初中（中考）数学常见解题模型及思路（压轴题题眼全覆盖）

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初中数学常见解题模型及思路（自有定理）

A． 代数篇：

1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。 例.把0.108108108???化为分数。

设S=0.108108108??? （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108???（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S=

108 余例仿此—— 9992．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y；x-y；xy；

x2?y2 中，知二求二。

222 (x?y)?x?y?2xy?2x?2y(? x?)2y2?xy2222 (x?y)?x?y?2xy?(x?)y?4 xy 加减配合，灵活变型。

2（x?）?x2?3．特殊公式

1x1?2的变型几应用。 x24．立方差公式：a3?b3? （a?b）（a2mab?b2）5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。 例.求：1+2+3+222+2017的和。三种方法举例：略

6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。

例.求1+2+4+8+16+32+2222n 令S=1+2+4+8+16+32+222+2n （1）

两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+222+2n+2n?1 （2） （2）-（1）得：2S-S=2n?1- 1 从而求得S。 7．

11n?m1111????等。 的灵活应用：如：?mnmn62?3238．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f（n）。 9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：

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1111⑴．对称式：变和积。x2?y2；?；2?2；xy2+x2y等（x、y为一元二次方程方程的两

xyxy根）

⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。 10. 三大非负数：三大永正数；

211．常用最值式：。 （x?y）?正数 等（非负数+正数）

12．换元大法。

13．自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时

减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。 14．拆项法；配方法。原理同上。 15．十字相乘法。

16．统计概率：两查（抽样；普查）；三事（必然；不可能；随机）；四图（折线；

条形；扇形；直方）；三数；三差；两频（频数、频率）一率（概率）等。 17．一元二次方程应用题：每每问题套路；利率问题套路；握手、送花问题套路。 18. |a|=|b|,则a=±b在动点问题中的巧妙应用（避免烦琐的因为点的相对位置变化

起的符号变化问题（平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法）。

19.四个角的正切值：22.5度的正切值为： 根号2-1 67.5度的正切值为根号2+1 75度的正切值为2+根号3 15度的正切值为2-根号3

B． 几何篇：

OOD1．两套：等线套；等角套。

ACBDCAB①等角套（如图所示）：条件 ： ∠AOB＝∠COD 结论：∠AOC＝∠BOD 说明：

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②可以视做由旋转产生的“共点等角”

等线套（如图所示）：条件：AB=CD 结论：AC=BD 说明：可以看做由平移产生。

ACBDABCD

2．两条平行线夹一角。一角=两旁角的和。 条件：AB∥CD 结论：∠P＝∠AEP＋∠PFC

AEBPCFD

3．平行线夹等（同）底三角形：面积相等。同底三角形面积相等，则过顶点的直线与

底所在直线平行。

CDmABn

若：m∥n 则SVABC?SVABD 反之：若 SVABC?SVABD 则：m∥n （反比例模型中的

“垂平”模型的证明用之）

4．已知三角形两边定一边的范围。“大于两边的差，小于两边的和”。 5．三角形的角分线角：

?A 2?A⑵一内一外角分线交角：∠I=

2?A⑶两外平分线交角：∠I=90?

2AAI⑴两内角平分线交角：∠I=90?IBBCACI5.三角形的角平分线：

两边的比=分线段（第三边）的对应比。

BCD 3

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条件：AD为角平分线 结论：

ABBD? ACDC13236．三角形中线性质定理；三中线交点分中线为和两部分。 条件：AD、BE、CF为中线

232 CK=2KF=CF

3A 结论：AK=2KD=AD BK=2KE=BE。

23FkE

BDC7．大名鼎鼎的等面积法：底与高的积相等。三高造相似。三高造辅助圆。 条件：AD、BE、CF为三角形的高—— 结论：AD2BC=BE2AC=CF2AB △ADB∽△CFB等。

B、C、E、F、四点共圆等。

BDFECA8．高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。(两中线垂直的三角形叫做：中垂三角形—— a2?b2?5c2其中a、b为中线所在的边) ①条件：AD、AE分别为三角形的角平分线和高， （AB≠AC）。

结论：∠DAE=

?C??B 2BCEDA②条件：BE、CF为三角形的中线，且BE⊥CF

C2?5 结论：a2?b2?5c2 AC2?BC2A BFE ③如图：∠D=∠A+∠B+∠C

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BDAABC上下：2.04 左右：2.17

9．三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积。 ①在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，

那么 S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEOF

②任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

BAS2BDS1OS3DCS1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4 AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

S4C10．等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；；一垂两等变等腰；一垂三等变

等直。

重要推论：已知三角形中一个角的余弦：这个角的一边3这个角的余弦=另一边的

一半，此三角形为等腰三角形（一边为腰，另一边为底）。

B? 如图：AB?cosBC?VABC为等腰三角形（BC为底） 2A11．直角三角形斜高的求法。斜高=

两直角边的乘积

斜边12．等边三角形面积的求法。S边长为a的等边三角形13．求面积的套路：

⑴．复杂图形：一拆用加；二放用减。

32?a 4BC⑵．三角形：①面积公式；②两边与夹角正弦的

积的一半（遇钝变补）；③铅垂线法（宽高法）； ④等边三角形的面积。⑤利用：相似比的平方 =面积比（借助面积可求的三角形的面积和 相似比求解）。⑥让出去：化归。

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高宽

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⑶．共（有一个角相等）角三角形：面积的比等于等角两边乘积的比（鸟头定理）。

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DA

14．三大蝴蝶： ⑴一线两等边。

BA ECDEBCE条件：△ABC、△ECD为等边三角形，B、C、D共线 则有：△BCE≌△ACD

△DCG≌△ECF △BCF≌△ACG

BAKFGCD 旋转60°形成的全等三角形！！！ ∴△CGF也是等边三角形。 还有：AB∥CE DE∥AC等结论成立！

∠AKB=60° CK平分∠BKD ∠BKC=60°=∠DKC K、F、C、G四点共圆。 ⑵一个三角形两等边。

条件：以△ABC的两边AB、AC为边向外作

等边三角形ADB和等边三角形ACE 则有：△ADC≌△ABE（SAS）∴CD=BE

BNGCMDAE∠DGB=60°∠DGE=120° 又SVADC?SABE分别作高AM、AN，

则AM=AN（面积相等，底等，则高等）， ∴AG是∠DGE的平分线！ ∠DGA=∠EGA=60°

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⑶一个三角形两个正方形。 条件：四边形GBAF和正方形ACDE

GFEA结论：FC=BE FC⊥BE AH是∠FHE的

HD 角平分线（∠FHA=∠EHA=45°）

BC A、F、B、F四点共圆。

15．平行四边形的面积关系。平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一

般找平行于两轴的直线）的距离相等。 ①SVAED?AD1S平行四边形ABCD 2OBEC②平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一般找平行于两轴的直线）的距离相等。

16．平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：AC2?BD2?AB2?BC2?CD2?DA2 17．矩形一边上任意一等到对角线距离的和 =

长?宽

对角线18．矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等。 如图：矩形ABCD内任意一点P，则有：

PA2?PC2?PB2?PD2

ADP19．矩形精典对折图。

如图：矩形ABCD沿对角线，BD对折，C点到了 E点，则一对全等（小直角三角形）一对相似，两 个等腰。例AE：BD=3：5则AB：BC=4：8=1：2 这是因为相似比为3：5，所以EF：FB=3：5， 因此ED=4（勾股）而AD=DF+FA=5+3=8！！

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BCFADBC上下：2.04 左右：2.17

20．正方形垂等图。垂直?相等 横平竖直；改斜归正的辅助线方法。

NFAGMDEBHC21．正方形三兄弟成面积图 = 中正方形之面积。 三个正方形，如图摆放：AN正好过E点。 技巧：AC∥EC∥FN（此题题眼）

△ AGN的面积=△AGE的面积+△EGN的面积 △AGE的面积=△ECG的面积

△EGN的面积=△EGF的面积 ∴结论成立！ 22．两正方形垂直相等图。

如图，ABCD、CGFE是正方形： ① △DCG≌CBCE； ②BE⊥DG。

③BE=GD ④A、B、M、D四点共圆（双歪八）

ADEFMHNBCG条件：三个正方形，AN恰好过E点结论：三角形AGN的面积=正方形ECGF的面积AMDEMFB2CG ∠ADB＝∠AMB=∠AMD=45° △ADK∽△AMD（斜射影）AD?AK?AM

③若DM?ME?MA 则：BD=BG △BDG为等腰三角形。（∠GDC=∠DAM=∠DBM=∠MBG） 此时：MA=MB

④若MA=ME，也能推出③中的结论。

AED223，正方形内含半角（其中产生的两个双八字相似和

等腰直角三角形）——邻边相等的圆内接四边形

HGF内含半角图。

条件：正方形ABCD中，∠EBF=45° 结论：①EF=AE+FC

BKC 8

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