2015年高考真题 - 理科数学（新课标卷）Word版含解析（答案）

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试题类型：A

一.选择题：

1-5 ADCAA 6-10 BADCC 11.12 BD 二、填空题：

13. 1 14.(x?)?y?三.解答题：

17. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{an}的递推公式，可以判断数列{an}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{bn}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.

2试题解析：（Ⅰ）当n?1时，a1?2a1?4S1?3?4a1+3，因为an?0，所以a1=3， 22当n?2时，an?an?an?1?an?1=4Sn?3?4Sn?1?3=4an，即

322225 15.3 16.（6?2，6+2） 4(an?an?1)(an?an?1)?2(an?an?1)，因为an?0，所以an?an?1=2，

所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以an=2n?1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=

1111?(?)，

(2n?1)(2n?3)22n?12n?3111235151711?)] 2n?12n?3所以数列{bn}前n项和为b1?b2???bn=[(?)?(?)???(=

11?. 64n?6考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 18.

∴EG?FG?EF，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG?面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分

222????????????（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位

长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－3，0），E(1,0,

2)，F（－

????????221,0，），C（0，3，0），∴AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，）.…10

22????????????????AE?CF3???????分故cos?AE,CF?????.

3|AE||CF|所以直线AE与CF所成的角的余弦值为

3. ……12分 3考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 19.

∴y关于x的回归方程为?y?100.6?68x.……6分

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 20.【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y?kx?a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用a表示出来，利用直线

PM，PN的斜率为0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的P点坐标.

试题解析：（Ⅰ）由题设可得M(2a,a)，N(?22,a)，或M(?22,a)，N(2a,a).

1x2∵y??x，故y?在x=22a处的到数值为a，C在(22a,a)处的切线方程为

24y?a?a(x?2a)，即ax?y?a?0.

x2故y?在x=-22a处的到数值为-a，C在(?22a,a)处的切线方程为

4y?a??a(x?2a)，即ax?y?a?0.

故所求切线方程为ax?y?a?0或ax?y?a?0. ……5分 （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1,k2. 将y?kx?a代入C得方程整理得x?4kx?4a?0. ∴x1?x2?4k,x1x2??4a. ∴k1?k2?2y1?by2?b2kx1x2?(a?b)(x1?x2)k(a?b)==. ?ax1x2x1x2 当b??a时，有k1?k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以P(0,?a)符合题意. ……12分

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

21.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x分为x?1,x?1,0?x?1研究h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论. 试题解析：（Ⅰ）设曲线y?f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)?0，f?(x0)?0，即

1?313?x0?ax0??0x?,a??，解得. 4?024?3x2?a?0?03因此，当a??时，x轴是曲线y?f(x)的切线. ……5分

4（Ⅱ）当x?(1,??)时，g(x)??lnx?0，从而h(x)?min{f(x),g(x)}?g(x)?0， ∴h(x)在（1，+∞）无零点. 当x=1时，若a??

55，则f(1)?a??0，h(1)?min{f(1),g(1)}?g(1)?0,故x=144

是h(x)的零点；若a??不是h(x)的零点.

55，则f(1)?a??0，h(1)?min{f(1),g(1)}?f(1)?0,故x=144当x?(0,1)时，g(x)??lnx?0，所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数.

(ⅰ)若a??3或a?0，则f?(x)?3x2?a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而

f(0)?15，f(1)?a?，所以当a??3时，f(x)在（0，1）有一个零点；当a?0时，f(x)44在（0，1）无零点.

(ⅱ)若?3?a?0，则f(x)在（0，?aa）单调递减，在（?，1）单调递增，故33当x=?aa1a2a时，f(x)取的最小值，最小值为f(?)=??. 333433a)＞0，即?＜a＜0，f(x)在（0,1）无零点.

433a)=0，即a??，则f(x)在（0,1）有唯一零点；

43315a)＜0，即?3?a??，由于f(0)?，f(1)?a?，所以当

4443①

若f(?②

若f(?③

若f(??535?a??时，f(x)在（0,1）有两个零点；当?3?a??时，f(x)在（0,1）有一个444零点.…10分

3535或a??时，h(x)由一个零点；当a??或a??时，h(x)有两个444453零点；当??a??时，h(x)有三个零点. ……12分

44综上，当a??考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想

22.选修4-1：几何证明选讲

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