清华大学版理论力学课后习题答案大全 - - - - - 第12章虚位移原理及其应用习题解

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第12章虚位移原理及其应用

12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F1与F2的大小关系。

解：应用解析法，如图（a），设OD = l： O F1 D O F1 A ??x yA?2lsin?；yB?6lsin?

δyA?2lcos?δ?；δyB?6lcos?δ?

应用虚位移原理：F2?δyB?F1?δyA?0

B F2 习题12-1图

y F2 6F2?2F1?0；F1?3F2

= EC = DE = FC = DF = l。

（a）

12－2图示的平面机构中，D点作用一水平力F1，求保持机构平衡时主动力F2之值。已知：AC = BC

y F2 E A 解：应用解析法，如图所示：

yA?lcos?；xD?3lsin? δyA??lsin?δ?；δxD?3lcos?δ?

应用虚位移原理：?F2?δyA?F1?δxD?0

O C D F1 x B G 习题12-2解图

F2sin??3F1cos??0；F2?3F1cot?

12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。求竖向力F1与F2的大小关系。

习题12－3

（a）

（b）

θ β θ β ?r1 F1 F2 F1 ?r1 F2 ?r2 ?ra ?r2 ?ra

解：如图（a），应用虚位移原理：F1?δr1?F2?δr2?0 如图（b）：

δr1δr2?δra?ant?ant?；δr2?tan?δr1 tan?F1?δr1?F2?

tan?tan?δr1?0；F1?F2? tan?tan?12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO1 = OA。机构上受到力偶矩M1和M2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M1和M2之间的关系。

— 1 —

解：应用虚位移原理：M1?δ?1?M2?δ?2?0 （1）

M2 M1 ??1 O O1 ??2 如图所示，δracos??δre

其中：δra?OA?δ?1`；δre?2cos??OA?δ?2 所以：δ?1?2δ?2，代入式（1）得：M2?2M1

A θ ?rr ?re ?ra 习题12－4解图

12－5 等长的AB、BC、CD三直杆在B、C铰接并用铰支座A、D固定，如图所示。设在三杆上各有一力偶作用，其力偶矩的大小分别为M1 、M2和M3。求在图示位置平衡时三个力偶矩之间的关系（各杆重不计）。

??2 B M1 M2 C ?rCB ?rB ?rC

解：应用虚位移原理：

M1?δ?1?M2?δ?2?M3?δ?3?0 （1）

如图所示，δrCsin60??δrB；δrCcos60??δrCB

M3 ??1 ??3 D 60? A 习题12－5解图

设三杆长均为l，则有：δrB?lδ?1`；δrC?lδ?3；δrCB?lδ?2

所以：

13δ?3?δ?1，δ?3?δ?2代入式（1）得：

2231M1?M2?M3?0；3M1?M2?2M3?0 2212－6 图示三根均质杆相铰接，AC = b，CD = BD = 2b，AB = 3b，AB水平，各杆重力与其长度成正比。求平衡时θ、β与γ间的关系。

解：应用解析法，如图所示：

A yE?bbsin?； δyE?cos?δ?

22θ E mgC y γ F 2mg B β G 2mg D x yF?bsin??bsin?；δyF?bcos?δ??bcos?δ? yG?bsin?； δyG?bcos?δ?

应用虚位移原理：mg?δyE?2mgδyF?2mgδyG?0 即：mg?习题12－6解图

bcos?δ??2mg(bcos?δ??bcos?δ?)?2mgbcos?δ??0 （1） 2根据几何关系：bsin??2bsin??2bsin?；3b?bcos??2bcos??2bcos? 对上两式求变分：；bcos?δ??2bcos?δ??2bcos?δ?；δ??cos?cos?δ??δ?

2cos?cos? — 2 —

?bsin?δ??2bsin?δ??2bsin?δ??0；

δ???2sin??cos?tan?1sin??cos?tan?δ?；δ???(cos??cos?)δ?

sin??cos?tan?cos?sin??cos?tan?将上式代入式（1），有：

?5mgsin??cos?tan?tan?cos??sin??2mgcos??2mg?0

tan??tan?tan??tan??5(sin??cos?tan?)?2cos?(tan??tan?)?2(tan?cos??sin?)?0 ?5(tan??tan?)?2(tan??tan?)?2(tan??tan?)?0 4tan??7tan??3tan??0

12－7 计算下列机构在图示位置平衡时主动力之间的关系。构件的自重及各处摩擦忽略不计。

F B ?rD D 60? 60? C ?rC l （a）

F M 2l D B ?rr ?ra M C F

A ?rA ?rC r M φ θ B ?rB θ D （c）

C ?re A 60? 60? l （b） A 习题12－7解图

δrD?0；δrCcos60??δrDcos30? lδrF?3δrD?M?D?0；M?3Fl

lδr图（b）：F?2δre?M?a?0；δracos60??δre

lδrF?δra?M?a?0；M?Fl

lδr图（c）：F?δrC?M?A?0；δrAcos??δrBcos(???)；δrCcos??δrBsin2?

rcot??tan?tan??cot?δrA?δrC；F?δrC?M?δrC?0

22r解：图（a）：F?δrC?M?M?

2rF

tan??cot?— 3 —

12－8 机构如图，已知OA = O1B = l，O1B?OO1，力偶矩M。试求机构在图示位置平衡时，力F的大小。

O 解：应用虚位移原理：F?δrB?M?δ??0 （1）

??M ?? ?re ?ra ?rB B O1 δr如图所示，δrasin??δre；其中：δra?lδ?；δre?Blsin?l所以：lδ?sin??sin?δrB，代入式（1）得：F? ?rr F

习题12-8解图

12－9 机构如图，已知OA = 20cm，O1D = 15cm，O1D // OB，弹簧的弹性系数k = 1000N/cm，已经拉伸变形?s?2cm，M1 = 200N · m。试求系统在θ = 30o、β = 90o位置平衡时的M2。 M2 D ?rA M1 O β ?rC C B ?rB θ F ?rD O1 解：应用虚位移原理：

M1?δrAδr?F?δrB?M2?D?0 （1） OAO1D如图所示，δrA?δrC?δrB

δrCsin??δrDcos?

代入式（1）得：M1?习题12-9解图

δrAtan?δrA?F?δrA?M2??0 OAO1DM2?

O1DM10.15200(?k?s)?(?1000?2)??259.8N?m tan?OAtan30?0.212－10 在图示结构中，已知铅垂作用力F，力偶矩为M的力偶，尺寸l。试求支座B与C处的约束力。

F A l B D l l l C 解：解除B处约束，系统的虚位移如图（a），

应用虚位移原理：

M FB?δrB?F?δrD?M?δ??0 （1）

其中：δrD?2δrB；δ??δrD?2δrB

ll代入式（1）得：

FB?δrB?F?2δrB?M?FB?2F?A 习题12-10图

?rD F ?rB B D l （a）