线性代数习题集

第一部分 专项同步练习

第一章 行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).

(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351

002．

01003.

01001001000100100010?( ). 0000?( ). 102xx?11(A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

(A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

?1?x1234．在函数f(x)?中x项的系数是( ).

32?x30001 (A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2 5．若

a11a12a21a22?a，则

a12a11ka22ka21? ( ).

22 (A)ka (B)?ka (C)ka (D)?ka

6． 已知4阶行列式中第1行元依次是?4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为?2,5,1,x, 则

x?( ).

(A) 0 (B)?3 (C) 3 (D) 2

1

3041117. 若D?0?1053?201，则D中第四行元的余子式的和为( ). 02(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

?x1?x2?kx3?0?8. k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组?x1?kx2?x3?0有非零解. ( )

?kx?x?x?023?1 (A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

二、填空题

1．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是2．四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是

2.

.

.

3．若一个n阶行列式中至少有n?n?1个元素等于0, 则这个行列式的值等于

111001014. 行列式?01110010005．行列式

.

1000.

0200??00?.

???0n?n?1?06．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为

2

157．设行列式D?263748，A4j(j?1,2,3,4)为D中第四行元的代数余子式，则432187654A41?3A42?2A43?A44?.

?kx8．齐次线性方程组?1?2x2?x3?0?2x?0仅有零解的充要条件是.

?1?kx2?x1?x2?x3?0?9．若齐次线性方程组?x1?2x2?x3?0?2x2?5x3?0有非零解，则k=.

???3x1?2x2?kx3?0三、计算题

xyx?y1．

yx?yx；

x?yxy01x12．解方程101xx110?0；

1x10第二章 矩阵

一、单项选择题

1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是( a )。

22(a)

A?A

(b)

A2?B2?(A?B)(A?B) 3

(c)

(A?B)A?A?AB

2TTT(AB)?AB (d)

2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足( b )时，B=C。

(a) AB =BA (b)

A?0

(c) 方程组AX=0有非零解 (d) B、C可逆

3.若

A为n阶方阵，k为非零常数，则kA?( c )。 kA (b) knA (a)

(c) knA (d) kA

4.设

A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( b )。

?1?1?1(A?B)?A?B(a)

(b)

(AB)T?AB

?1T?1(A?B)?A?B(c)

?1?1?1(A?B)?A?B(d) *AA5.设为n阶方阵,为

(a)

A的伴随矩阵,则( d )。

A*?A?1 (b)

A*?A4

(c)

A?A*n?1 (d)

A?AA?1,

*n?1

6. 设

A为3阶方阵,行列式

A*为A的伴随矩阵,则行列式

(2A)?1?2A*?( a )。

27?(a)

88 (b) ?27

27(c)

87. 设

(a)

8 (d)

27

A，B为n阶方矩阵,A?B22,则下列各式成立的是( d )。

A?B (b) A??B

(c)

A?B (d) A?B (b)

22

8. 设A，B均为n阶方矩阵,则必有( c )。 (a)

A?B?A?BAB?BA

22

(c)

AB?BA (d) A?Ba12a22a32a13??a11?3a31??a23???a21?a33???a31a12?3a32a22a32

?a11?9.如果A?a21?a?31

a13?3a33??a23?，则

?a33?A?（ b）。

5

(a)若有不全为零的数k1,k2,??,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则

?1,?2,??,?s线性无关

(b)若有不全为零的数k1,k2,??,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则

?1,?2,??,?s线性无关

(c)若?1,?2,??,?s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 (d)任何n?1个n维向量必线性相关

10. 设?是向量组?1?(1,0,0)T，?2?(0,1,0)T的线性组合，则?=（ ）

(a)(0,3,0)T (b)(2,0,1)T (c)(0,0,1)T (d)(0,2,1)T

二、填空题

1. 若?1?(1,1,1)T，?2?(1,则t=▁▁▁▁。 2,3)T，?3?(1,3,t)T线性相关，

2. n维零向量一定线性▁▁▁▁关。

3. 向量?线性无关的充要条件是▁▁▁▁。

4. 若?1,?2,?3线性相关，则?1,?2,??,?s(s?3)线性▁▁▁▁关。 5. n维单位向量组一定线性▁▁▁▁。 6. 设向量组?1,?2,??,?s的秩为r,则

是它的极大线性无关组。 7. 设向量?1?(1,?1,?2,??,?s中任意r个▁▁▁▁的向量都

0,1)T与?2?(1,1,a)T正交，则a?▁▁▁▁。

8. 正交向量组一定线性▁▁▁▁。

9. 若向量组?1,?2,??,?s与?1,?2,??,?t等价，则?1,?2,??,?s的秩与

?1,?2,??,?t的秩▁▁▁▁。

10. 若向量组?1,?2,??,?s可由向量组?1,?2,??,?t线性表示，则r(?1,?2,??,?s)

11

▁▁▁▁r(?1,?2,??,?t)。 11. 向量组?1??a1,1,性关系是▁▁▁▁。 12. 设?1?(0,TTT0,0?，?2??a2,1,1,0?，?3??a3,1,1,1?的线

y,?12)T，?2?(x,0,0)T，若?和?是标准正交向量，则x和y

的值▁▁▁▁. 三、计算题

1. 设?1?(1??,1,1)T，?2?(1,1??,1)T，?3?(1,1,1??)T，

??(0,?,?2)，问

（1）?为何值时，?能由?1,?2,?3唯一地线性表示？

（2）?为何值时，?能由?1,?2,?3线性表示，但表达式不唯一？ （3）?为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？ 解：设??x1?1?x2?2?x3?3

T?(1??)x1?x2?x3?0? 则对应方程组为?x1?(1??)x2?x3??

?x?x?(1??)x??223?11?? 其系数行列式A?11??1111????2(??3)

11（1）当??0,???3时，A?0，方程组有唯一解，所以?可由?1,?2,?3唯一地线性表示;

12

?1110??1110?????（2）当??0时，方程组的增广阵 A??1110???0000?，

?1110??0000?????r(A)?r(A)?1?3，方程组有无穷多解，所以?可由?1,?2,?3线性表示，但表示

式不唯一;

（3）当???3时，方程组的增广阵

10???21?1?21?3?????A??1?21?3???0?33?12?，r(A)?r(A)，方程组无解，

?1?000?18?1?29?????所以?不能由?1,?2,?3线性表示。 2. 设?1?(1,0,2,3)T，?2?(1,1,3,5)T，?3?(1,1,a?2,1)T，

?4?(1,2,4,a?8)T，??(1,1,b?3,5)T问：

（1）a,b为何值时，?不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？ （2）a,b为何值时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？ 解:以?1,?2,?3,?4,?为列构造矩阵

?1??0?2??3??1?1111???01121??0??3a?24b?3???51a?85??0??111112a?101?41?a200?41??1?0? ??b???不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合； （1）当a??1且b?0时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合。 （2）当a??1,b任意时，3. 求向量组?1?(1,?1,0,4)T，?2?(2,1,5,6)T，?3?(1,2,5,2)T，

13

?4?(1,?1,?2,0)T，?5?(3,0,7,14)T的一个极大线性无关组，并

将其余向量用该极大无关组线性表示。

?1???1解：(?1,?2,?3,?4,?5)??0??4?2156113??1??2?10??0?5?27??0???2014???00?111000002??01? ?1?1?00???1,?2,?4为一个极大无关组，且?3???1??2?0?4, ?5?2?1??2??4

4. 设?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(1,3,t)T，t为何值时?1,?2,?3线性相关，

t为何值时?1,?2,?3线性无关？

111解：?1,?2,?3?123?t?5，

13t当t?5时?1,?2,?3线性相关，当t?5时?1,?2,?3线性无关。

四、证明题

1. 设?1??1??2,?2?3?2??1,?3?2?1??2，试证?1,?2,?3线性相关。 .证：∵3(?1??2)?4(2?1??3)?0

∴?5?1?3?2?4?3?0 ∴?1,?2,?3线性相关

2. 设?1,?2,??,?s,?线性相关，而?1,?2,??,?s线性无关，证明?能由

?1,?2,??,?s线性表示且表示式唯一。

证：∵?1,?2,??,?s,?线性相关 14

∴存在不全为零的数k1,k2,??,ks,k使得k1?1?k2?2????ks?s?k??0

若k?0，则k1?1?k2?2????ks?s?0，（k1,k2,??,ks不全为零） 与?1,?2,??,?s线性无关矛盾 所以k?0 于是???k1kk??k21k?2????sk?s ∴?能由?1,?2,??,?s线性表示。 设??k1?1?k2?2????ks?s ①

??l1?1?l2?2????ls?s ②

则①-②得(k1?l1)?1?(k2?l2)?2????(ks?ls)?s?0 ∵?1,?2,??,?s线性无关 ∴ki?li?0,(i?1,2,?,s)

∴ki?li,(i?1,2,?,s) 即表示法唯一

3. 设?1,?2,?3线性相关，?2,?3,?4线性无关，求证?4不能由?1,?2,?3线性表示。证：假设?4能由?1,?2,?3线性表示

∵?2,?3,?4线性无关，∴?2,?3线性无关

∵?1,?2,?3线性相关，∴?1可由?2,?3线性表示， ∴

?4能由?2,?3线性表示，从而?2,?3,?4线性相关，矛盾

∴?4不能由?1,?2,?3线性表示。

15

?0?10???0?，1．负号； 2．1； 3．0； 4．??10或?E(1,2)； 5．唯一解（或只有零解）；

??00?1???a1b1c1?6．线性相关； 7．-27； 8．2； 9．??abc??222 10．3. ?a3bc?；33??

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分） 1、解：按照第一行展开得到

1000110011000110Dn??(?1)n?1?1?(?1)n?100100001100110001???2， n为奇数?0， n为偶数 ………8分

2、解：

?200100?（1）?1(AE)??0100010?02分 ?? 0………?00220010???00120001?????1200100?100010?0?10001?20??0???0?011001? ??0100010?0?0?02010001?? ??0????0?00100?1???000100?1?1??02??1?2??1 31

??1?200?所以 0100?A?1?????1? ………5分 ?001???1?00?21???（2）A?1?E(1,2(?2))E(3,4(?1))E(4,3(?1))E(3(12)) ………8分

3、解：方法一：由AX?2X?B, 得到(A?2E)X?B，?10?1100(A?2E,E)????110010???1?11001?

????100111????010?10?1?? ……5分 ??001011???所以，A?2E可逆，X?(A?2E?)1B=?22???2?1??. ……8分 ??11??方法二：由AX?2X?B, 得到(A?2E)X?B， ……2分

用初等行变换求X

?10?11(A?2E,B)??1??11001????1?1110?

???1002??2??010?2?1?? ……6分 ??00111??32

……2

分

?22???所以，A?2E可逆， X?(A?2E)?1B=??2?1?. ……8分

??11??

4、 f=x221?2x3?2x1x3?2x2x3

=(x1?x3)2?(x2?x3)2?x22 ………6分

?y1?x1?x令 ?3?y2?x2?x3 即可逆线性变换为

??y3?x2??x1?y1?y2?y3?x2?y3. ………8分 ??x3?y3?y2

四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分） 1、解：由

??3211?30?r(A,b)??012263???111111?????? ??5433?1a?????111111???012263???00000a?2??

??000000???方程组有无穷多组解，所以r(A)?r(A,b)?2，故a?2 ……4分

33

?1?0r(A,b)???0??0?0100?1?1?5?2??2263? 原方程组等价于方程组

0000??0000???x1??2?x3?x4?5x5 ??x2?3?2x3?2x4?6x5取x3?x4?x5?0，得到特解??(?2,3,0,0,0)T ……7分

?x3??1??0??0?????????令?x4???0?,?1?,?0?，分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为 ?x??0??0??1??5????????1?(1,?2,1,0,0)T，?2?(1,?2,0,1,0)T，?3?(5,?6,0,0,1)T

方程组的全部解为

x???k1?1?k2?2?k3?3 其中k1,k2,k3为任意常数

……10分

2、解：初等行变换矩阵(?1,?2,?3,?1,?2)到行最简梯矩阵为

?1? (?,?,?,?,?)???112312?0??4?21561?1?20?113???20?? ?0?057????0214???00?11001001002??1? ?1??0?? ……6分 可得到?1,?2能由?1,?2,?3线性表示，且

?1???1??2,?2?2?1??2??3

向量组?1,?2,?3,?1,?2的一个极大无关组为?1,?2,?3 ……10分 3、解：

34

??4?2?2?E?A??2??4?2?(??8)(??2)2 ………4分

?2?2??4得到矩阵A的全部特征值为?1??2?2,?3?8 当?1??2?2时，由(2E?A)x?0得一个基础解系

?1?(?1,1,0)T,?2?(?1,0,1)T

正交化,单位化?1161?(?2,2,0)T，?2?(?6,?66,63)T …7分 当?3?8时，由(8E?A)x?0的一个基础解 ?3?(1,1,1)T

将其单位化得?13?(3,13,13)T ………9分 ???1?61??263??则正交阵P?(?)???1?61?1,?2,?3，6使P?1??23?AP?B， ??61??03??3???相应的对角阵为 ???200??020?? ……10分

??008??五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）

1、证明： A(k1?1?k2?2)?Ak1?1?Ak2?2?k1A?1?k2A?2 因为 A?1???11,A?2??2?2 A(k1?1?k2?2)?k1??11?k2?2?2 而?1??2

35

所以 k1?1?k2?2不是A的特征向量. ………4分 2、证明：由?1,?2,,?s线性相关，根据定义，存在不全为0的k1,k2,，

用

矩

阵

,ks，使得

边

得

到

k1?1?k2?2??ks?s?0A左乘等号两

Ak1?1?Ak2?2??Aks?s?k1A?1?k2A?2??ksA?s?0

ki不全为0，根据线性相关的定义

得到向量组k1?1,k2?2,,ks?s线性相关. ………4分

本题 得分 1 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）

?1x?11.在 f(x)?1x?11展开式中，x2的系数为 （ x?1?11 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A是m×n矩阵，r(A)?r,B是m阶可逆矩阵，C是m阶不可逆矩阵，且

r(C)?r，则 （ ） (A) BAX?O的基础解系由n-m个向量组成 (B) BAX?O的基础解系由n-r个向量组成 (C) CAX?O的基础解系由n-m个向量组成 (D) CAX?O的基础解系由n-r个向量组成

3.设n阶矩阵A,B有共同的特征值，且各自有n个线性无关的特征向量，则（ (A)

A?B (B) A?B,但A?B?0

36

）

）

(C)

AB (D) A与B不一定相似，但

A?B

4.设A,B,C均为n阶矩阵，且AB?BC?CA?E，其中E为n阶单位阵，则

A2?B2?C2? （ ）

(A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设A???10??10?,B????，则A与B （ ） 0203????(A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D）既不合同，又不相似

二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 本题 得分 a11．已知a2a3 b1b2b3020c12a1c2?m?0，则2a2c32a3b1?c1b2?c2b3?c33c13c2? 。 3c3?12．设

A???0?1?1?2，若三阶矩阵Q满足AQ?E?A?Q,则Q的第一行的行向量?0?1??T是 。

3．已知?为n维单位列向量，?为?的转置，若C4．设?1,?2分别是属于实对称矩阵

???T ，则C2? 。A的两个互异特征值?1,?2的特征向量，则

?

5．设A是四阶矩阵，A为其伴随矩阵，?1,?2是齐次方程组AX?0的两个线性无关解，

?1T?2? 。

?则r(A)? 。

6．向量组?1?(1,3,0,5,0)T,?2?(0,2,4,6,0)T,?3?(0,3,0,6,9)T的线性关系

是 。

37

?x1?2x2?2x3?0?7．已知三阶非零矩阵B的每一列都是方程组?2x1?x2??x3?0的解，则

?3x?x?x?023?1?? 。

TTT8．已知三维向量空间R3的基底为?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1)，则向量

??(2,0,0)T在此基底下的坐标是 。

?211???9．设A??121??112???10．二次型

本题 得分 ?100???0a0??,则a? 。 ?004???2f(x1,x2,x3)?2x12?2x2?2x32?2x1x2?2x1x3?2x2x3的秩为 。

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）

ab1．试求行列式D?b1bab2bba3bb的第四行元素的代数余子式之和. b4?100??100??????1.

2.设A?020,B?010, 求(AB)?????003??031?????

?120???3．设n阶方阵A,B满足A?2B?AB，已知B???120?，求矩阵A.

?003???4．设二次型

222f(x1,x2,x3)?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)中，二次型的矩阵

（2）用配方法化该二次型为标A的特征值之和为1，特征值之积为-12 .（1）求a,b的值；38

准形.

本题 得分 四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）

1．当?为何值时，方程组

?2x1??x2?x3?1???x1?x2?x3?2 ?4x?5x?5x??123?1无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解. 2已知向量组

?1?(1,3,2,0)T，

?2?(7,0,14,3)T ，

?3?(2,?1,0,1)T，

?4?(5,1,6,2)T,?5?(2,?1,4,1)T，（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大

无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.

?122???3．已知矩阵A?212；判断A能否对角化，若可对角化，求正交矩阵P，???221???使P?1AP为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵。

E的特

五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分） 本题 得分 531．设?是n阶矩阵A的属于特征值?的特征向量.证明：?也是A?4A? 征向量. 其中E为n阶单位矩阵. 2. 设n维向量组?,?,?线性无关，向量组?,?,? 线性相关，证明：?必可由

?,?,?线性表示.

《线性代数》（A卷）答案要点及评分标准

39

一．选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1．A； 2．B； 3．C； 4．D； 5．C.

二．填空题（共10小题，每题2分，共计20分）

1．6m； 2．(2,0,1)； 3．??； 4．0； 5．0； 6．线性无关； 7． 1； 8． 1,1,-1； 9． 1； 10． 2. 三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）

1、解：

TaA41?A42?A43?A44?bb1bab1bba1bbb ………4分 1ab?ab?ab?aba?b00??(a?b)3 ………8分

b0a?b01000?1?2、解：方法一：AB?0??0?0200??1??00????03??013?0??0?????1???1000?02?? 09??3………2分

(AB?10010?0??E)??02001? 0?09300?1??40

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j5n6.html