B《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练

[命题报告·教师用书独具]

一、选择题

1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝( ) A．(6,3) C．(2,1)

B．(－2，－6) D．(7,2)

解析：2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)． 答案：B

m

2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则n＝( ) A．－2 1C．－2

B．2 1D.2 解析：由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理m1得n＝－2. 答案：C

3．(2013年潍坊模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c，都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是( )

A．(－∞，2) C．(－∞，＋∞)

B．(2，＋∞)

D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

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解析：本题考查平面向量基本定理．任意两个不共线的向量均可作为基底向量来表示平面内的任一向量，故本题需满足a，b不共线，当a∥b，即向量a，b共线时，满足3m－2＝2m，解得m＝2.故a，b不共线时，m∈(－∞，2)∪(2，＋∞)．

答案：D

4．(2013年郑州模拟)若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝( )

A.10 C.2

10B.2 2D.2 解析：依题意得，－(x＋1)－2×1＝0，得x＝－3，又a＋b＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a＋b|＝?－1?2＋12＝2，选C.

答案：C

→，OB→满足|OA→|＝|OB→|＝1，OA→·→＝0，OC→＝

5．(2013年淮南质检)已知向量OAOB→＋μOB→(λ，μ∈R)，若M为AB的中点，并且|MC→|＝1，则点(λ，μ)在( ) λOA

?11?A．以?－2，2?为圆心，半径为1的圆上

??1??1

B．以?2，－2?为圆心，半径为1的圆上

??1??1－，－C．以?2为圆心，半径为1的圆上 2????11?D．以?2，2?为圆心，半径为1的圆上

??解析：由于M是AB的中点， ∴在△AOM中， →＝1(OA→＋OB→)， OM

2

1?→?→→→??1?→?

∴|MC|＝|OC－OM|＝??λ－2?OA＋?μ－2?OB?＝1，

??????1?→?2??1?→?

∴??λ－2?OA＋?μ－2?OB?＝1， ??????1??1??

∴?λ－2?2＋?μ－2?2＝1，故选D. ????

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答案：D 二、填空题

6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，若 a∥b，则4x＋8y的最小值为________． 解析：∵a∥b，∴3×(y－1)－(－2)×x＝0，∴2x＋3y＝3. 故4＋8 ＝2＋2≥221

＝2时等号成立．

答案：42

7．(2013年苏州质检)已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2.若向量d＝λa＋μb与c共线，则实数λ，μ的关系为________．

解析：d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应存在实数k，使d＝kc，

即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2， ?2λ＋2μ＝2k，由?得λ＝－2μ. －3λ＋3μ＝－9k，?答案：λ＝－2μ

→＝1NC→，→8．(2013年济南调研)如图，在△ABC中，ANP是BN上的一点，若AP

3→＋2AC→，则实数m的值为________． ＝mAB

11

x

y

2x

3y

2x＋3y3

＝22＝42，当且仅当2x＝3y，即x＝4，y

3

→＝AB→＋BP→＝AB→＋kBN→

解析：因为AP

1→→?→＋k(AN→－AB→)＝AB＋k??4AC－AB? ＝AB

??→＋kAC→，

＝(1－k)AB

4→＝mAB→＋2AC→， 且AP

11

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k2

所以1－k＝m，4＝11， 83

解得k＝11，m＝11. 3

答案：11 9．(2013年苏北四市联考)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，→＝a，AB→＝b，若AB→＝2DC→，则AO→＝________(用向量a和b表示)． 设AD

→＝μAC→＝μ(AD→＋DC→)

解析：∵AO

1?μ?

＝μ?a＋2b?＝μ a＋2b. ??

μ2→21∵μ＋2＝1，解得μ＝3.∴AO＝3a＋3b. 21答案：3a＋3b 三、解答题

10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？

解析：设存在实数k，则ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．

若这两个向量共线，则必有 (k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0. 1?104?

解得k＝－3.这时ka＋b＝?－3，3?，

??1

所以ka＋b＝－3(a－3b)．

即存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反． →＝1AB→，DA→＝－1BA→，

11．已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC

33→的坐标．

求点C，D的坐标和CD

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→

解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意得AC＝(x1＋1，y1→＝(3,6)， －2)，AB

→＝(－1－x2－y)，BA→＝(－3，－6)． DA2,21→→1→→

因为AC＝3AB，DA＝－3BA， ?x1＋1＝1，?－1－x2＝1，所以有?和?

?y1－2＝2?2－y2＝2，?x1＝0，?x2＝－2，

?解得?

?y1＝4，?y2＝0.

所以点C，D的坐标分别是(0,4)，(－2,0)， →＝(－2，－4)． 从而CD

→＋4BP→＋5CP→

12．(能力提升)(2013年东营模拟)已知P为△ABC内一点，且3AP→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AP→、AD→. ＝0.延长AP交BC于点D，若AB

→＝AP→－AB→＝AP→－a，CP→＝AP→－AC→＝AP→－b，

解析：∵BP

→→→

又3AP＋4BP＋5CP＝0， →＋4(AP→－a) ＋5(AP→－b)＝0. ∴3AP

→＝1a＋5b.

化简，得AP

312

15→→→

设AD＝tAP(t∈R)，则AD＝3t a＋12t b．① →＝kBC→(k∈R)， 又设BD

→＝AC→－AB→＝b－a，得 由BC

→＝k(b－a)．而AD→＝AB→＋BD→＝a＋BD→， BD

→＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.② ∴AD

1??3t＝1－k，5??12t＝k.

由①②，得?

4

解得t＝3.

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5→4

代入①，有AD＝9a＋9b.

[因材施教·学生备选练习]

1．(2013年徐州质检)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交→＝xAB→，AN→＝yAC→，则4x＋y的最小值为________．

AB，AC于M，N两点，若AM

→＝1(AB→＋AC→)，AE→＝1AD→，

解析：如图所示，由题意知AD

22

又M，E，N三点共线，

→＝λAM→＋(1－λ)AN→(其中0＜λ＜1)，

所以AE

→＝xAB→，AN→＝yAC→， 又AM

1→→→＋(1－λ)yAC→， 所以4(AB＋AC)＝λxAB?4λx＝1，因此有?

?4?1－λ?y＝1.1

解得x＝4λ，y＝

1

，

4?1－λ?

111t令λ＝t(t＞1)，则4x＋y＝λ＋＝t＋ 4?1－λ?4?t－1?＝(t－1)＋

159

＋4≥4， 4?t－1?

32

当且仅当t＝2，即λ＝3时取等号． 9答案：4 2．(2013年西安模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，??3

c.m＝(1,1)，n＝?sin Bsin C－，cos Bcos C?，且m∥n.

2??

(1)求A的大小；

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(2)若a＝1，b＝3c，求S△ABC.

3

解析：(1)m∥n?sin Bsin C－2－cos Bcos C＝0. 3

∴cos(B＋C)＝－2. ∵B，C为△ABC的内角，∴0＜B＋C＜π. 5ππ

∴B＋C＝6，∴A＝6. (2)由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccos A?c2＝1. 133

∴S△ABC＝2bcsin A＝4c2＝4.

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