=?．

故13,123,2n n n c n -=?=??≥?

第 14 页 共 21 页 所以{}n c 的前n 项和231323232323n n S -=+?+?+?+???+? (

)1

31332313n n -???-??=+=-????，2n ≥．

又1n =时，1113S a ==，也符合上式，故3n n S =.

点评：

本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．

19．如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=?，PAD △是边长为2的正三角形，10PC =，E 为线段AD 的中点．

()1求证：平面PBC ⊥平面PBE ；

()2是否存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r 的点F ，使得34

B PAE D PFB V V --=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

答案：()1证明见解析；()2 2.

()1利用面面垂直的判定定理证明即可；

()2由PF FC λ=u u u r u u u r

，知()1FC PC λ+=，所以可得出

D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=，因此，34B PA

E D PFB V V --=的充要条件是1

32

4

λλ+=，继而得出λ的值. 解： 解：()1证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，

所以PE AD ⊥．

因为ABCD 是菱形，所以AD AB =．

因为60BAD ∠=?，

第 15 页 共 21 页 所以ABD △是正三角形，

所以BE AD ⊥，而BE PE E ?=，

所以AD ⊥平面PBE ．

又//AD BC ，

所以BC ⊥平面PBE ．

因为BC ?平面PBC ，

所以平面PBC ⊥平面PBE ．

()2由PF FC λ=u u u r u u u r ，知()1FC PC λ+=． 所以，111222

B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===， D PFB P BD

C F BDC F BC

D V V V V λ----=-=． 因此，34B PA

E D PFB V V --=的充要条件是1324

λλ+=， 所以，2λ=． 即存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r 的点F ，使得34

B PAE D PFB V V --=，此时2λ=． 点评：

本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题．

20．已知椭圆C 的中心在坐标原点C ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为()1,0，点A 在椭圆C 上，点B

在直线y =上的点，且OA OB ⊥．

()1证明：直线AB 与圆221x y +=相切；

()2求AOB V 面积的最小值．

答案：()1证明见解析；()2 1.

()1由题意可得椭圆C 的方程为2212x y +=，由点B

在直线y =上，且OA OB ⊥知

OA 的斜率必定存在，分类讨论当OA 的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线AB 与圆22

1x y +=相切；

第 16 页 共 21 页 ()2由()1知，AOB V 的面积为112

S OA OB =

?… 解： 解：()1由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==

，所以a =

所以椭圆C 的方程为2

212

x y +=． 由点B

在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在，

当OA 的斜率为0

时，OA =

OB =， 于是2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切．

当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212x y +=联立得()

22122k x +=， 所以2

2212A

x k =+，222212A k y k =+，从而2222212k OA k +=+． 而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B

在y =

上，故x =， 从而2222OB k =+，于是221

11OA OB +=．

此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切．

综上，直线AB 与圆22

1x y +=相切． ()2由()1知，AOB V 的面积为

2211211122k S OA OB ++?=?===≥， 上式中，当且仅当0k =等号成立，

所以AOB V 面积的最小值为1．

点评：

本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题．

21．已知函数()ln x f x e x x ax =-+，()f x '为()f x 的导数，函数()f x '在0x x =处取得最小值．

（1）求证：00ln 0x x +=；

（2）若0x x …

时，()1f x …恒成立，求a 的取值范围．

第 17 页 共 21 页 答案：（1）见解析； （2）[1,)e -+∞.

（1）对()f x 求导，令()ln 1x g x e x a =-+-，求导研究单调性，分析可得存在

0112

t <<使得()00g t '=，即0010t e t -=，即得证； （2）分00110x a x ++-…，00110x a x ++-<两种情况讨论，当00

110x a x ++-…时，转化()n 20mi 0001()f x f x x x a x ==

++利用均值不等式即得证；当00110x a x ++-<，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ，分析可得()f x 的最小值为()2f x ，分1a e ≥-，1a e <-讨论即得解.

解：

（1）由题意()ln 1x f x e x a '=-+-，

令()ln 1x g x e x a =-+-，则1()x g x e x

'=-，知()g x '为(0,)+∞的增函数， 因为(1)10g e '=->

，1202g '??=< ???

， 所以，存在0112

t <<使得()00g t '=，即0010t e t -=． 所以，当()00,x t ∈时()0()0g x g t ''<=，()g x 为减函数，

当()0,x t ∈+∞时()0()0g x g t ''>=，()g x 为增函数，

故当0x t =时，()g x 取得最小值，也就是()f x '取得最小值．

故00x t =，于是有0010x e x -=，即00

1x e x =， 所以有00ln 0x x +=，证毕．

（2）由（1）知，()ln 1x

f x e x a '=-+-的最小值为0011x a x ++-， ①当00110x a x ++-…，即0011a x x ??-+ ???

…时，()f x 为[)0,x +∞的增函数， 所以()020min 0000001()ln x f x f x e x x x a x x a x ==-+=

++，

第 18 页 共 21 页 2000000

011111x x x x x x x ????++-+=+-?? ?????…， 由（1）中0112x <<，得00111x x ??+-> ???

，即()1f x >． 故0011a x x ??-+ ???

…满足题意． ②当00110x a x ++-<，即0011a x x ??<-+ ???

时，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ， 且102x x x <<，即()22222ln 10ln 1x x f x e x a a x e '=-+-=?=-+，

若()02,x x x ∈时()2()0f x f x ''<=，()f x 为减函数，（）

若()2,x x ∈+∞时()2()0f x f x ''>=，()f x 为增函数，

所以()f x 的最小值为()2f x ．

注意到(1)1f e a =+=时，1a e =-，且此时(1)10f e a '=+-=，

（ⅰ）当1a e ≥-时，()2(1)10f e a f x ''=+-=…

， 所以201x

又()()

()22222222222222ln ln ln 11x x x x f x e x x ax e x x x e x x e x =-+=-+-+=-+ ()()22111x x e =--+，

而210x e ->，所以()()

221111x x e --+>，即()21f x >． 由于在0112x <<下，恒有001x e x ??+< ???，所以00111e x x ??-<-+ ???

． （ⅱ）当1a e <-时，()2(1)10f e a f x ''=+-<=，

所以201x x >>，

所以由（）知()21,x x ∈时，()f x 为减函数，

所以()(1)1f x f e a<=+<，不满足0x x …

时，()1f x …恒成立，故舍去． 故00111e a x x ??-<-+ ???

?满足条件． 综上所述：a 的取值范围是[1,)e -+∞．

第 19 页 共 21 页 点评：

本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.

22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin .

x y θθ=??=?以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上，点B 在曲线

36:(0)C π

θρ=->上，且AOB V 为正三角形．

（1）求点A ，B 的极坐标；

（2）若点P 为曲线1C 上的动点，M 为线段AP 的中点，求||BM 的最大值． 答案：（1）A 2,6π?

? ???，B 2,6π?

?- ???； （2

）12

+. （1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；

（2）设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P

的直角坐标为(21)x y --．将此代入曲线1C 的方程，可得点M

在以12Q ????为圆心，12为半径的圆上，所以||BM 的最大值为1||2BQ +

，即得解. 解：

（1）因为点B 在曲线36:(0)C πθρ=-

>上，AOB V 为正三角形， 所以点A 在曲线(0)6π

θρ=>上．

又因为点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上，

所以点A 的极坐标是2,6π?

? ???

， 从而，点B 的极坐标是2,6π?

?- ???

． （2）由（1）可知，点A

的直角坐标为，B

的直角坐标为1)-

设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P

的直角坐标为(21)x y --．

第 20 页 共 21 页 将此代入曲线1C

的方程，有1cos ,211sin ,22x y θθ?=????=+??

即点M

在以12Q ????为圆心，12为半径的圆上．

||BQ == 所以||BM

的最大值为11||22BQ +

= 点评：

本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

23．已知函数()|21|f x x =+．

（1）解不等式：()(2)6f x f x +-?；

（2）求证：()222(1)232f x a f x x a x a a +--++++-?．

答案：（1）{|12}x x -剟

； （2）见解析. （1）代入得()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，分类讨论，解不等式即可； （2）利用绝对值不等式得性质，()22(1)22f x a f x a +--+?，

222232323x a x a a a a ++++--+…，比较22323,22a a a -++大小即可. 解：

（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，

于是原不等式化为|21||23|6x x ++-?， 若21x <-

，则21(23)6x x ----?，解得112

x -<-?； 若1322x -剟，则21(23)6x x --+-?，解得1322

x -剟； 若32x >，则21(23)6x x ++-?，解得322x

． （2）由已知条件，

对于x ?∈R ，可得

第 21 页 共 21 页 ()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+?． 又()22222232232323x a x a a a a a a a ++++-+--=-+…， 由于2

2183233033a a a ??-+=-+> ???， 所以222232323x a x a a a a ++++--+…

． 又由于()22223232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-…

， 于是2232322a a a -++…．

所以()222(1)232f x a

f x x a x a a +--++++-?．

点评：

本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j61e.html