大学本科物理论文！带电粒子在电磁场中的运动分析

论文题目:带电粒子在电磁场中的运动

专业:物理学

本科生:边鲜叶 签名

指导教师:贾祥富 签名

摘要： 从带电粒子在电磁场中的运动的经典哈密顿量出发推导出了带电粒子

在恒定电磁场中的薛定谔方程，并讨论了带电粒子在恒定均匀磁场中的运动，以及在恒定电磁场中的原子能级和光谱的变化 关键词：带电粒子；电磁场；能级；光谱

Title: A Study of Charged Particles in Electric and Magnetic Field Major:Physics

Name:Bian Xianye Signature Supervisor:Jia Xiangfu Signature

Abstract starting from the classicle Hamilton whose charged

??dinger particles moved in the electric and magnetic field,infer theshroequation which charged particles in the electric and magnetic

field.Analyzed the charged particles’motion in the constant megnetic field,as well as the changes of the energy level and spectrum in the constant electric ang magnetic field.

Key words: charged particles electric and magnetic field energy level spectrum

目录

引言

一、 粒子在电磁场中的运动方程 1、 无自旋粒子运动的哈密顿算符 2、几率流密度

3、规范变换及规范不变性 4、朗道能级

5、带电粒子在电磁场中运动计入自旋和相对论性修正后的哈密顿算 二、原子在恒定均匀磁场中的运动 １、体系的哈密顿算符

２、强磁场情况：正常的塞曼效应 ３、弱磁场情况：反常塞曼效应

４、氢原子及类氢离子在外恒定均匀强磁场中运动方程的柱面 三、电场中的原子

1、氢原子及类氢离子在外恒定均匀电场中能级的线性斯塔克分裂。

2、氢原子在外恒定均匀强电场中运动方程的抛物线坐标式 3、振荡电场中的原子 结论

引言

带电粒子在均匀电磁场中的运动时一个重要的研究课题，其应用也十分广泛，

对科学技术的许多领域有非常重大的意义，例如，大气磁场对环境影响的研究、对等离子体性质的研究、电子器件如磁控管示波器、质谱仪、电子显像管的研究和制造都有极其重要的意义.而以前的大多数文献中，对带电粒子在电磁场中的运动都是从洛伦兹力出发对其特殊情况进行分析的，并没有分析带电粒子在电磁场运动的薛定谔方程，更没有研究其能级和光谱的变化。本文从带电粒子在电磁场运动的经典哈密顿量出发推出其薛定谔方程，具体讨论了氢原子及类氢原子在电场及磁场中的运动方程的柱面坐标系式和其在外恒定均匀强磁场中的运动方程的抛物线坐标式。

一、 粒子在电磁场中的运动方程 1、 无自旋粒子运动的哈密顿算符

假设质量为，带电量为q的粒子在电磁场中运动，其哈密顿量为

??222???2????qA?q??p?q??qp??A?qA ??1pH2?2??2??????利用电磁场的横波条件?A?0，即有A,p?0

????222????????qA ??A?A?p??p?q??qA?p??0, 进而有 ?所以有 p2??2??22????q?qA?r,t????i?? 所以 ??????2?q??r又 p ? ?1? ,t??A???2?i?2?2????i?? 是粒子的动能项 式中 p?q??r,t? 是粒子的静电势能函数项

q???A?? 表粒子“轨道”运动与外磁场的耦合作用项 i??2?qA?r,t?是逆磁项 2?2综上，带电粒子在电磁场中运动的薛定谔方程可写为：

?2?1?????? i???r,t???p?qA?q????r,t? ??2?

?t?2????2、几率流密度

???p? 对应上面的薛定谔方程，可将粒子的速度算符由 v? 对应改为

????v???p?qA? 所以几率密度

?j 即可表示为

???????p?qA??i???*??????*??qA?*? …?3? j?Re??*?r,t???r,t?????2???????而粒子在势场 q??r,t? 中运动时，其几率密度表达式为

?i???*??????*? …?4? j??2?两式比较显然?3? 式多出一项 ?引起的，由及其重要的作用。

?qA??2?? ，而这项则是由电磁场矢势 A?r,t?

3、规范变换及规范不变性

???? 电磁场的矢势A?r,t? 和标势 ??r,t? 都是实函数，它们与电场强度E 和磁感应

?强度B 之间的关系是

??????Er,t??????r,t??A?r,t? ?t????B?r,t????A?r,t??5?...?6?...

电磁场具有规范不变性，即当 作下列规范变换时 ????A?A??A????r,t?...?7? ????...8?????????r,t??t?（式中??r,t? 是任一标量实函数）

??电场强度E 和磁场强度B 都不变， 这称为电磁场具有规范不变性。

???所以，可以选不同的失势A?r,t? 和不同的标势??r,t? 来描述同一电磁场，由此可

????知，电场强度E 是表征一个电磁场的物理量，而失势A?r,t? 和标势??r,t? 只描???述电磁场的数学量，但当同一电磁场选的失势A?r,t?和标势??r,t?不同时，由（1）

? 表示式不同，进而可知（2）也可能不同，若对体式可看出体系的哈密顿算符??系的波函数 ??r,t?作幺正变换，即为

q??r,t???????r,t?????r,t??e??r,t? ?（9）

i?则体系的薛定谔方程（2）在（7）、（8）、（9）式的变换后形式也不变，即为

?2???????p?qA?i????r,t????q?????r,t? ?（10） ?t2??????这表明???r,t? 也是带电粒子在同一电场中运动状态的波函数，但是，若失势

??????A?0 变换为A?0 ，则由（7）式可得A????r,t? ，即可知式（9）的位相因

???i?子e?exp?q?A?r,t??dl? ?（11）

?????对于闭合回路C，（11）式中的?A?dl???B?ds 是磁通量，式是 的一个规范不

i?q??r,t??cs变量，因为 恒为0

4、朗道能级

?1?? 讨论带电粒子在恒定均匀磁场中运动，设磁场方向沿Z轴，失势取为A?B?r

2??1?1?则B??0,0,B?, A???By,Bx,0?

2?2????? 具体可写可见满足??A?B 和??A?0 ，所以该带电粒子的哈密顿算符?221qBq222??Bx2?y2 ???x?p?y?p?z??pLZ2?2?8?????为了方便，以下把带电粒子沿Z轴方向的自由运动分离出去，集中讨论电子在x-y平面中的运动。在x-y平面内，体系的能谱是分立的：

??qBq??En?m??2n?m?m?1 ???q??2?qB1?q?1???,n?n???m?m??0,1,2... ?（13） 即 En??n????0 ，而 ?0???2q2????这即称为朗道能级，其相应的二维运动定态波函数为

?n?m??,???NRn?m???eim? ?（14）

（14）式中的Rn?m???即为二维各向同性谐振子定态的径向函数

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