圣维南原理及其证

圣 维 南 原 理 及 其 证 明：历 史 与 评 述 赵建中

云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明 650091 摘要

圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。 关键词

圣维南原理， 历史，图平定理， 证明，否证，数学表达，修正， 意义 中图分类号：0343.2

AMS Subject Classifications: 74G50 引言

弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了[1,2]。早期有关原理有重要 的文章[3?9]。 波西涅克（Boussinesq）[3]于 1885年、勒夫（Love）[4] 于 1927 年 分别发表了圣维南原理的一般性陈述。然而Mises[5] 认为勒夫陈述不清楚并提 出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以 看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。Sternberg

[6] 赞同Mises的修改，

1

他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。Truesdell

[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性

弹性力学“一般方程的数学推论”。这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。 Zanaboni 理，并称和圣维南原理有关。 图平（Toupin）

[11,1[7?9]“证明”了一个定

列举了更多的反例说明

波西涅克和勒夫的一般性陈述不真，并建立了一个能量衰减的定理，这个定理被认为是柱体圣维南原理的数学证明，似乎具有里程碑的意义。Berdichevskii

[13]推广了图平定理。诸多学者仿效着推导出一些定理来建立图平型衰减，并

把原理推广到连续介质物理学的各个领域，诸如流体流动和热传导问题等，发展了许多方法。Horgan 和 Knowles

[14?16] 对原理的进展跟踪作了评论，其后

又有不少新的工作。本文将对圣维南原理的发展历史作出综述，对最重要的结果加以评论。 1.圣维南的思想：

1885年法国学者圣维南在研究柱体变形问题时发现，当把外力加载到等横截面长弹性柱体的两个端面时，除开端面附近的区域，柱体中横截面上的各点的应力与各点到柱体端面的距离无关。但是，根据弹性力学的数学理论，只有当端面的外力均匀分布时，柱体中才能产生这种均匀的变形。

圣维南是非常重视实际应用的工程师，他不研究没有实际应用价值的问题。实际结构中，外力均匀分布的情况很少发生。工程师和试验师通常只知道作用在

2

梁端面上的外力的合力和合力矩而不能确定外力力系的分布。考虑到他的结果的实际应用，圣维南觉得有必要解释，为什么他的由特殊分布外力得到的结果可以应用到一般性的、难于求解或未曾求解的实际情况。为此他声称，作用在梁两端面上具有给定合力和合力矩的外力系的作用方式（即分布），除开端面附近以外，并不影响梁中的应力分布。端面分布着相同的合外力和合外力矩的所有梁问题的解，都随着离开端面的距离很快地趋近一个共同的解。这个解就是他自己给出的解。

圣维南因推广他的弹性柱体扭转问题和弯曲问题的解而形成的思想是：对无体力的、侧面自由的、处在静力平衡状态的弹性柱体，如果端面的载荷被静力等

[1,2]效的力系所代替，柱体中除端面邻域以外的应力场和应变场将近似保持不变。

2 一般性的陈述、冠名为“原理”

对线性弹性力学，叠加原理对载荷和形变均有效，任意两个静力等效的力系之间的差是平衡力系，于是波西涅克和勒夫分别将圣维南的思想一般化，提出了和圣维南思想等价的陈述的两种形式，并冠以“圣维南原理”的称谓： 波西涅克陈述[3]: 施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。

勒夫陈述[4]：根据这个原理，由施于弹性体表面某一小部分的静平衡力系在距离大于该部分的一维线尺度的地方产生的应变是可以忽略的。

3. Mises 修改

3

3.1.Mises 修改及Mises证明[5]

因为波西涅克处理了半无限大空间(z?0)的边界（z?0）上作用着非平衡力系而远处的应力是小量的问题，所以Mises在文[5]中提出勒夫陈述不很清楚。他说“这种形式的陈述不太清楚。因为根据陈述施加给静止物体的力在任何情况下都必须处在平衡状态，谈及加上或减去一个非平衡力系可能是没有意义的。原理正确的表达方式可能是：

如果作用在物体上的力局限于物体表面的若干小部分上，所有部分都包含在一个半径为?的小球内，那么，当每个小部分上的力系为平衡力系时，产生于物体内离所有这些小表面都为有限距离处的应变和应力的数量级小于各小表面上的力系为非平衡力系的情况。”

他接着说：“如果这个陈述为真，它必须能够用数学予以证明。也就是说，它必须是弹性理论基本微分方程的结果。但是在通常的教科书里没有尝试提供任何证明。大多数教科书里举出的是波西涅克的结果，以此作为对它证明的参考。但是，波西涅克处理的半无限大空间(z?0)的边界（z?0）上作用着的是法向力。波西涅克证明了，如果外力系作用于?,?,0点且?2??2??2，当外力合力为零时，物体中x,y,z点上的应力的数量级为?，而当力系的合力矩也同时为零时，该点上的应力的数量级为?2。下面我们将证明，如果在z?0点上允许作用切向力分量，一般来说情况并非如此。…从实际应用的观点看，本文主要的结果是：如果所有的力都是平行的，而且不沿物体表面的切向，圣维南原理是适用的，但原理不能用在更加一般性的条件下。”

Mises 推出在半无限大体表面（??,??,0）点作用着外力分量X?,Y?,Z?（??1,2,3...）时，半无限大体内（x,y,z）点上的平均正应力的公式：

4

6?k?3r??x?X??y?Y??z?Z?1r2223

?[(3x?r)???X??3xy???Y? ?3xz???Z??3xy???X?

?(3y2?r2)???Y??3yz???Z?]?...

从公式中看出：“如果?? 和 ??的数量级是?，我们可以得到结论：如果合力分 量?X?，?Y?，?Z?为零，（x,y,z）处的应力（和应变）的数量级为?；当 且仅当6个线性距???X?,???Y?，???Z?,???X?，???Y?,???Z?也为零 时，（x,y,z）处的应力（和应变）的数量级才为?2。平衡力系的情况，也就是

???Z?=

???Z?=?(??Y????X?)= 0 ，一般来说并没有超越上述6个线形距

的条件（in no way distinguished）。只有当所有的力都互相平行，或者垂直于物体 边界面，或者和边界面斜交不为零的角度，三个平衡条件才包含（6个线形距中 的）另外三个条件。一般而论，当且仅当作用在物体表面小部分的外力转动任意 角度时仍然保持处在平衡状态（无定向平衡，astatic equilibrium），物体内部的应 变才减至?2数量级。”

这就是说，一般而论，当边界上作用着平衡力系时，物体内x,y,z点上的应 力的数量级为?，和作用着合力为零但合力矩不为零的非平衡力系的情况下应力 的数量级相同而不是更小。也就是说，物体内部的应力要减至?2数量级，平衡 力系的条件是不充分的，还需要具备特殊的条件。这就证明了，Mises自己提出 的修改的圣维南原理并不一般性地成立。一般地，只有当力系是无定向的平衡力 系时，物体内x,y,z点上的应力才具有?2的数量级。这可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。

Mises还以圆盘问题为例证明，他的修改的圣维南原理也不成立。由此他

5

举出了反例，而图平定理是可以证明的真定理。逻辑地，图平定理表达的应该是勒夫陈述的反面或否定。有趣的是，正是从图平定理出发，本文附录B否证了勒夫陈述，或一般的圣维南原理。图平把他的工作称作是“圣维南原理的证明”，是过于牵强了。

为了从数学的角度进一步说明勒夫陈述是个假命题，本文还在附录B给出了又一个有关图平问题的圣维南原理的否证。

图平理论没有证明圣维南原理，也就是说，图平定理不是应力、应变或应变 能密度随离开平衡力系外载荷的距离衰变的定理，也没有给出无限远处应力、应变或应变能密度极限为零的公式。如果我们放松要求，按照图平的思想，采取“平均应力的某个恰当的度量”，以积分或平均值作为度量，图平理论也是不合格的，因为由图平定理推不出诸如横截面能量积分、能量密度面平均值、能量密度平均值之类的圣维南型衰减。用图平定理作逐点估计，无论是直接应用还是结合其它作者的结果（其他作者的结果将在第 9 节给出），都存在不可克服的困难。

必须指出，图平理论还存在着自身的困难。图平定理选取了一个极端的、最大衰减率的解而避开了不利的解，因而定理是不能覆盖能量衰减率谱的，也是不客观的，图平理论不是一个严格的数学理论。本文附录B给出了完全覆盖能量衰减率谱的图平定理，该定理告诉我们，能量衰减的最重要的原因是储能体积的递减。

涉及本节评论的数学推导和讨论的细节均在附录B中给出。

9. 其它作者结合图平定理发展的逐点估计、本文对各种逐点估计的评述 应用图平定理，一些作者给出了逐点估计的公式，在此集中讨论。

16

9.1 Flavin 提出的逐点估计的公式 9.1.1 Flavin

[18,19]指出，图平定理对下面的柱体问题仍然成立：柱体的侧面是曲

面而且固定 (ui?0)， 近端（s?0）加载的力系不一定是自平衡力系，远端 （ s?L）满足的条件使得

(n)tiui?0 , ?0(l)/2?理解为高为l、侧面为曲面

且固定、端面自由的柱体片段的最小自由振动频率。他给出了柱体中位移梯度的 逐点估计的公式：

up,q(o)?CKU(s?a)?ma3 (9.1)

式中 up,q 是 完全包在柱体中的半径为a、以距离 s 远离加载端的球体的中心

O点的位移梯度；U(s) 是超越距离 s 的柱体部分的应变能，用图平定理1表

示。.

9.1.2 本文认为Flavin估计的主要困难在于（9.1）式没有覆盖柱体部分 （L?a?s?L）（在该域中没有定义），因为用来作估计的球体要求完全包在柱体当中。 如果 a 取常数值，我们得不到任何关于这有限部分柱体的知识。 如果 a 为变量且a?0，对有限长柱体当 s?L时位移梯度将趋于无穷，对无限长柱（9.1）式为不定式，位移梯度不能确定。 9.2 Horgan 和 Knowles 提出的逐点估计公式 9.2.1 Horgan 和 Knowles

[14]在近端（s?0）加载、其余边界自由的各向同性柱

体内建立了一个应力逐点估计的公式 tij(x1,x2,s)?式中

?(?)?min(1,1?2?1??),(?1???12)30?(??(?))1/2d?3/2[U(s?d)?U(s?d)]1/2 (9.2)

,

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tij(x1,x2,s) 是柱体内 (x1,x2,s)点的应力，? 是剪切模量, d是点 (x1,x2,s)到

柱体边界的距离，U(s) 是超过距离 s 的柱体部分的应变能。和图平定理1或者Berdichevskii 的结果（见后）相结合，认为（9.2）给出柱体内的应力逐点估计。

9.2.2本文认为，（9.2）式中应力要取实数值，需要条件

U(s?d)?U(s?d)?0

(9.3)

如果用图平定理1来表示U(s),条件 (9.3) 是不能保证的，因为（7.7）式中含有不等式。如果认为 (9.3)式 总是为真，那就等于承认储能体积的递减是图平定理中的能量U(s)衰减的唯一原因。 9.3 Roseman提出的逐点估计公式

9.3.1 Roseman[20]推导出一个柱体内的应力逐点估计的公式。该公式不仅适用于柱体内部，而且适用于柱体边界，表达为（也见 [14]）：:

tij(x1,x2,s)?M(??(?))1/2??3/2[U(s??)?U(s??)]1/2 (9.4)

式中 M和 ? 为两个普适的正常数，仅仅取决于横截面的几何形状和参数，而与载荷、物理常数 ? 和 ?、柱体长度以及点的坐标(x1,x2,s)无关。这些特征使得 (9.4)式 区别于 (9.2)式。（9.2）式的d 依赖于 (x1,x2,s)而且只对柱体内点适用。据作者称，和图平定理1结合，（9.4）式对柱体全域给出应力的逐点估计。 9.3.2本文认为，严重的困难在于 U(s??) 在域 L???s?L没有定义。而如果由于数学不确定性U(s??)取任意值，（10.4）式不能保证 tij(x1,x2,s) 取实数值。

如果要导出

limtij(x1,x2,s)?0 (9.5)

s???必须从图平定理以外借用关于柱体行为的假设， 比如

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U(s??)?0 (9.6) , (9.7)

或 0?U(s??)?U(0)e?(s???l)/sc(l)式中 L???s?L。然而，无论采用两个假设中的哪一个，都必须使柱体延伸得比L要长。

10. Berdichevskii定理：

Berdichevskii在文[13]中的思想是要推广图平等截面柱体能量衰减的定理。他 研究了笛卡尔坐标系中的任意形状、几何线形、非均匀、各向异性、物理非线性 的弹性体(x1,x2,x), 物体x?0 无限延伸部分自由， x?0有限大部分加载。用

?(x)表 x?const处的有界横截面，它把物体分成两部分，x以远部分的体积域

用 V(x)表示。令能量泛函为 E(x)??UV(x)ddxdxdx12 （10.1）

其中Ud是应变能密度，E(x)是x以远的体积V(x)中的应变能。再令 ??inf(?Uddx1dx2/Pi?Uddxdxdx)V(x)12 (10.2)

?(x)（式中?取下确界值考虑到表面载荷 pi的所有可能的值）， Berdichevskii证明了能量衰减定理

x(??(x)dx),(x?0), (10.3) E(x)?E(0)exp?0 Berdichevskii的证明如下：事实上，由(10.2)有 ?(x)E(x)?利用公式

?Uddxdx?(x)12 (10.4)

12dE(x)dx? ? ?U?(x)ddxdx (10.5)

和 (10.4) 得到

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?(x)E(x)?由(10.6)导出(10.3)。

dE(x)dx?0 (10.6)

由于讨论的弹性体的几何形状和物理性质，Berdichevskii定理被看作是图平 定理的推广。

Berdichevskii其后推导了常数b和bn，并推导出用b和bn对?进行估计的公 式。然后对杆估计了常数bn，用bn估计了均匀各向同性半无限圆截面杆的能量 衰减率，以及锥形体的能量衰减率。 11.本文对Berdichevskii定理的评论

本文认为，Berdichevskii定理是从普适的方程导出的，因此是成立的。但是 Berdichevskii 理论并没有证明圣维南原理，因为定理独立于圣维南原理所规定的特殊条件（由勒夫陈述表述）之外，所以Berdichevskii 定理太一般以至于和圣维南原理的表达这个特殊问题无关。事实上，赵建中[21]指出Berdichevskii定理对悬臂梁问题的解[22]成立，而悬臂梁的能量密度是递增的。而且，当x?l时，能量衰减率?1??.

Berdichevskii 定理是图平定理的推广，正因为如此它就比图平定理更难和圣维南原理发生联系。Berdichevskii 理论也不是一个严格的数学理论，存在着许多随意性的处理。尽管如此，(10.1)、（10.2）和(10.5)式以及定理的证明比图平理论更为清楚地暴露出，图平能量衰减的本质原因在于储能体积的递减，而不在于能量密度的衰减，从而客观上为我们理解图平能量衰减的本质提供了有益的启示。

同样有趣的是，类似于图平定理，由Berdichevskii 定理可以否证一般的圣维南原理。

涉及本节评论的数学推导和讨论的细节均在附录C中给出。

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U1(z)?U1(0)e?2kz (14.18)

以及二阶能量衰减。

15.本文对Knowles方法的评论 本文认为，Knowles方法的特点是：

(1) 方法建立的是图平型能量衰减而不是圣维南型能量密度衰减。 （2） 方法处理离散的能量衰减率谱而不是连续的能量衰减率谱。

（3） 方法应该给出Phragmen-Lindelof 型定理。在14节举的例子中，由（14.7）

式可以选择? 和 ??，也就是（14.9）不等式对? 和 ??都成立。于是问题应该有能量衰减定理和能量递增定理两个解。Knowles排除了能量递增，理由没有交代。本文作以下分析：

（A）如果以能量衰减为预设条件来排除能量递增，那Knowles是以能量衰减为前提来证明能量衰减，是一种循环论证。或者讨论的是这样的问题：如果能量是衰减的，衰减不等式采取什么形式？显然这不是一种证明。

（B）如果以能量衰减为认定事实，认为能量递增是不合理的增解，那就意味着储能体积的递减是能量递减唯一可能的解释。

Knowles 方法的另外两个实例Knowles 和 Sternberg

[25][24] 以及 Knowles

进一步显示出圣维南型衰减和图平型衰减的区别以及Knowles方法的特点

和问题。附录E给出对这两个实例的评论细节。 16. Horgan 和 Knowles

[14?16]的综述

Horgan 和 Knowles以及Horgan单独跟踪圣维南原理的发展历史分三个阶段作了综述，现分别把三篇文章的主要内容作一简介。

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16.1.有关文[14]的简介

Horgan 和 Knowles在前言中对圣维南原理的历史从圣维南的工作和研究报告直到图平1965年的工作作了简介，然后说：

“与这些弹性理论中的和圣维南原理有关的问题类似，在数学物理的其他分支也有可能提出相应的问题。自1965年以来引入的许多思想和技术在由拉普拉斯方程控制的流动基本问题的背景中找到了其最简单的表达，本文第二节给出了这种简单设定情况下这些思想和技术的详细的陈述。严格的（区别于诸如壳的近似理论的）线性弹性理论框架内的圣维南型的若干原理是第三节讨论的问题。第四节讨论和圣维南原理其他方面有关的工作，比如非线性的影响、二维弹性薄壳理论中出现的一些特殊现象、热扩散或瞬变热传导问题中的圣维南原理、以及对粘弹性材料的推广。在讨论的过程中，特别是在第三节和第四节，我们将指出一些未解决的问题。

存在着圣维南‘问题’的若干方面，这些方面有别于我们观念中的圣维南‘原理’，正在受到关注，然而我们这里并不打算进行综述。方面之一是处理圣维南解的最小能量（或相关量）的特征化（比如Shield 和Anderson，1966；Sternberg 和Knowles， 1966； Maisonneuve，1971；Ericksen，1980）。问题之二关注Trusdell （1959，1966，1978）提出的柱体端面外力的改变对适定的扭转模数的影响问题，这些问题中柱体端面外力在产生给定扭矩的限制范围内变化。最后，虽然我们确实对处理非线性对应力衰减的影响的某些结果作了评述，但是我们确实没有考虑圣维南柱体问题原型在有限弹性力学中的等效形式（见Ericksen，1977ab, 1979；Muncaster，1979）。”

就是在这篇综述中，Horgan 和 Knowles提出了模型问题（柱体中的流动问

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题）并进行了讨论。 16.2.有关文[15]的简介

Horgan在文中再一次讨论了文[14]中提出的模型问题，不过这次讨论的是二维的模型问题，称之为“拉普拉斯方程的模型问题（A Model Problem for Laplace’s Equation）。

其后，Horgan对1981年以后圣维南原理的进展按问题分类地进行了综述。这些问题是：各向同性材料的平面形变、各向异性材料和复合材料的平面形变、三维问题、非线性效应、时间相关问题。

在结语中，作者称：“本文中我们试图考察自1981年以来在各种不同背景下涉及圣维南原理所取得的主要进展。虽然在这段时间中取得了不可忽视的进步，但是很显然，在Horgan 和 Knowles的综述文章（HK 1983）中所提出的许多未解决的问题，仍然没有得到完全的解决。于是，从物理和数学两方面的观点来完全地理解各个分支领域的圣维南原理，仍然是一个非同小可的挑战。” 16.3.有关文[16]的简介

Horgan 在文[16]的前言再次回顾了图平等人的工作，他说：

“因为线性弹性力学的许多问题的精确解不可能得到（非线性弹性力学的问题更多），因而成功地发展了定量的论证结果来提供应力衰减率的估计值。这类形式的早期结果中最著名的是图平（1965）对三维线性弹性柱体问题的能量衰减估计和Knowles （1966）对线性平面弹性力学的能量衰减估计。所有这些结果至少预测了应力的指数衰减，提供了衰减率的估计值，是实际衰减率的下界。其中许多二阶椭圆型方程的衰减率估计值和实际衰减率吻合，就这个意义而论，这些结果是令人满意的(optimal)。在上面所列的以前的综述（指HK，1983 和H，1989

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等，本文注）中已经详细地讨论了前面所述的结果，同时讨论的还有Berdichevskii（1975）对柱体问题的进一步的结果……。”

Horgan 在举出1995年以前的若干作品以后说：“在上面举出的大多数研究中，解的空间衰减是在对远离载荷边界的衰减提出某些先验的假设条件下进行考察的。这些假设在研究圣维南原理时是自然存在的。近期已经有一些关注到在不提出任何此类假设的情况下建立渐近行为的文章（略），通常得到递增和衰减两种形式的结果，因而这些结果是Phragmen-Lindelof型的，对非线性问题具有特别的意义。”

文章评述了自Horgan 和 Knowles（HK，1983）和Horgan（H，1989）综述以后的进展：“我们（在第二节）从二阶线性椭圆型偏微分方程开始，方程中系数可变，定义在二维区域。这类方程出现在非均匀、各向异性材料的稳态热传导理论中，也出现在线性非均匀各向异性固体的反平面（anti-plane）剪切形变理论中。特例包括常系数方程以及不包含混合偏导数的以散度形式表达的方程。进一步的特殊化（specialization）导致拉普拉斯方程，该方程在HK和H中以模型方程为例得到应用。在一种特别简单的设定背景下，对圣维南原理的分析提出了若干相关的问题。对于此处关注的更为一般的方程，我们简略地描述了圣维南原理，以及方程与Phragmen-Lindelof型圣维南原理的联系。此后，作为特例讨论了半无限条带区域，在无限长边界上设置了齐次边界条件（对应无外力情况）。首先考虑了常系数的情况，Horgan 和Payne （1993c）建立了空间衰减估计，此例中的估计衰减率是令人满意的(optimal)。然后，该结果特别用于纤维强化合成材料的模型——强各向异性材料。在此一特别简单的情况下，显示出由各向异性引起的端面影响的延伸。本节中也汇集了一些变系数的非均匀问题的结果，这些

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结果使我们可以就反平面剪切问题中非均匀和各向异性对圣维南端面效应的衰减的影响作出评估。第三节大致地总结了均匀弹性体的平面弹性力学问题中各向异性对应力衰减的影响的类同结果。这些结果的详细评述最近由Horgan 和Simmonds （1994）作出。第四节广泛地讨论了各种非线性问题，提供了非线性弹性静力学中圣维南原理的数学表达和数学分析的若干结果的综述，给出了二阶准线性和半线性偏微分方程的更一般的衰减结果，评述了稳定纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程的空间衰减估计及其对入流问题（entry flow problems）的应用。第五节简述了瞬变问题空间衰减的一些结果。”

以下我们将以问题分类对有关圣维南原理的工作进行评述，强调圣维南型衰减和图平型衰减的区别和不一致： 17. 线性弹性力学二维问题

17.1 （1）Knowles[23]用他的方法处理一个线性弹性力学二维问题， Horgan 和Knowles[14] 重述了主要的结果。Horgan 和Knowles[14]表达的问题是 ????0onR (17.1)

边界R的远区C0自由，以至于 ???,1??,2?0式中 ? 是 Airy 应力函数。令 l?maxx1C0onC0 , (17.2)

, h?maxx2C0 (17.3)

(17.4) (17.5)

和 E(z)???,???,??dARz(0?z?l),于是 E(z)?2E(0)e?2kz式中 k?

(0?z?l),?h(2?12)1/2?1.4h. (17.6)

30

F(z)?F(0)exp?[kz] . (18.8) 18.12 Chirita 和 Ciarletta[45] 讨论了均匀各向异性线性弹性材料构成的棱柱体问题，发表了四个定理。第一个定理对单斜晶体构成的满足所设远端位移边界条件的有限长柱体或先验条件下的半无限长柱体给出横截面位移测度I(x3)的衰减定理

I(x3)?I(x0)e?kx,13x3?0

. (18.9)

第二个定理在先验假设下对单斜晶体构成的、有限长柱体的、由位移和位移的梯度表达的横截面测度k1(x3)给出了衰减定理，又在先验假设下对单斜晶体构成的、半无限长柱体的、和位移相关的“能量”?1(x3)给出了图平型衰减定理。第三个定理对横向各向同性弹性材料构成的、有限长柱体的、由位移和位移的梯度表达的横截面测度kk(x3)给出了衰减定理，又在先验假设下对单斜晶体构成的、半无限长柱体的、和位移梯度相关的“能量”?k(x3)给出了图平型衰减定理。第四个定理在先验假设下，对半无限长柱体的kk(x3)给出衰减定理。 19. 非线性问题 Horgan 和 Knowles

[14]指出，在有限弹性理论背景下讨论圣维南原理具有

[15]新的不同于线性理论的特点。Horgan 理的复杂性。Horgan

[16] 重述了非线性弹性力学讨论圣维南原

对文[14，15]中提出的问题进行了评论，指出非线性弹

性理论讨论圣维南原理需要“谨慎而仔细地表明圣维南解的特征”。本节将对非 线性问题的一些结果进行评述。 19.1 Roseman

[46]讨论了非线性弹性平面问题的圣维南原理。在假设所有位移分

量直至4阶的偏导数一致有界且界限足够小的条件下表达了应变范数的圣维南 型衰减。

36

19.2 Breuer和 Roseman

[47]在类似于文[48]的条件下对三维非线性弹性问题给出

了应力和应变的圣维南型衰减。

19.3 Knops 和 Payne[48] 考虑了均匀的、非线性弹性物质所构成的半无限长柱问 题， 在三条假设下分别证明了应力边值问题和位移边值问题的、在柱体横截面 上所作的位移L2积分的衰减定理。

19.4 Horgan 和 Payne[49]的研究涉及二维二阶准线性偏微分方程，讨论了 Dirichlet 和 Neumann 问题，在先验假设

u,u,??0(uniformlyinx2)asx1??. (19.1)

条件下建立了二次“能量”积分的图平型衰减，并用一阶和高阶“能量”表达了横截面估计和逐点估计。

19.5 Horgan 和 Payne[50]考察了一类三维二阶准线性方程的Dirichlet 问题。根据 作者所言，为简化论证所提出的先验假设为

u,?u/?x3?0(uniformlyinx1,x2)asx3??. (19.2)

两种情况或两个假设提供了更多的约束条件。对第一情况（Case 1）建立了通常能量的图平型衰减, 对第二情况（Case 2）建立了s能量的图平型衰减。对两个情况都给出了L2估计。

19.6 Galdi、 Knops 和 Rionero[51]研究了非线性弹性柱体的位移的渐近性质。在 假设条件下证明了两个位移平方在柱体横截面上的积分的衰减定理。 19.7 Vafeades 和 Horgan[52]关注定义在半无限长条带的 von Karman 方程的解 的衰减估计。在先验假设下证明了第一图平型衰减和改进的图平型衰减。论证中 对不等式

???4k??E21/2u(0)?4k2??0 , (19.3)

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只取了等式进行讨论，以便得到最大的? 值并排除（20.3）式中?的可能的零值和负值。

19.8 Horgan 和 Payne

[53]涉及定义在矩形平面域的二维二阶非齐次准线性偏微

分方程的解的渐近行为。矩形的长度大大超过它的宽度。文章分析了方程的 Dirichlet 问题并在先验假设的前提下就两种情况建立了“能量”的图平型衰减。 19.9 Horgan 和 Payne[54]在非线性弹性力学平面问题理论背景下对“加权能量” 二次泛函给出图平型衰减。讨论中假设位移梯度为小量，应力-应变关系为非线 性。

19.10 Flavin等[55]考虑了定义在半无限长的柱体域的半线性椭圆形方程，并得到 经典Phragmen-Lindelof定理的非线性类比。在柱体侧面分别设置齐次的 Dirichlet 和 Neumann 边界条件，但在柱体基底以及远离基底的地方没有设定边 界条件。在相应的假设条件下分别证明了解的、能量测度的以及横截面能量流测 度的 Phragmen-Lindelof 型定理。 19.11 Breuer 和 Roseman

[56?58]、Horgan[59] 以及 Horgan 和 Olmstead

[60]在

先验假设条件下对建立非线性问题的解的圣维南型衰减作出了贡献。 20. 反平面剪切形变（Anti-plane Shear Deformations） 20.1 Horgan 和 Knowles

[61] （又见文[16,37]) 对柱体有限反平面剪切形变建

立了圣维南型衰减，柱体的横截面是半无限条带。作者证明了，沿条带平行边的 非零剪切应力分量偏离对条带所取的平均值，偏离值以距端面的距离的指数衰减 函数表达。论证采取的先验假设为

u,1(x1,x2)?k , u,2(x1,x2)?0uniformlyasx1??,

in x2, 0?x2?h. (20.1)

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20.2 Horgan 和 Payne

[62](又见文 [16,37])用能量法处理文[63]有限反平面剪切

形变的类比问题，对用形变场和简单剪切之差定义的似能量型二次泛函给出图平 型衰减定理。 20.3 Horgan 和 Payne

[63] (又见文 [16,37])关注弹性本构方程的小扰动对非线

性反平面剪切形变场的影响，对半无限长条带的 Dirichlet 和 Neumann 边值问 题在先验假设

v,v,1?0(uniformlyinx2)asx1?? (20.2)

条件下建立了图平型能量衰减。 20.4 Horgan 和 Payne

[36] (又见文 [16,37])证明了一个 Phragmen-Lindelof 型

定理，对定义在二维半无限长条带的二阶线性椭圆型偏微分方程的解提供了增长 率和衰减率的估计。该方程源自非均匀、各向异性材料的稳定态热传导理论，也 出于线性化的、非均匀、各向异性弹性固体的反平面剪切形变理论。又见18.4 节。 20.5 Horgan

[37] 在线性和非线性固体力学背景下对反平面剪切模型及其应用的

发展进行了评论。

20.6 Horgan 和 Payne[64]、Borrelli 等[65] 分别建立了反平面剪切形变的图平型 能量衰减。

20.7 在先验假设条件下，下列作者为建立反平面剪切问题的圣维南型衰减作出 了贡献： Horgan 和Abeyaratne

[66]、Horgan 等[67]、Stephen 和Wang[68]、Scalpato

[70]和 Horgan[69] 、 Chan 和Horgan 21. 管道中的流体流动问题 21.1 Knops 和 Lupoli

[72] 以及 Horgan 和 Quintanilla[71] 。

对沿半无限长条形管道流动的不可压缩粘性流体的平

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面斯托克斯流动（plane Stokes flow）的端头效应作了估计。管道侧面流体速度 为零，对非定常流动设置与时间有关的端头流体速度，初始速度为零。作者证明 了两个Phragmen-Lindelof 型定理，分别对定常流动和非定常流动问题描述了横 截面（线）能量流测度和高阶能量或无界或衰减的条件。高阶能量的衰减属图平 型能量衰减。

21.2 下列作者对流体流动问题建立了图平型衰减：Horgan[73]、Horgan 和 Wheeler

[74]、 Ames 和Payne[75]、Ames、 Payne 和 Schaefer

[78][76]、Chadam 和

Qin[77]、Payne 和Song 22. 热传导问题

、Song

[79,80] 以及 Lin 和 Payne

[81]。

是Boley[82,83]首先把圣维南原理应用于抛物型热传导方程。其后的工作有： 22.1 Knowles[84]对Edelstein[85]讨论的热传导方程提供了与时间无关的图平型衰 减率。.

22.2 Horgan、Payne 和 Wheeler[86]处理三维柱体的热传导初边值问题，柱体边界 条件只在端面上非零。在Dirichlet 和Neumann边界条件下给出解的横截面均方 估计。

22.3 Payne 和 Song[87]对定义在半无限长柱域的广义热传导问题给出 Phragmen-Lindelof 型定理，其能量衰减为图平型能量衰减。

22.4 Quintanilla[88]揭示了双曲型热传播方程的图平型能量衰减，其结果类似于已 知的有关抛物型方程的解的估计，并推广到一类半线性波动方程。 22.5 Horgan 和 Quintanilla

[89] 处理非均匀各向同性热传导固体中材料非均匀

性对端面效应的空间衰减的影响，在泛函渐近行为的先验假设下提供了问题的解 的加权均方估计。

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