高一数学必修四P44页例5的错解分析 - 11

高一数学必修四P44页例５的错解分析

高一数学新课程人教A版必修四第４４页例５题目为：求函数解答如下：

分析：我们可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间。

解：令 由

。函数

的单调递增区间是

。 ,

的单调递增区间。课本分析及

得

由

可知，

,

于是由于k所以k=0,即

函数的单调递增区间是.

课本解答貌似有理，令单调区间落在错的。原因分析如下：

设由

，得到的便是上的单调区间。但仔细一想，上述的解答过程却是

解得k＝t，则对应的单调增区间为：，由

（＝，而此函数的周期为2，所以解得的这个单调区间是函数一个周期上的完整单调区间。即由这种方法解得

的单调区间都是上的长为半周期的完整单调区间。若函数在上的单调区间不完整，即长度不为，此时k无

改为

，此时便不存在t,使得

解。但无解并不表明单调区间不存在。（如下图）。如果此题把题目中的

,但上的单调区间存在且为

按照课本的解题思路，当无解时，还应考虑的子集包含于时

是否有解，而

这道题目的正确解答如下： 解：令 由

。函数

的子集有无数个，所以要讨论无数种情况，这是不可能的。

的单调递增区间是。

得

１） 当k＝０时，

，又

,

２） 当k时，,此时不等式组：

无解。

3）当k时， 此时不等式组：

无解

综上，函数的单调递增区间是.

貌似有理的谬误写在教科书上使这种谬误更加可怕。而专家们出现此等低级错误并能通过审查则让人有点意外。如果教材编委已经发现此等错误，我觉得应及时地以各种形式告知使用者并纠正错误。一些IT图书出版后会有相应的网站提供咨询勘误等服务，不知人教版的这套教材会不会相应地在网站上出现勘误表。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j5s7.html