正弦定理和余弦定理及其应用

第6节 正弦定理和余弦定理及其应用

课时训练 练题感 提知能 【选题明细表】

一、选择题

1.(2013广东湛江十校联考)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b=2,B=30°,C=15°,则a等于( A ) (A)2 (B)2 (C)- (D)4 解析:A=180°-30°-15°=135°, 由正弦定理

=

,得=,

即a=2.故选A.

2.(2014四川攀枝花模拟)已知△ABC的一个内角是120°,三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积是( D ) (A)10 (B)30 (C)20 (D)15 解析:设A、B、C所对边长分别为b-4,b,b+4,

则cos 120°=∴b2-10b=0,

∴b=10或b=0(舍去), ∴b=10,b-4=6,

,

∴三角形的面积

S=×10×6×=15.故选D.

3.已知△ABC,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶,则此三角形的最大内角的度数是( B )

(A)60° (B)90° (C)120° (D)135°

解析:依题意和正弦定理知,a∶b∶c=1∶1∶,且c最大. 设a=k,b=k,c=k(k>0), 由余弦定理得

,cos C=

=0,

又0°<C<180°,所以C=90°,故选B.

4.在△ABC中,若lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则△ABC的形状是( D )

(A)直角三角形 (B)等腰直角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰三角形 解析:由条件得

=2,

即2cos Bsin C=sin A. 由正、余弦定理得,2·

·c=a,

整理得c=b,故△ABC为等腰三角形.

故选D.

5.在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC等于( C ) (A) (B) (C) (D)2 解析:∵A、B、C成等差数列, ∴A+C=2B,∴B=60°. 又a=1,b=, ∴

=

,

∴sin A=

=×

=,

∴A=30°,∴C=90°. ∴S△ABC=×1×=.故选C. 6.(2011年高考四川卷)在△ABC中,

sin2 A≤sin2 B+sin2 C-sin Bsin C,则A的取值范围是( (A) (B) (C)

(D)

解析:在△ABC中,

由正弦定理及sin2 A≤sin2 B+sin2 C-sin Bsin C 可得,a2≤b2+c2-bc,即b2+c2-a2≥bc. ∴cos A=

≥,

C )

∵0<A<π, ∴0<A≤.故选C.

7.(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( D ) (A)10 (B)9 (C)8 (D)5

解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0, 即cos2

A=,

又因为△ABC为锐角三角形, 所以cos A=.

在△ABC中,由余弦定理知72=b2+62-2b×6×, 即b2-b-13=0, 即b=5或

b=-(舍去), 故选D.

8.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高是( A ) (A)米 (B)

米

(C)200米 (D)200米 解析:如图所示,AB为山高,

CD为塔高,

则由题意知,在Rt△ABC中, ∠BAC=30°,AB=200 米. 则

AC=

=

(米).

在△ACD中,∠CAD=60°-30°=30°,∠ACD=30°, ∴∠ADC=120°. 由正弦定理得

∴

CD=故选A. 二、填空题

9.(2012年高考北京卷)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b= .

解析:由已知根据余弦定理b2=a2+c2-2accos B 得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(-), 即:15b-60=0,得b=4. 答案:4

=

,

=(米).

10.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边长,已知a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,则A= . 解析:由题意知b2=ac, ∵a2-c2=ac-bc, ∴a2-c2=b2-bc, 即b2+c2-a2=bc, ∴cos A=

∴

A=. 答案

:

11.(2013四川外国语学校月考)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边

,B=,且sin A∶sin C=3∶1,则的值为 . 解析:sin A∶sin C=a∶c=3∶1, ∴a=3c. 由余弦定理 cos

=

∴

=, =,

=,

7c2=b2, ∴=7,

∴

=. 答案

:

12.在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c, 若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B),且a⊥b,则B= . 解析:由a⊥b,得a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0, 利用正弦定理,可得

sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B= sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0, 即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B, 因为sin A≠0,故cos B=,因此

B=. 答案

:

13.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c 若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC的形状为 . 解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得 sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A, 2sinBcos A=2sin Acos A. ∴cos A=0或sin A=sin B. ∵0<A、B<π,∴A=或A=B,

∴△ABC为直角三角形或等腰三角形. 答案:等腰或直角三角形

三、解答题

14.(2013年高考北京卷)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A. (1)求cos A的值. (2)求c的值.

解:(1)因为

a=3,b=2,∠B=2∠A, 所以在△ABC中,由正弦定理得所以

=,

=

.

故cos A=.

(2)由(1)知cos A=,所以sin A=又因为∠B=2∠A, 所以cos B=2cos 2A-1=.

=.

所以sin B=

在△ABC中,

=.

sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=. 所以c=

=5.

15.如图所示,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰

角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°

,AC=0.1 km.

(1)试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离会相等? (2)求B、D的距离.

解:(1)如图所示,在△ADC中

,

∠DAC=30°,

∠ADC=60°-∠DAC=30°, ∴CD=AC=0.1 km,

又∠BCD=180°-60°-60°=60°, ∴∠CED=90°,

∴CB是△CAD底边AD的中垂线, ∴BD=BA.

(2)在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°, 由正弦定理得

∴

AB=

=

=(km),

,

∴

BD=(km).

km.

故B、D间的距离是

16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c成等比数列; (2)若a=1,c=2,求△ABC的面积S. (1)证明:∵在△ABC中,

sin B(tan A+tan C)=tan Atan C, ∴sin B

=

·

,

∴sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C, ∴sin Bsin(A+C)=sin Asin C, ∵A+C=π-B, ∴sin(A+C)=sin B, ∴sin2 B=sin Asin C, 由正弦定理得,b2=ac, ∴a,b,c成等比数列. (2)解:∵a=1,c=2, ∴b2=ac=2, ∴

b=, ∴cos B=

=

=,

∵0<B<π, ∴sin B=

=

=.

∴△ABC的面积S=acsin B=×1×2×=.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j4b1.html