函数的单调性与导数导学案

2014-2015学年度第一学期南阳五中高二数学导学案（文）

§4.1.1导数与函数的单调性

学习目标

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法

学习过程

一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处） 复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性。 对于任意的两个自变量x1，x2∈I，

当x1＜x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么函数f(x)在区间I上单调递增。 当x1＜x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么函数f(x)在区间I上单调递减。 复习2： C'?0；(xn)'?nxn?1；(sinx)'?cosx；(cosx)'??sinx；(lnx)'?1； x(logax)'?复习3：

1；(ex)'?ex；(ax)'?axlna； xlna[f(x)?g(x)]'?f?(x)?g?(x)f(x)f?(x)g(x)?g?(x)f(x)[]??g(x)g2(x)[f(x)g(x)]'?f?(x)g(x)?g?(x)f(x)

二、新课导学

探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：

问题：我们知道，曲线y?f(x)在点x0的切线的斜率就是函数y?f(x)在该点的导数f?(x0)。从函数y?x?4x?3的图像来观察其关系：

(2，+∞) (－∞，2) y=f(x)=x2－4x+3 切线的斜率 f′(x) 2yf?x? = ?x2-4?x?+3

BO123Ax

在区间（2，??）内，切线的斜率为 k>0 （y??0），函数y?f(x)的值随着x的增大而 增大 ，即y??0时，函数y?f(x)在区间（2，??）内为 函数；

在区间（??，2）内，切线的斜率为 (y??0)，函数y?f(x)的值随着x的增大

/而 ，即y?0时，函数y?f(x)在区间（??，2）内为 函数 。

新知1：

一般地，设函数y?f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y??0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如果在这个区间内y??0，那么函数y?f(x)在这个区间内

单调递减。

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2014-2015学年度第一学期南阳五中高二数学导学案（文）

探究任务二：如果在某个区间内恒有f?(x)?0，那么函数f(x)有什么特性？

探究任务三：如果函数y?f(x)在某个区间上单调递增，那么在该区间上必有f?(x)?0吗？如函数f(x)?x的单调性如何？导数f?(x)一定大于0吗？

3新知2；

如果函数y?f(x)在某个区间上单调递增，那么在该区间上必有f?(x)?0且f?(x)不恒等于0.如果函数y?f(x)在某个区间上单调递减，那么在该区间上必有f?(x)?0且f?(x)不恒等于0. 三、典型例题

例1：求出下列函数的单调区间：

（1）f(x)?2x3?3x2?36x?16（2）f(x)?2x?lnx

解：（1）该函数在的定义域为(??,??)，f?(x)?6x2?6x?36?6(x?2)(x?3)， 因此，令f?(x)?0解得当x??2或x?3，当f?(x)?0时，解得?2?x?3

所以，函数f(x)?2x3?3x2?36x?16的单调递增区间为(??,?2)和(3,??)，单调递减

区间为(?2,3)。

12x?1?， xx11因此，令f?(x)?0解得当x?，当f?(x)?0时，解得0?x?

2211所以，函数f(x)?2x?lnx的单调递增区间为(,??)，单调递减区间为(0,)

22（2）该函数在的定义域为(0,??)，f?(x)?2?反思与归纳：

1、第（1）小题提醒我们注意： 第（2）小题提醒我们注意： 2、用导数求函数单调区间的三个步骤： ①求函数f(x)的导数f?(x).

②令f?(x)?0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f?(x)?0解不等式，得x的范围就是递减区间. 例2. 已知函数f(x)?2ax?范围。

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1，x?(0,1]，若f(x)在x?(0,1]为增函数，求实数a的取值x2014-2015学年度第一学期南阳五中高二数学导学案（文）

反思与归纳：

四、总结提升

用导数求函数单调区间的步骤：

①求函数f(x)的定义域；②求函数f(x)的导数f?(x). ③令f?(x)?0，求出方程f?(x)?0的所有实根；

④根把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内f?(x)的符号，由此确定f(x)的单调区间

五、当堂检测（限时：10分钟 满分：10分）

1.函数f(x)?x3?x的增区间是 ，减区间是 12

2.函数y＝x－ln x的单调减区间是 ( )．

2

A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1) C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞) 3.若在区间(a,b)内有f?(x)?0，且f(a)?0，则在(a,b)内有（ ）

A．f(x)?0 B．f(x)?0 C．f(x)?0 D．不能确定

4.若函数f(x)＝x－ax－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )． A．a≥1 B．a＝1 C．a≤1

D．0

3

2

5.若f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)为增函数，则一定有（ ） A．b2?4ac?0 B．b2?3ac?0 C．b2?4ac?0 D．b2?3ac?0

六、课后作业

1.求出下列函数的单调区间：（1）f(x)?x3?x2?x；（2）f(x)?ex?x；

2.已知函数f(x)?ax?1在区间(?2,??)上单调递减，求实数a的取值范围。 x?2 - 3 -

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