大学高等数学(2)复习资料 - 超经典，剥壳例题哦

第六章 定积分的应用学习指导

一、基本内容 （一）微元法

根据问题的具体情况选取积分变量x及变化区间，再小区间?x,x?dx?。求出

u??f?x?dxa部分量的近似值的积分元素du?f?x?dx，从而求出所求量。 （二）平面图形的面积

1．由平面曲线y?f?x?，直线x?a，x?b和y?0所围图形的面积：

bA??baf?x?dx。

2．由平面曲线y?f1?x?，y?f2?x?和直线x?a，x?b所转图形的面积：

A??baf1?x??f2?x?dx。

3．由极坐标曲线??????， ???、???转的图形的面积：

A????12????d?2。

4．由参数方程x?x?t?，y?y?t?给出的曲线和直线x?a??x????，

x?b??x????，y?0所围图形的面积：

SA??（三）体积

1．由曲线y?f?x?和直线x?a，x?b，y?0所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积：

baydx????y?t?x??t?dt。

Vx????f2?x?dxab。

2．由曲线x?x?y?和直线y?c，y?d，x?0所围图形绕y轴旋转一周所得旋转体积：

Vy???x2?y?dycd。

3．垂直于x轴的平行截面面积为x的函数A?x?的立体的体积：

1

V??A?x?dxab。

（四）平面曲线的弧长

1．直角坐标曲线y?f?x?0?x?b：

L??ba1??f??x??dx2。

2．参数方程曲线x?x?t?，y?y?t?，??t??：

L?????x??t??2??y??x??2dt。

3．极坐标曲线??????，?????：

L????r2???????????d?2。

（五）定积分在物理上的应用

对实际问题先取积分变量，积分区间，求出所求量的微元，利用微元法求解。

二、基本要求

1．掌握利用定积分求解问题的基本方法——微元法。

2．会用定积分计算一些平图形的面积，旋转体的体积和曲线的弧长。 3．能利用定积分解决有关数学和物理上的一些问题。

三、重点和难点

重点：用定积分求解的方法——微元法，计算平面图形的面积，旋转体的体积和曲线的弧长。

难点：用微元法解决有关问题。

四、注意的问题

本章的学习应注意在掌握微元法上下功夫，掌握了微元法，有关公式的掌握和证明就轻而易举了。

五、典型例下题

2例1：计算抛物组y?2x与直线y?x?4所围图形的面积。

2

y y?x?4 B?8,4? 2解：作出图形，求交点坐标：

?y2?2x?解方程组：?y?x?4，

O A?2,?2? y y?2x 得交点坐标A?2,?2?，B?8,?4?。

x?12y2，x?y?4及

此图形可看成由

y??2和y?4围成，选择y为积分变量较为方便（原则系分区间积分）应用公式的所求面积为：

1?1???1A????y?4??y2?dy??y2?4y?y4??18?22?6??2??2。

44x2y2?2?12ab例2：求椭圆所围成的图形面积。

解：椭圆关于两坐标轴均对称，故面积为A?4A1，其中A1为该椭圆在第一象限部分与坐标辆所围图形的面积。

利用参数方程x?acost，y?bsint，在第一象限为：

0?t??2，于是所求面积

A?4A1??ydx?4??bsint??asint?dt02a0

??220

?4ab?2sintdt?4ab?01?1?co2st?dt2

?1?1?2?4ab?t?sin2t???ab4?2?0

2当a?b时，得圆的面积?a。

y A?1,1? O 2y?2?x 例3：求曲线及直线y?x，

x?0(x?01)所围图形绕x轴、y轴旋转一周所

x 得旋转体的体积。

解：作出图形，求解交点：

3

?y?2?x2?解方程组：?y?x

得交点坐标A?1,1?。

从而可求的绕x辆和绕y轴旋转所得的旋转体体系Vx和Vy

Vx???2?x2dx???x2dx???4?5x2?x2dy0001??211??

51?38????4x?x3?x5???35?015 ?

1Vy???ydy????2?y?dy201212

111?115???y3???2y?y2???????02?1326。 ? 3注：求体积进常需进行适当的公解或组合。

?x?a?t?sint??例4：求摆线?y?a?1?cost??0?t?2???a?0?的弧长。

2222????????????????xt?yt?a1?cost?asint解：∵

?a2?2?2cost??2a2?2sin2tt?4a2sin222

于是所求弧长

L??2?0?x??t??2??y??t??2dt??02?t2asindt2

?R t??4acos?8a20

2?例5：一平面经过半径为R的圆柱体的

O ? C y 底圆中心，并与底面成?角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。

解：建立坐标如图

A ? B R x ?x???R,R?上过x轴上坐标为x的点且与x轴垂直的平面截立体得截面?ABC。

易知面积

4

S?x??111AB?BC?y?ytg??tg?R2?x2222

??从而所求体积：

111??V??tg?R2?x2dx?tg??R2x?x3??R223??R ?R??R

?23Rtg?3。

例6：一倒圆锥形容器，高为h，底半径R，容器内盛满水，试问要把桶内的水全部吸出需作功多少？

解：作轴截面图如图，取积分变量x积分区间为?0,h?。

?x??0,h?，取小区间?x,x?dx?相应于此小区间这一薄层水的高度为dx水的比重为9.8kN/m，因此x的单位为米。这薄层水的重量为

39.8?R?R?y?x??2??9.8?x2dx?9.8??dx?h?xdx2?hh??（这里r是三角形的所此求

22 O r x r dx 的）。

故这薄层水吸容器外需作为微功为：

9.8?R29.8?R222????dW?xh?xdx?xh?xdx22hh

h 于是所求的功为：

W??h0x 9.8?R2223dW??hx?2hx?xdx20h

h??9.8?R2?h249?R2h2?1222314??hx?hx?x??34?060?2(

hKJ)

第七章 空间解析几何与向量代数

在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。也为学习多元微积分做准备。

重点：曲面方程，曲线方程

5

难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。

（一）

1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点O，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。当e1，e2，e3的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。

2．空间向量可以从两个途径来认识：

①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方

?a便，常在字母上面加一个箭头表示，例：AB，等。

②可由向量的坐标来把握向量。必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一

?a般情况下，设??x,y,z?的始点的坐标分别为?x1,x2,x3?，?y1,y2,y3?，则

?a??x2?x1,y2?y1,z2?z1?，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系：

x?x2?x1，y?y2?y1，z?z2?z1。因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。

当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。

3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。

4．一个平面具有各种形式的方程，如点法式，三点式，截距式，一般式。在学习平面的各种形式的方程时，对方程中常数的几何意义应引起充分的注意。如：平面方程Ax?By?Cz?D?0，则?A,B,C?为平面的一个法向量，建立平面

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的方程时应根据条件灵活处理。点法式方程是应用较方便，常用的方程类型，这是因为在讨论平面问题时，平面的法向量常常起着关键性的作用。

5．确定空间一条直线的方法很多，在《高等数学》中把它归结为由直线上的一个定点和与直线平行的一个非零向量来确定，或将它看成两个平面的交线。空间直线的标准式方程与参数式方程，二维空间中的直线均有对应的形式，但要注意，只有空间直线可看成两个平面的交线。

6．在《高等数学》中，常用的曲面方程为：

x2y2z2???1a2b2c2，当a?b或b?c或c?a时为旋转椭球面，当a?b?c时，为球面方程。 双曲面方程 椭球面方程 x2y2z2?1,单叶双曲面?2?2??2abc??1, 双叶双曲面 x2y2z2???0,abc?0abc 锥面方程 抛物面方程 ?x2y2,椭圆抛物面??q?p2z??22?x?y,双曲抛物面?q?p，其中pq?0 F?y,z??0，母线平行于x轴的柱面方程 柱面方程 F?x,z??0，母线平行于y轴的柱面方程 ?绕z轴旋转所得旋转面方程:f?x2?y2,z?0???fy,z?0???22?绕y轴旋转所得旋转面方程:fy,?x?z?0 x?0??母线 （二）

旋转面方程 ????1．向量在轴上的投影是个常用的概念，要注意向量在轴上的投影是一个数量而不是一个向量，也不是一个线段。

设向量AB，其中投影轴为l，点A，B在轴上的投影分别为A?，B?，若取

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????AB?xe,称x为AB在轴l上的投影。因此向e与轴同方向的单位向量为，则有

量AB在轴上的投影不是有向线段A?B?，而是一个数值，记为PrjlAB，易知

PrjlAB?|AB|cos?，其中?为AB与轴l的夹角。

2．向量在坐标轴上的投影称为向量的坐标。 3．向量的数量积，向量积一览表：

??a?b ^?????a?b?|a||b|cos?ab???? ^?0??a?b????? ??a?b ^???a?b?|a||b|sin?a?b?n0??，其中n0定义 ??是同时垂直于a，b的单位向量，且坐标表示 ??a??ax,ay,az?，b?bx,by,bz ??a?b?axbx?ayby?azbz ???a，b，n0按右手系排列 ??a??ax,ay,az?，b??bx,by,bz? ?i??a?b?axbx?jayby?kazbz 特征性质 ????a?b?a?b?0 即axbx?ayby?azbz?0 点M1?x1,y1,z1?到平面?的距离为?????a//b?a?b?0 axayaz??bybz 即bx点M1?x1,y1,z1?到直线l的距离为d?|n0?M0M1|，(*1)，其中n0为平几何应用 面?的单位法向量，M0是?上的任一点，当d?0时，(*1)式给出动点M1所满足的平面的方程。 d?|l0?M0M1|，(*2)，其中l0为直线l上的单位向量，M0是直线l上的任一点。当d?0时，(*2)式给出动点M1所满足的直线的方程。 4．要熟练掌握平面，直线的各种形式的方程互化，关键在于明确在各种形式的方程中，各个量（常量、变量）的几何意义以及它们之间的关系，在此基础上，互化是容易做到的。如建立平面的三点式方程时，若硬记公式则不容易记牢

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的，但从三个向量共面的角度去思考就能牢牢地记住。

5．要深刻理解空间直角坐标系下平面的方程是一个关于x，y，z的一次方程。反之，任何一个关于x，y，z的一次方程都表示一个平面。

6．平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系均是通过平面的法向量间，直线的方向向量间，或平面法向量与直线的方向向量间的位置关系来讨论，因此可归结为向量问题来解决。如：两个平面间的夹角问题通过它们的法向量的夹角来解决。

7．常用的曲面方程见（A）中6，要真正掌握这些曲面的形状、特征，可以用“平行平面截割法”，也就是用一族平行平面（一般平行于坐标面）来截割曲面，研究所截得的一族曲线是怎样变化的，从这一族截线的变化情况即可推想出所表示的曲面的整体形状，这是认识曲面的重要方法，它的基本思想是把复杂的空间图形归结为比较容易认识的平面曲线。

8．空间曲线一般由两个曲面相交而得，这样的曲面有无穷多个，若曲线的形状不易把握时，可先将两个曲面方程通过消去未知数的方法得两个过曲线的射影柱面的方程，而射影柱面的形状是较容易把握的。

9．空间曲面和曲线除了利用图形上的点的坐标所满足的关系建立方程外，还常用参数方程来表示。参数方程的特征是方程中既有表示坐标的变量，也有坐标以外的其他变量（称参数），且坐标变量x，y，z分别可以表示成参数的函数。

10．曲线（直线）的参数方程均含一个参数，曲面（平面）的参数方程含两个参数。简单的参数方程消去参数后可化得普通方程，但并不是所有的参数方程都能化成普通方程的。

（三）

??????1．三个向量相乘有混合积a?b?c和双重向量积a?b?c，其中双重向量

????积的讨论可见《空间解析几何》这类专业教材，对于混合积在高等数学中应用较

??????多，它具有一个十分重要的几何意义，即当a，b，c不共面时，a,b,c的绝对

???值等于a，b，c为棱的平行六面体的体积。因此利用混合积可以解决求一类体

??积的问题。

2．三个以上的向量相乘的问题总可转化为三个向量相乘，因此可归结为三个向量相乘来讨论。

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3．混合积的坐标表示与特征性质

?????a?a,a,ac??cx,cy,cz?，则 b?b,b,bxyz，xyz，设

???ax??????a,b,c?a?b?c?bxcx???aybycyazbz??????cz，a,b,c?0?a，b，c共面。

??4．在学习曲面与空间曲线时，应注意两点：

① 空间曲面方程的定义与平面曲线方程的定义相类似，通常将曲面看成具有某种特征性质的空间点的轨迹，用方程F?x,y,z??0来表示，从集合的观点来看，曲面就是所有满足方程F?x,y,z??0的点?x,y,z?的集合。

② 要充分理解空间曲线一般方程的定义。 这里强调用通过空间曲线l的任意两个曲面的方程来表示，即用通过空间曲线l的两个曲面方程联立起来表示空间曲线。若由方程F1?x,y,z??0和F2?x,y,z??0表示的两个曲面，除去曲线l：

?F1?x,y,z??0??F2?x,y,z??0上的点是它们的公共点外，再也没有别的公共点，则用

?F1?x,y,z??0??F2?x,y,z??0表示它们交线的方程。但要注意，联立任意的两个曲面方程，它

222??x?y?z?1?222?x?y?z?2，从代数上看这是一个矛盾?们可能不表示任何空间曲线，例如

方程组，不存在解；从几何上看，这是两个同心的球面，它们没有任何的公共点。

第八章 多元函数微分法及其应用学习指导

一、知识脉络

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二元函数

?1.??2.???3.??4.??5.?????6.????概念?二重极限极限??二次极限连续偏导数全微分?1?.几何应用??2?.方向导数?偏导数的应用?3?.泰勒展开式?无条件极值?4?.极值????条件极值 ?二、重点和难点

1．重点：求极限、求偏导数、求全微分、求极值。

2．难点：极限存在、连续、偏导数存在、可微之间的关系，复合函数求偏导数。

三、问题与分析

1．

x?x0y?y0limf?x,y?与

P沿某直线超于P0limf?x,y?仅当前者存在时，才相等。

2．二重极限、连续、偏导数存在、可微间的关系

极限 偏导数存在

连续

可微

3．多元函数中极限、连续、

偏导数的运算法则、一阶微分形式的不变性、初等函数的连续性、最值定理、介值定理均与一元函数中相应内容和结论对应。

4．二重极限与二次极限是本质不同的两个概念。

(1) 当动点P?x,y?沿任意路径趋于?x0,y0?时，若f?x,y?都以同一数值为其极限，则这样得到的极限为二重极限；当x，y先后相继地趋于x0，y0时的极限为二次极限。

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(2) 两个二次极限存在且相等，不能得出二重极限存在。

f?x,y??xyx2?y2例如：，容易验证两个二次极限

limf?x,y?x?0limlimf?x,y??limlimf?x,y??0x?0y?0y?0x?0，但是y?0不存在。

(3) 二重极限存在，不能得出二次极限存在。

11f?x,y???x?y?sinsinxy，因为f?x,y?在不含有两个坐标轴的平面例如：

点集上有定义，当P?x,y???0,0?时，有x?y?0。由于有界变量与无穷小量的

?11?limf?x,y??lim??x?y?sinsin??0x?0x?0xy?y?0?乘积仍是无穷小量，可得y?0，对任意给定的

1111lixmsinsin?0limysinsiny?0，由于x?0xyxy不存在，所以，而x?011lim?x?y?sinsinlimlimf?x,y?x?0xy不存在。因此先对x后对y的二次极限y?0x?0不存在。

limlimf?x,y?同理x?0y?0也不存在。

5．学习二次极限应注意以下三个问题：

(1) 两个二次极限分别存在时不能保证它们一定相等，因此不能任意地交换求极限的先后顺序。

x2?y2f?x,y??2limlimf?x,y???1limlimf?x,y??1x?y2，则y?0x?0例：，x?0y?0。 (2) 二次极限中一个存在，另一个可以不存在。

xsin1?yxx?y，容易验证

例：

f?x,y??limlimf?x,y??1y?0x?0，而x?0y?0limlimf?x,y?不存在。

(3) 两个二次极限都可以不存在。

11f?x,y???x?y?sinsinxy。容易验证 例：

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limlimf?x,y?y?0x?0limlimf?x,y?与x?0y?0都不存在。

6．学习多元复合函数的求导应注意的问题：

求多元复合函数的导数，关键是搞清各个变量之间的复合关系，常用一种“树形图”的图形直观地给出因变量、中间变量及自变量的关系，帮助我们记忆公式，以便进行正确运算。

例如：z?f?x,y?，u?u?x,y?，v?v?x,y?

u z

v y x

画出“树形图”

?z?z?u?z?v??则?x?u?x?v?x

?z?z?u?z?v?? ?y?u?y?v?y

7．学习方向导数应注意的问题

?f(1) ?l是单侧极限。因为????x?2???y?2???0??0，所以实际上是。

?f?f?f(2) ?x是双侧极限。?x?0时，?x可正、可负，因此??0时，?l与?x不一定相等，

????f?f2时，?l与?x也不一定相等。

??f?f?gradf?x,y???,???x?y?是一个向量，当l的方向与梯度方向相同时，(3) 梯度

?f方向导数?l达到最大值|gradf?x,y?|。

8．最小二乘法在数学建模中有广泛的应用，要注意领会其精神实质。 四、解题示范

lim例1：求

2?xy?4x?0xyy?0

?lim解：原式

x?0y?04??xy?4?xy2?xy?4x?x0y?y0???limx?0y?0?12?xy?4??14

limf?x,y?一般地，用定义证明二重极限不存在有二种途径：

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(1) 找到两条特殊的途径，得出?x,y?沿这两条途径趋于?x0,y0?时，f?x,y?的极限值不等；

(2) 找到一条特殊的途径证明?x,y?沿此途径趋于?x0,y0?时，f?x,y?的极限不存在。

limx2y2y?00x2y2??x?y?2例2：求

x?

解：当动点P?x,y?沿y?x趋于?0,0?时，则

2limx2yx?limx4y??00x2y2??x?y?2x?0x4?1

当动点P?x,y?沿y?2x趋于?0,0?时，则

limx2y2x?lim4x422y??00x2y??x?y?2x?04x4?x?0

故原极限不存在。

例3：求z?ln?1?x2?y2?当x?1，y?2时的全微分。

?z?2x?z2y解：因?x1?x2?y2?，?y1?x2?y2

?z?z2?xx?1y??123，

?y?xy??123

1故

dzxy??12?3dx?23dy。

例4：求u?f?x,xy,xyz?的一阶偏导数，其中f具有一阶连续偏导数。解：将三个中间变量按顺序编为1，2，3号，画出“树形图”

?u 故?x?f1??1?f2??y?f3??yz

?f1??yf2??yzf3?

?u

?y?f2??x?f3??xz

?xf2??xzf3?

x(1)

u=f

xy(2)

xyz(3

14

?u?f3??xy?xyf3? ?z

例5：求函数u?xyz在点?5,1,2?处沿从点?5,1,2?到点?9,4,14?的方向的方向导数。

解：l??9?5,4?1,14?2???4,3,12?

42?32?122?13

cos??4312cos??cos??13，13，13

?u?u?u?u?cos??cos??cos??y?z 因为?l?x

?4312yz?xz?xy131313

?u 所以?l??5,1,2?431298?2??10??5?13131313

u2?v2x?2例6．设，y?uv，取u，v作为新自变量，试变换方程

?2z?2z22??az?022?x?y。

?z?z?x?z?y?z?z?z?z?x?z?y?z?z???u?v????v?u?x?y，?v?x?v?y?v?x?y 解：?u?x?u?y?u??2z?2z?z?2z???2z?2z???u?u?v??v?u?2v?22????x?x?y???y?x?u?y???x?

2??z?2z2?z2?z??u?2uv?v?x?x?y?x2?y2

??2z?2z?z?2z???2z?2z???v??2u????v?2??v??u??u?2?x??x?x?y???y?x?v?y?

22?z?2z2?z2?z???v?2uv?u?x?y?x?x2?y2

?2z?2z22??u?v2?v2故?u????2z?2z????x2??y2????

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?2z?2z?2?a2?a2u2?v2z?02?v即?u

???tx2?2z7．设z?z?x,y?由

z?lnz??yddt?0确定，求?x?y。

z?lnz??xe?t2解：由

ydt?0两边对x求导：

?z ?x?1?zz?x?e?x2?0

?zze?x2 从而?x?z?1 (1)

原式两边对y求导

?z ?y?1?z2z?y?e?y?0

?z2 从而?y??ze?yz?1 (2) (1)式两边对y求导

?z?2z?e?x2?z?1??ze?x2?z?x?y?y?y?z?1?2

?e?x2?z

?z?1?2?y

将(2)代入得：

?2zze??x2?y2??x?y???1?z?3

第九章 重积分学习指导

一、知识脉络

16

?1.重积分的定义?重积分?1?在直角坐标系中计算二???2.二重积分的计算积分?2?在极坐标系中计算二重??3?利用一般变换计算二重积分???重积分?1?在直角坐标系中计算三???3.三重积分的计算三重积分??2?通过柱面坐标变换计算??3?通过球面坐标变换计算三重积分????1?求曲面积分重????2?求非均匀物体质量??4.重积分的应用?3?求非均匀物体的重心积??4?求非均匀物体的转动惯?量???引力?5?求非均匀物体对质点的?分 ?

二、、重点和难点

1．重点：求二重积分、求三重积分

2．难点：将二重积分化为二次积分，将三重积分化为三次积分 三、问题与分析

1．重积分中有4个关键步骤：①任意分割积分区域；②在分割后的小区域中任意取点；③求和；④求极限；

2．计算重积分的关键是化为累次积分，根据具体题目，要能正确选择坐标系以及要正确考虑积分的先后次序；

????fx,y?03．二重积分的几何意义：①当时，Df?x,y?d?表示以曲面

z?f?x,y?为顶，以D为底的曲顶柱体体积；②当f?x,y??1时，??D积；

d??D的面

4．二重积分的物理意义：当f?x,y?表示平面薄片D的面密度时，

??f?x,y?d?D表示D的质量；

5．三重积分的物理意义：当f?x,y,z?表示空间立体?的体密度时，

???f?x,y,z?dv表示?的质量。

?四、计算二重积分时，应注意的问题

17

221．选系：当积分区域是圆域或圆域的一部分，被积分函数含有x?y或两

xy个积分变量之比x，y时，一般可选用极坐标系来计算；

2．选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，先对哪个变量积分较好； 3．积分区域的对称性与被积函数的奇偶性的正确配合，例如当积分区域关于x轴对称时，应配合被积函数关于y的奇偶性；

4．特例：当被积分函数的变量可分离，并且积分区域为两邻边分别与两坐标轴平行的矩形时，则二重积分可化为两个定积分的乘积。 五、解题示范

例1： 改变二次积分?02dy?2yy2f?x,y?dx的积分次序。

?0?x?4??0?y?2?x?2?y?x?y?x?2y解：积分区域D：?改写为D：?2

故

?20dy?2yy2f?x,y?dx??dx?xf?x,y?dy024x。

例2：计算区域。

I???Dsinydxdy2y，其中D是由直线y?x及抛物线x?y所围成的

?0?y?1?2解：积分区域D为：?y?x?y，于是

1siny11siny2I??dy?2dx??y?ydy??sinydy??ysinydy?1?sin10y000yy

1y???0?x?1?y注意：如果先对后对x积分，此时D为?x?y?x，于是

I??dx?01xxsinydyy。

siny由于y的原函数不能用初等函数表示，积分难以进行，故本积分不能按

此次序。

18

例3：计算

I???eD?x2?y2dxdy22x?y?1。 D，其中为

?0?r?1?解：用极坐标，此时D为：?0???2?

于是

I???eD?r2rdrd???2?02?1?d??e?rrdr???1??0?e?

1注：如用直角坐标，则由于步计算。

?xe?dx2不能用初等函数表示，积分就难以进一

例4：计算

????1?x?y?z??dxdydz3z?0，x?y?z?1，其中?为平面x?0，y?0，

所围成的四面体。

?0?x?1??0?y?1?x?0?z?1?x?y解：积分区域?为?，于是

原式

??dx?0111?x0dy?1?x?y0dz?1?x?y?z?3

??dx?01?x0?11?1dx????dy2?82?1?x?y?? ?1?1111??????1?x???dx?0421?x? ?8

?1?5??ln2??2?8?。

2?x2?y2及z?x2?y2所围成的区

zdv???例5：求，其中?是由曲面z??域。

?0???2???0?r?1?22r?z?2?r??解：积分区域为，于是 原式

??2?0d??rdr?012?r2r2zdz

19

?2???1r2?r2?r4dr02

1??7?12

2zdv???例6：求，其中?由不等式x??y2??z?a??a2，x2?y2?z2所确

2定。

?0???2?????0???4??0?r?2acos? 解：直角坐标变换为球面坐标，于是?为?故原式

????rcos??r2sin?drd?d??

??2?0?d??sin?co?sd??402co?s0r3dr

??2??4sin?co?s?014?2aco?s?d?4

7??a4 6。

第十章 曲线积分与曲面积分学习指导

一、内容提要

(一) 对弧长的曲线积分

f?x,y?dx?lim?f??,???s??1．定义：

L?0iii?1ni，其中?si?i?1,2,?,n?表示第i个

小弧段的弧长

??max??si?1?i?n。

2．性质：具有与定积分类似的性质。如线性性质，对积分路径的可加性等。 3．计算：

(1) 若曲线L的界数方程为x?x?t?，y?y?t?(??t??)且x??t?，y??t?在

??,??上连续，f?x,y?在L上连续，则

20

x2n(?1)?cosx?2n!n?0

?n例:求下列幂级数在收敛域内的和函数： （1）n?1?nx?n?1x4n?1??1?x?1（）；（2）n?14n?1（?1?x?1）

?x??解：（1）因为

0?nxdxn?1n?1=n?1???x0nxdxn?1=n?1?x?x?xn?nn?0??x1?x，

?x1??n?1???nx?21?x(1?x)??n?1所以=（?1?x?1）

???????x4n?1??x4n?1?x44n???4n?1??????4n?1????x?1?x4n?1?n?1?? （2）因为?n?1，

xxx411x4n?1dx?(?1??)dx?22??01?x402(1?x)2(1?x)所 以n?14n?1=

?11?x1ln?arctanx?x=41?x2（?1?x?1）

(三)

C1 交错级数是形如n?1??(?1)?n?1un,(un?0)的级数,此类级数敛散性

limun?0的判别可以借助于以下充分条件:如果n??,且un?un?1,则

?(?1)n?1n?1un收敛,且其和S?u1,其余项rn?un?1。

C2 关于任意项级数的敛散性，我们有如下概念：（1）若n?1敛，则称

?u?n收

?un?1?n绝对收敛。（2）若

?un?1?n发散，但

?un?1?n收敛，则称

条件收敛。容易证明n?1绝对收敛必收敛。判断关于任意

项级数的敛散性常借助于A3中所述级数性质（1）～（５）及与已知敛散性的级数（如A4中所列级数）相比较。

n?1?u?n?u?nC3 将函数展开为幂级数是本章的重点，也是本章的难点。首先要了解函数能展开为幂级数的条件是：若函数f(x)在点x0的某领域

31

内具有任意阶导数，则

limRn(x)?0n??f(x)??n?0?f(n)(x0)(x?x0)nn!当且仅当

f(x)??an(x?x0)nn?0?。并且若函数f(x)能展开为幂级数：

，

f(n)(x0)an?n!，则（n?1,2,?）。

1）

?1??xn根据定义直接展开：（2）利用已知展开式的函数（如1?xn?0，?1??(?1)nxn1?xn?0，

xn?1ln(1?x)??(?1)n?1n?0?n，

xne??n?0n!x?，

sinx??(?1)n?0?n?12n?x2n?1nxcosx??(?1)(2n?1)!，2n!）n?0，将代展函数化为已知

展开式的函数；（3）将代展函数求导或积分，化为已知幂级数展

开式的函数，再对展开式逐项积分或逐项微分，即得代展函数的幂级数展开式。

a0???(ancosnx?bnsinnx)2n?1C4 如下形式的函数项级数：，其中系数

(n?1,2,?)

称为傅里叶级数。若f(x)是周期为2?的周期函数,如果它在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数必收敛。将上述满足收敛条件的周期函数展开为傅里叶级数只需求出傅里叶系数，代入级数展开式

??an????1?f(x)cosnxdx（n?0,1,?），

bn?f(x)nis???1?xdxna0???(ancosnx?bnsinnx)2n?1即可。欲将定义在???,??上的函数f(x)展

开为傅里叶级数，须首先对f(x)进行周期延拓。对于周期为2l的

a0?n?n???(ancos?bnsin),2lln?1周期函数，其傅里叶级数展开式为其中

系数

1ln?an??f(x)cosdxl?ll（

n?0,1,?），

1ln?bn??f(x)sindxl?ll(n?1,2,?)。

32

??Lf?x,y?ds??f?x?t?,y?t??x??t??y??t?dt22???。

(2) 若曲线L的方程为y?y?x??a?x?b?且y??t?在?a,b?连续，f?x,y?L上连续，则

?L2f?x,y?ds??f?x,y?x??1?y??x?dxab??。

(3) 若曲线L的极坐标方程为??????(?????)，且?????在??,??上连续，

f?x?在L上连续，则

?f?x,y?ds???f??cos?,?sin??L??2????????d?。

(4) 若空间曲线L的方程为x??t?，y??t?，z??t?在??,??上连续f?x,y,z?在L上连续，则

?L222f?x,y,z?ds??f?x?t?,y?t?,z?t???x??t????y??t????z??t??dt??。

(二) 对坐标的曲线积分

P?x,y?dx?Q?x,y?dy?lim??P??,???x??1．定义：

L?0iii?1ni?Q??i,?i??yi?其物理意

???义是变务F?P?x,y?i?Q?x,y?j沿有向弧段L所作的功，即

W??L??Fds??P?x,y?dx?Q?x,y?dyL

2．性质：除了与弧长的曲线积分相同的性质外，应注意方向性

?P?x,y?dx?Q?x,y?dy???P?x,y?dx?Q?x,y?dy

L?L3．计算：

(1) 若曲线L的参数方程为x?x?t?，y?y?t?，且曲线L的起点和终点所对应的t的值为?和?，又x??t?，y??t?在??,??或??,??上连续，P?x,y?，Q?x,y?在

L上连续，则

?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy?????P?x?t?,y?t??x??t??Q?x?t?,y?t??y??t??dt

(2) 若曲线L的直角坐标方程为y?y?x?，且曲线L的起点和终点所对应的x的值为a和b，又y??x?在?a,b?或?b,a?上连续，则

21

?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy??a?P?x,y?x???Q?x,y?x??y??x??dxb

(3) 若空间曲线L的参数方程为x?x?t?，y?y?t?，z?z?t?，且曲线L的起点和终点所对应的t的值为?和?，又x??t?，y??t?，z??t?在??,??或??,??上连续，则

?P?x,y?dx?Q?x,y?dy?Rdz????P?x?t?,y?x?,z?t??x??t??Q?x?t?,y?t?,z?t??y??t?

L??Q?x?t?,y?t?,z?t??z??t??dt

(三) 格林公式，曲线积分与路径无关的条件 1．格林公式

设P?x,y?和Q?x,y?及一阶导数在闭区域D上连续，则有

??P?Q?????Px,ydx?Qx,ydy???x??y?dxdy?L???D? 其中分段光滑曲线L是区域D的正向边界。

2．四个等价命题

若P?x,y?，Q?x,y?在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则在D内下列四个命题相互等价：

(1) 曲线积分?L线；

(2) 沿D中任一分段光滑闭曲线L有?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy?0P?x,y?dx?Q?x,y?dy与路径无关，其中L是D中分段光滑曲

。

?P?Q???x,y?x?y。 (3) 对D内的任一点有

(4) 在D内存在一函数U?x,y?使dU?P?x,y?dx?Q?x,y?dy，则有

U?x,y????x,y??x0,y0?P?x,y?dx?Q?x,y?dyL

LP?x,y?dx?Q?x,y?dy???Pcos??Qcos??ds?3．两种曲线积分之间的关系

其中cos?，cos?是L上任一点L方向上的切向量的方向余弦。

(四) 对面积的曲面积分

22

f?x,y,z?dx?lim?f??,???s???1．定义：

??0iii?1ni，其中?si(i?1,2,?,n)是曲面块

?上的第i个块的面积

??max??si?1?i?n。

物理意义是密度f?x,y,z?的曲面块S的质量

M???f?x,y,z?ds?当

f?x,y,z??1时为面积。

2．计算

若曲面?可用单值函数z?z?x,y?表示设Dxy为在xoy平面上的投影区域，则

??f?x,y,z?ds???f?x,y,z?x,y???Dxy221?zx?zydxdy

若曲面?的方程为单值函数x?x?y,z?若y?y?x,z?，设Dyz和Dxz为?在yoz平面和xoz平面上的投影，则曲面积分可类似地化成重积分：

???f?x,y,z?ds?Dyz??22f?x?y,z?,y,z?1?xy?xzdydz

22f?x,y?x,z?,z?1?yx?yzdxdz或

??Df?x,y,z?ds?Dxz??

(五) 对坐标的曲面积分

P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dxdz?R?x,y,z?dxdy??1．定义：

??lim?P??i,?i,?i???si?yz?Q??i,?i,?i???si?xz?R??i,?i,?i???si?xy??0i?1n

其中

??si?xy表示?的第i子块?si在xoy平面上的投影，??si?yz，??si?xz含义类似

。

??max??si的直径?1?i?n义：设流体密度为1，流速为

????v?x,y,z??P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z?k，则单位时间内流进有向曲面?指定一侧的流量为

物理意

????P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dxdz?R?x,y,z?dxdy? 2．计算

23

若曲面?的方程为z?z?x,y?，则

??P?x,y,z?dydz????R?x,y,z?x,y??dxdy?Dxy(当

?为曲面的上、下侧时分别取正、负号)

类

似

地

，

若

曲

面

?的方程为

x?x?y,z?则

??P?x,y,z?dydz????P?x?y,z?,y,z?dydz?Dyz(当?为曲面的前、后侧时分别取正、负号)

?DxzQ?x,y,z?dxdz????Q?x,y?x,z?,z?dxdz??若曲面?的方程为y?y?x,z?则(当?为

曲面的右、左侧时分别取正、负号)

3．两类曲面积分的关系

??Pdydz?Qdxdz?Rdxdy????Pcos??Qcos??Rcos??ds

??其中cos?，cos?，cos?是有向曲面?上点?x,y,z?处的法向量的方向余弦。

(六) 高斯公式

设空间闭区域?由分片光滑的闭曲面?所围成，函数P?x,y,z?、Q?x,y,z?、

R?x,y,z?在?上是有一阶连续偏导数，则

??P?Q?R??Pdydz?Qdxdz?Rdxdy????????x?dy??z??dxdudz???? 其中?中?的整个边界的外侧。

(七) 斯托克斯公式

设?为分段光滑的有向空间闭曲线，?为以?为边界的分片光滑的有向曲面，?的正向与?的侧符合右手法则，函数P?x,y?、Q?x,y,z?、R?x,y,z?在包含曲面?在内的一个空间区域内是有一阶连续偏导数，则有

??R?Q???P?R???Q?P???????dydz??dzdx?????y?z???z?y???x??y??dxdy???????

??Pdx?Qdy?Rdz?

(八) 通量与散度、环量与流量

???设向量场??x,y,z??P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z?k通量(或流量)

?????????nds??n，其中??cos?,cos?,cos??为?上点?x,y,z?处的单位法向量。

24

??P?Q?Rdiv?????x?y?z 散度：

对坐标的曲面积分与?的形状无关的充要条件是散度为零。 ??ijk????rot???x?y?zPQR 旋度：

Pdx?Qdy?Rdz????环流量：向量场沿有向闭线?的环流量为

二、基本要求

(一) 理解曲线、曲面积分的定义，掌握曲线、曲面积分的计算方法； (二) 掌握第二类曲线、曲面积分与路径、形状无关的条件及其判断方法； (三) 了解通量与环流量与旋度的概念，并掌握它们的计算方法； (四) 掌握各类曲线、曲面积分之间的关系；

(五) 掌握曲线、曲面的积分的有关应用(求面积、求曲线段和曲面块的重心坐标等)；

(六) 掌握高斯公式和斯托克斯公式及其应用。 三、注意的几点

(一) 第一类曲线积分的计算应掌握弧长微分的基本公式ds??dx?2??dy?2所有形式的计算公式均可由此推出，第一类曲面积分也有类的公式。

(二) 第二类曲线积分与积分曲线的方向有关

?LPdx?Qdy????Pdx?QdyL

第二类曲面积分与曲面空间有关

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????Pdydz?Qdzdx?rdxdy

???(三) 第一类曲面积分的计算时，应注意“一投、二代、三换”以及利用积分区域的对线性和被积函数的第二类曲面积分的计算应注意“一投、二代、三定号”。

(四) 利用第二类曲线积分求平面图形面积是格林公式的一个简单应用可利下面各式计算

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