第六章 数列第一讲（等差数列及其前n项和）

第六章 数列

第一讲 数列的概念及等差数列

考纲解析

1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）； 了解数列是自变

量为正整数的一类函数.

2. 了解数列的通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公

式写出数列的前n项；理解an与Sn之间的转化关系。 3. 理解等差数列的概念。

4. 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。等差数列的基本量是首项a1和公差d，利

用公式，对a1，d，an，Sn，n这五个量，能“知三求二”。

5. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应问题； 6. 了解等差数列与一次函数的关系。等差数列的通项公式可化为an?dn?c，当d?0时，它是关于n的一次函数，公差为一次函数的斜率；当d?0时，它是常数函数。

考点梳理

一．数列的概念

1．数列定义：按一定 排列的一列数叫做数列．数列中的每个数都叫这个数列的项． 从函数的观点看，数列?an?是一类特殊的函数an?f(n)，它的定义域为正整数集N*

或N*的有限子集{1,2,3,?,n}．

数列是特殊的函数，它的表示法类似于函数，有解析法（通项公式）、图像法、列表法、递推法．

2．数列的常用表示法 （１）通项公式

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的 ．记作：an?f(n)，并非每一数列都有通项公式，也并非都是唯一的．

（２）递推公式

如果已知数列?an?的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个式子叫做数列?an?的 ．如：

a1?1，an?1?2an?1

３. 数列的分类

根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列： 的数列；无穷数列： 的数列．

按照数列的每一项随序号的变化的情况分类：

递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；（an?1?an）

1

：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；（an?1?an） ：各项都相等的数列；（an?1?an）

：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项． 二．等差数列 1．等差数列的概念

如果一个数列从______起，每一项与它的_______的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的______． 2．通项公式与前n项和公式

⑴通项公式an?，a1为首项，d为公差．

_____________d2dn?(a1?)n2 ⑵前n项和公式Sn?_____________=__________________=23．等差中项

如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．

即：A是a与b的等差中项?_____________?a，A，b成等差数列．

（小提示：三个数成等差数列时，一般设为a?d，a，a?d；四个数成等差数列时， 一般设为a?3d，a?d，a?d，a?3d）

4. 等差数列的常用性质

⑴数列?an?是等差数列，则数列?an?p?、?pan?（p是常数）都是____________； ⑵数列?an?是等差数列，则an?am?*___________. ．．．

⑶若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则__________________； 若m?n?2p(n,m,p?N)，则_____________________．

⑷数列?an?是等差数列，则Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,S4m?S3m……也成等差数列。 ⑸两个等差数列{an}与{bn}中,Sn,Tn分别是它们的前n项和,则

anS2n?1? bnT2n?1⑹当项数为2n(n?N?)，则S偶-S奇=nd,S偶S奇=an?1； an=n?1. n当项数为2n?1(n?N?)，则S奇-S偶=an,S偶S奇课前热身

1．下面有四个命题：

①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；

2345n②数列，，，，…的通项公式是an＝；

3456n＋1

2

③数列的图象是一群孤立的点；

④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．

其中正确命题的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 ２．已知{an}是等差数列，a2?3,a7?6，则公差是（ ）

A．

3 5 B．

5 3

C．?3 5

D．?5 3

３．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2?4,S4?20，则公差是（ ）

A．2

B．3

C．6

D．7

４．已知等差数列{an}的前三项分别为a?1,a?1,2a，则a的值为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

５．已知等差数列{an}中．S7?35，则a4? （ ） A．8

B．7

C．6

D．5

重点难点方法

一、数列的函数特征

na

例1．已知数列{an}的通项an＝(a，b，c均为正实数)，则an与an＋1的大小关系是________．

nb＋c

思路点拨： 用函数的单调性来研究，注意n∈N* 听课笔记：

.

归纳点评：数列是一种特殊的函数，故它具有函数的性质，可用函数的方法研究它。

an－1变式训练：若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3且n∈N*)，则a23＝( )

an－2

A．1 B．2

1－

C． D．2987

2

二、等差数列基本量的计算

例2．（1）等差数列{an}中，已知a12?23，a42?143，an?263，求n

（2）已知等差数列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0,求{an}前n项和sn. 思路点拨 等差数列的基本量是首项a1和公差d，利用通项公式、前n项和公式列方程求解，对a1，d，an，Sn，n这五个量，能“知三求二”． 听课笔记

3

归纳点评 等差数列的基本量是首项a1和公差d，可利用方程（组）的思想求解。等差数列的通项公式也可看成关于正整数n的一次函数，可用函数的思想求解。

变式训练： 已知等差数列{an}中，a3?a7?a10?8,a11?a4?4，则前13项和S13?

A．168

B．156

C．152

D．78

三、等差数列性质的应用

例3．（1）在等差数列{an}中，a1?3a8?a15?120，则2a9?a10?( )

A.24 B.22 C.20 D.?8

a18?a19?a20?78，a1?a2?a3??24，（2）等差数列{an}中，则此数列前20项和等于( )

A.160 B.180 C.200 D.220

（3）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9等于（ ）

A．63 B．45 C．36 D．27

思路点拨 （１）由通项公式化归基本量a1，d求解．或由角标公式可知a1?a15?2a8，

2a9?a8?a10代入化解求解．

（２）S20?(a1?a20)?20，而a1?a20?a2?a19?a3?a18．

2 （３）根据等差数列的性质Sm,S2m?Sm,S3m?S2m……成等差数列求解． 听课笔记

归纳点评 在这类题中，可用通项公式、前ｎ项和公式化归为基本量a1，d求解．但利用等

4

差数列的性质求解，会事半功倍． 变式训练：

两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比

A．

Sn5n?3a，则5的值是 （ ） ?Tn2n?7b528485323 B． C． D． 17252715

四、等差数列的判定或证明

例4．在数列{an}中，a1?1，an?1?1?12*，bn?，其中n?N. 4an2an?1222 (1) 求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列?an?的通项公式。 思路点拨（１）由bn?22an?1得bn?1?2an?1?1，证明bn?bn?1?2an?12an?1?1?为常数．

（２）由数列{bn}的通项公式求出an 听课笔记

归纳点评 等差数列的常用判定方法

⑴定义法：an?1?an?d（n?N，d是常数）??an?是等差数列；

?⑵中项法：2an?1?an?an?2(n?N)??an?是等差数列.

*⑶通项公式法：an?dn?c（n?N*）??an?为等差数列；（其中d为公差，当d?0时，为常数数列）

⑷前n项求和法：Sn?pn?qn（n?N*）??an?为等差数列；（Sn为不含常数项二

2次函数，当p?0时，为常数数列） 变式训练：

已知在数列?an?中，a1?1，a3?a7?18，且an?1?an?1?2an，求数列?an?的通项公式．

五、等差数列和的最值问题

例5．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且a16?a17?a18?a9??36，

（１） 求Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值；

5

（２） Tn?a1?a2???an，求Tn 思路点拨

(1) 列方程求出a1和公差d．可按下列三种思路求解。

思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak≥0且ak+1＜0；

思路之二是通过等差数列的单调性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解； 思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解． （2）分正项、负项分别求和。 听课笔记

归纳点评 求解等差数列{an}的最值问题， （1）若aan?01?0,d?0，则Sn有最大值???a0 ；若a1?0,d?0，则S1最小．

?n?1?（2）若a?an?01?0,d?0，则Sn有最小值?? ；若?aa1?0,d?n?1?00，则S1最大．

（3）视Sn为n的二次函数，利用二次函数的图象与性质求解。

变式训练

设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a1??11,a4?a6??6,则当Sn取最小值时n等于（A．6

B．7

C．8

D．9

及时突破

1.{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝

( )

A．－2 B．－11

2 C.2

D．2

6

）

2.在等差数列{an}中，已知a3?2，则该数列的前5项之和为 （ ） （A）10 （B）16 （C）20 （D）32

3. 设{an}是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（ ） A、120 B、105 C、90 D、75

4. 一个等差数列共10项；其中奇数项的和为125，偶数项的和为150，则第6项是______． 5．（2011天津卷文）已知?an?为等差数列，Sn为其前n项和，n?N，若a3?16,S20?20,*则S10的值为_______．

6．已知数列{an}的通项an?11?2n，则a1?a2?a3???a10? ．

课时训练

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．已知数列{an}中，a1＝1，an+1 =an+2，则a51 = ( )

A．49 B．89 C．99 D．101

2．设数列{aSn}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列{nn

}的前11项和为( )

A．－45 B．－50 C．－55 D．－66

3．设S是等差数列{aann}的前n项和，若 55S9a＝，则等于( )

39S5

A．1 B．－1

C．2 D.1

2

4．已知数列{an}，{bn}是等差数列，a1＝2，b1＝2，a2+ b2=５,则a37+ b37= ( )

A．40 B．37 C．－32 D．－37 5．（2011全国２卷4）设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，

Sk?2?Sk?24，则k= ( )

Ａ．8 Ｂ．7 Ｃ．6 Ｄ．5

6．数列{a中，a1

n}3＝2，a7＝1，且数列{a＋1

}是等差数列，则a11等于 ( )

nA．－25 B．12 C．23

D．5

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝3，S6＝24，则S9＝______．

8．在－8和10之间插入a1，a2 ，a3三个数，使这五个数成等差数列，则a2=_______．9．在等差数列{an}中，已知a5=10，a12>31，则公差d的范围是__________． 10．等差数列{an}中， S12=8 S4，且d≠0,则

a1d?_________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分） 11．已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，a5＝15，a10＝25.

(1)求通项an ；

(2)若Sn＝112，求n.．

7

12．一个等差数列{an}中前4项和为40，最后4项的和为80，所有项和210，求项数n . 13．已知数列{an}中，a1?13?，数列an?2?，,(n?2,n?N)数列{bn}满足

an?15bn?2(n?N?) an?1（1）求证数列{bn}是等差数列，并求an；

（2）求数列{bn}的前n项和Tn取最小值时的序号n的值.

参考答案：

考点梳理

一．数列的概念

1．次序 2．通项公式 4．递推公式 6．项数有限；项数无限；递减数列；常数列；摆动数列．

二．等差数列

?1)第二项 前一项 公差 a1?(n d

(a1?an)nn(n?1) na1?d 22a?an?2a p2A?a?b 等差数列 (n?m)d am?an?ap?aq m课前热身

n＋1

1．选A. ①错误，如an＋2＝an＋an＋1，a1＝1就无法写出a2；②错误，an＝；③正确；④

n＋2

两数列是不同的有序数列．故应选A. ２．A.由?an?是等差数列，d?３．B.?a7?a23?，故选A. 7?25?S2?2a1?d?4，d?3，故选B.

S?4a?6d?20?41４．C.由中项公式得2(a?1)?a?1?2a ，?a?3 ５．D．S7?(a1?a7)?7?35，又?a1?a7?2a4，?a4?5

2重点难点方法

8

例1．∵an＝

naaca

＝，是减函数，∴an＝是增函数，∴an

cncnb＋c

b＋b＋nn

11

变式训练：选C.由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，

22111

a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6为周期重复出现，故a23＝ 222

例2．（１）解：（方法一）设等差数列{an}的公差为d，则?∴an?a1?(n?1)d??21?(n?1)?4?263，解得n?72 （方法二）设等差数列{an}的公差为d，则d??a1?11d?23?a1??21，解得?

a?41d?143?d?4?1a42?a12143?23??4

42?1230∴an?a12?(n?12)d，又an?263，解得n?72

???a1?2d??a1?6d???16（２）解：设?an?的公差为d，则 ?

a?3d?a?5d?0??11?a12?8da1?12d2??16?a1??8,?a1?8或?即? 解得?

?d?2,?d??2?a1??4d因此Sn??8n?n?n?1??n?n?9?，或Sn?8n?n?n?1???n?n?9? 变式训练： 选B.??a1?2d?a1?6d?(a1?9d)?8460，?d?,a1?，

a?10d?(a?3d)?477?116013(13?1)4???156 727例3．（1）（方法一）a1?3a8?a15?5a1?35d?120，a1?7d?24，又2a9?a10?a1?7d ?S13?13? ∴2a9?a10?24，选A。

（方法二）由m?n?p?q? am?an?ap?aq；m?n?2p?am?an?2ap 得a1?3a8?a15?3a8?120，∴a8?24，又2a9?a10?(a8?a10)?a10?a8?24 （2）∵a1?a2?a3??24，a18?a19?a20?78，

∴a1?a2?a3?a18?a19?a20?3(a1?a20)?54，a1?a20?18，

(a1?a20)?20=180，选B。

2（3）因为a7?a8?a9?S9?S6，根据等差数列的性质Sm,S2m?Sm,S3m?S2m……成等差数

∴S20?S9?S6成等差数列，S3=9，S6?S3=27所以a7?a8?a9?S9?S6=45。列，可知S3，S6?S3，

9

9a2a2?S9?48。 变式训练：2．选B ．（方法一）5?5?25b52b5(b?b)?9T9192(a1?a9)?（方法二）由公式

anS2n?1a5S2?5?1S948得? ???T25bTbnT2n?12?5?159例4． (1) 由bn?22an?1?12an?12an?1?12an?14an?1222 ? ??2为常数．∴数列?bn?为等差数列．??12an?1?12an?1?12?(1?)?12an?1?14an?1得bn?1?2，∵bn?bn?1?2?2

(2)∵b1?22n?1?2n ，?an? ?2，?bn?b1?(n?1)?2?2n，即bn?2an?12a1?12n?an?1?an?an?an?1，变式训练：解：∵an?1?an?1?2an，即数列?an?是等差数列，∵a1?1，a3?a7?a1?2d?a1?6d?18，∴d?2，∴通项公式an?2n?1

例5．（1）∵a16?a17?a18?3a17??36，a17??12?a1?16d，a9??36?a1?8d ∴a1??60,d?3，sn?32123n?n，由二次函数性质知，当n=20或n=21时， 22Sn有最小值－630．

（２）由（１）得an?3n?63，令an?3n?63?0，则n?21，即前21项为负项，22

项之后均为正项，所以

Tn?a1?a2???an?a1?a2???a21?a22???an 3123?S21?Sn?S21＝n2?n?1260

22

a1??11?22变式训练：选A．解：??，?d?2，Sn?n?12n?(n?6)?36?a4?a6?2a1?8d??6∴当n?6时取最小值． 及时突破

1．选B．解：a7?(a7?a1)??1，?a1?1，?d??2．选A．S5?

1 2(a1?a5)?5?a3?5?10

210

3．选B．?a1?a3?2a2?a2?5,a1a3?16，?d?3,a1?2，?a11+a12+a13＝３a12＝105

4．填３0.∵S偶-S奇=5d，∴d?5,a1?5∴a6?30. 或S偶?a2?a4?a6?a8?a10?5a6?150 ∴a6?30．

?a3?a1?2d?165．填110.??，?a1?20,d??2，?S10?110．

S?20a?190d?201?206．填50．?a1?9,d??2,令an?11?2n?0?n?5.5，a1?a2?a3???a10

?a1???a5?a6???a10?S5?S10?S5?25?0?25?50

课时训练

1．选D.∵an+1 －an = 2∴数列{an}是公差为2的等差数列,所以a51 =101. 2．选D.∵an＝－2n＋1,∴a1＝－1,d??2,∴Sn?(a1?an)?nS??n2,?n??n

2nSn数列{}是首项为?1，公差为?1的等差数列，前11项和为－66．

n

9(a1＋a9)

2S99a595

3．选A．由已知得：＝＝＝×＝1.

S55(a1＋a5)5a359

2

4．选A．∵数列{an}，{bn}是等差数列，数列?an?bn?是等差数列，首项为a1＋b1＝4，公差为１，?a37?b37?4?(37?1)?1?40

?a1?1,d?2，5．选D．∴Sk?2?Sk?ak?2?ak?1?a2??2k4??4241?k4，k?5．

111111

6．选B．数列{}是等差数列，令bn?，则b3?? ?，b7?an＋1a7?12an?1a3?13b7?b311221，?b11?b3?(11?3)d?，?b11??，?a11? ?a11?137?324327．解：?S3,S6?S3,S9?S6成等差数列，?S9?63． ?d?8．解：∵a2是－8和10的等差中项，∴a2＝1. 9．解:∵an= a5+(n－5)d，∴a12＝a5+7d >31∴d >3.

11－319S11a1＋a112a62×a619

∵＝＝＝＝，∴＝. T11b1＋b112b64×b64111－34110．解：?12a1?66d?8(4a1?6d)，?a19? d1011．(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，∵a5＝15，∴a1＋4d＝15，① ∵a10＝25，∴a1＋9d＝25，② 解①②组成的方程组得：a1＝7，d＝2. ∴an＝7＋(n－1)×2＝2n＋5.

11

1

(2)∵Sn＝112，∴7n＋n(n－1)×2＝112.即：n2＋6n－112＝0，解之得n＝－14(舍去)

2或n＝8，故n＝8.

12．解:?a1?a2?a3?a4?40，an?an?1?an?2?an?3?80， 又?a1?an?a2?an?1?a3?an?2?a4?an?3，?a1?an?30?Sn?(a1?an)n?210 2?n?14

13．解：（１）∵bn?22，∴bn?1?， an?1an?1?12222∴bn?bn?1?????2∴数列{bn}是公差为２的等差

1an?1an?1?12??1an?1?1an?1222n?5数列，b1? ??5，?bn?2n?7??an?a1?1an?12n?7n(n?1)（２）?Tn??5n??2?n2?6n?(n?3)2?9，?n?3时Tn取最小值

212

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