抛物线焦点弦的有关结论附答案

[很全]抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则

p2（1）x1x2?；（2）y1y2??p2

4证明：如图，

（1）若AB的斜率不存在时，

p2p依题意x1?x2?,?x1x2?

24A y x o B F p??若AB的斜率存在时，设为k,则AB:y?k?x??，与y2?2px联立，得

2??p?k2p22?222k?x???2px?kx?k?2px??0

24??2??p2p2?x1x2?. 综上：x1x2?.

44yy（2）?x1?1,x2?2，?y12y22?p4?y1y2??p2,

2p2p但y1y2?0,?y1y2??p2 （2）另证：设AB:x?my?p与y2?2px联立，得y2?2pmy?p2?0,?y1y2??p2 222知识点2：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则（1）AB?x1?x2?p;（2）设直线AB的倾斜角为?，则AB?证明：（1）由抛物线的定义知

ppAF?x1?,BF?x2?,

222p。 sin2?A y ?AB?AF?BF?x1?x2?p （2）若??900,则x1?x2?p2p,由（1）知AB?2p? 2sin2?o B F p??若??900,设AB:y?k?x??,与y2?2px联立，得

2?? 1

p?k2p22?222k?x???2px?kx?k?2px??0

2?4?2??pk2?22pk2?1?x1?x2?,?AB?x1?x2?p?，而k?tan?， 22kk2p1?tan2?2p?AB?? 22tan?sin???????知识点3：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

y 证明：过点A、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为 A A1、B1,过AB中点M向准线引垂线，垂足为N, 设以AB为直径的圆的半径为r,

?2r?AB?AF?BF?AA1?BB1?2MN?MN?r.o B F

?以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

知识点4：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。过点A、B分别向抛物线y 的准线引垂线，垂足分别为A1、B1,则?A1FB1?90。

证明借助于平行线和等腰三角形容易证明

0A o B F 知识点5：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦，抛物线的准线与x轴相交于点K，则?AKF??BKF.

y 证明：过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1. A ?AA1//KF//BB1

AKAF?1?而AF?A1A,BF?B1B B1KFB?K o B F A1KA1AA1KB1K???，而?AA1K??BB1K?900 B1KB1BA1AB1B??AA1K∽?BB1K??A1KA??B1KB

??AKF??BKF

2

知识点6：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦，o为抛物线的顶点，连接

AO并延长交该抛物线的准线于点C,则BC//OF.

y A 证明：设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则

?py1p?y1?AB:y?x,?C??,??? x122x1??y1py1pp2 ?yC??????22x1yy12?12po C B F p2由知识点1知y1y2??p?yC???y2?BC//OF 2p?y22逆定理：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦，过点B作BC//OF交抛物线准线于点C,则A、C、O三点共线。

证明略

知识点7：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦，设AF?m,BF?n,则 y 112??. mnpA F 证法：（1）若AB?x轴，则AB为通径，而AB?2p,

?m?n?p?o B 112??. mnpp??（2）若AB与x轴不垂直，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，AB的斜率为k，则l:y?k?x??与

2??p?k2p222?222y?2px联立，得k?x???2px?kx?k?2px??0

24??2??pk2?2p2?x1?x2?,x1x2?. 24k??由抛物线的定义知m?AF?x1?pp,n?BF?x2? 22 3

?11m?n???mnmnx1?x2?p2 ?2pppx1x2??x1?x2??24知识点8：已知抛物线y2?2px?p?0?中，AB为其过焦点F的弦，AF?m,BF?n,则

S??AOB?p24?nm??? y ?m?n??A 证明：设?AFx??,则

o F S?AOB?S?AOF?S?BOF

B ?1p1p2?2?msin??????2?2?sin?

?p4?m?n?sin?ppp2p2而m?1?cos?,n?1?cos?,?mn?sin2?,?sin??mn ?S?p4?m?n?p2p2??AOBmn?4?nm????. ?mn??逆定理：已知抛物线y2?2px?p?0?中，AB为其弦且与x轴相交于点M，AM?m,BM?n,且Sp2??AOB??nm?4???,则弦AB过焦点。 ?mn??证明：设A?x1,y1?,B?x2,y2?，?AMx??,M?t,0?，则

SS111?AOB?S?AOM??BOM=2tmsin??????2tnsin??2?m?n?tsin?

而sin??y1m,sin??y2n,?sin2???y1y2mn ?sin???y1y2?y1y21?mn?S1m?n??AOB?2?m?n?tmn?2mnt?y1y2 而S???p2AOB4?nm?1??m?n?p?yp2m?n?2??2mn2?t1y2?2① ??又可设

l:x?ay?t?y2?2px??y2?2pay?2pt?0?y1y2??2pt② ?

若

4

由①②得t?p?p??AB恒过焦点?,0? 2?2?例1、过抛物线y2?4x的焦点做直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果x1?x2?6，那么AB?_________. 8

变式：过抛物线y2?4x的焦点做直线交抛物线于A,B两点，如果AB?8，O为坐标原点，则?OAB的重心的横坐标是_________. 2

例2、直线l经过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA',BB'，垂足分别为A',B'，如果A'B'?a，Q为A'B'的中点，则QF?_________.（用a表示）

a 2变式：直线l经过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA',BB'，垂足分别为A',B'，如果AR?a,BF?b，Q为A'B'的中点，

a2?b2则QF?_________.（用a,b表示）

2????????2O例3、设坐标原点为，过焦点的直线l交抛物线y?4x于A,B两点，OA?OB? -3 例4、过抛物线y?ax(a?0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p,q，则

114??_____.

apqB′(x2,y2)2yA′(x1,y1)

x小结：

（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；

（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.

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