2012年高考真题理科数学解析分类汇编10圆锥曲线

2012年高考真题理科数学解析分类汇编10 圆锥曲线

一、选择题

1.【2012高考浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线

C

：

xy2??1（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，a2b2的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是

A.

2直线F1B与C线与x轴交与

236 B。 32C.2 D. 【答案】B

3 b?y?x?b,?bacbc?cy?x?b(,)，联【解析】由题意知直线F的方程为：，联立方程组得点QB?1cc?ac?axy???0??abb?y?x?b,?acbca2cc2?c,)，所以PQ的中点坐标为(2,)，所以PQ的垂直平分线立方程组?得点P(?c?ac?abb?x?y?0??aba2c2ca2ca2??(x?2)，令y?0，得x?c(1?2)，所以c(1?2)?3c，所以方程为：y?bbbbba2?2b2?2c2?2a2，即3a2?2c2，所以e?6。故选B 22.【2012高考新课标理8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（ ）

(A)2 (B) 22 (C)? (D)?

【答案】C

22【解析】设等轴双曲线方程为x?y?m(m?0)，抛物线的准线为x??4，由AB?43,则

yA?23,把坐标(?4,23)代入双曲线方程得m?x2?y2?16?12?4，所以双曲线方程为

——1——

x2y2??1，所以a2?4,a?2，所以实轴长2a?4，选C. x?y?4，即4422x2y23a3.【2012高考新课标理4】设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上一

2ab?点，?F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

(A)12? (B) (C) 23?(D)? ?【答案】C

【解析】因为?F2PF1是底角为30的等腰三角形，则有F2F1?F2P,

?，因为

?PF1F2?300，所以?PF2D?600,?DPF2?300，所以F2D?11PF2?F1F2，即223a13ac33?c??2c?c，所以?2c，即?，所以椭圆的离心率为e?，选C. 222a444.【2012高考四川理8】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点

M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ）

A、22 B、23 C、4 D、25

【答案】B

【解析】设抛物线方程为y?2px，则点M(2,?2p)Q焦点?22?p?点M到该抛物线焦点的距离为3，,0?，

?2?p??? ?2???4P?9， 解得p?2，所以OM?4?4?2?23.

2??[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线

的距离).

x2y23225.【2012高考山东理10】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心学率为.双曲线x?y?1的渐

ab2近线与椭圆C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2?1 ??1 （B）??1 （C）??1 （D）?（A）

20582126164【答案】D

——2——

【解析】因为椭圆的离心率为

32232123c32222，所以e??，c?a，c?a?a?b，所以b?a，

4442a2x2x2x2x25x2???1，所以即a?4b，双曲线的渐近线为y??x，代入椭圆得2?2?1，即

4b2b24b2ab22x2?4222224b,x??b，y2?b2，y??b，则第一象限的交点坐标为(b,b)，所以四边形

55555522x2y21622??1，选D. 的面积为4?b?b?b?16，所以b?5，所以椭圆方程为

205555x2y26.【2012高考湖南理5】已知双曲线C ：2-2=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C

ab的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 20520805208020【答案】A

x2y2【解析】设双曲线C ：2-2=1的半焦距为c，则2c?10,c?5.

ab又?C 的渐近线为y??222bbx，点P （2,1）在C 的渐近线上，?1??2，即a?2b. aax2y2又c?a?b，?a?25,b?5，?C的方程为-=1.

205【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

x2y2?2?1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦7.【2012高考福建理8】已知双曲线

4b点到其渐近线的距离等于 A.

5 B. 42 C.3 D.5

【答案】Ａ．

考点：双曲线的定义。 难度：中。

分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。

222【解析】由抛物线方程y?12x易知其焦点坐标为(3,0)，又根据双曲线的几何性质可知4?b?3，所

以b?5，从而可得渐进线方程为y??故选Ａ．

5|?5?3?2?0|x，即?5x?2y?0，所以d??5，25?4——3——

8.【2012高考安徽理9】过抛物线y2?4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若AF?3，则?AOB的面积为（ ）

(A)2 (B) 22 (C)

32 (D)22 2【答案】C

【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。

【解析】设?AFx??(0????)及BF?m；则点A到准线l:x??1的距离为3，

得：3?2?3cos??cos??123?， 又m?2?mcos(???)?m?31?cos?21132232?AOB的面积为S??OF?AB?sin???1?(3?)?。 ?222329.【2012高考全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2A +=1 B +=1C +=1 D +=1 161212884124【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数a,b,c，从而得到椭圆的方程。

a2??4，【解析】椭圆的焦距为4，所以2c?4,c?2因为准线为x??4，所以椭圆的焦点在x轴上，且?cx2y2??1，选C. 所以a?4c?8，b?a?c?8?4?4，所以椭圆的方程为84222210.【2012高考全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，

则cos∠F1PF2= (A)

1334 （B） (C) (D) 4545【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

x2y2??1，所以a?b?2,c?2，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的【解析】双曲线的方程为22右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=22,所以解得|PF2|=22，|PF1|=42，所以根据余弦定理得

cosF1PF2?(22)2?(42)2?142?22?42?3,选C. 411.【2012高考北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、

——4——

B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为 【答案】3

【解析】由y2?4x可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为60?，所以直线的斜率为k?tan60??3，利

?A(3,23)??y?3x?3???123，因此用点斜式，直线方程为y?3x?3，将直线和曲线联立?2?)?B(,??y?4x3?3S?OAF?11?OF?yA??1?23?3． 22二、填空题

x2y212.【2012高考湖北理14】如图，双曲线2?2?1 (a,b?0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，

ab两焦点为F1，F2. 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A,B,C,D. 则

（Ⅰ）双曲线的离心率e? ；

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值

S1? . S2【答案】e?5?1S12?5; ?2S22考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算. 【解析】（Ⅰ）由于以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，因此点O到直线F2B2的距离为a，又由于虚轴两端点为B1，B2，因此OB2的长为b，那么在?F2OB2中，由三角形的面积公式知，

111bc?a|B2F2|?a(b?c)2，又由双曲线中存在关系c2?a2?b2联立可得出(e2?1)2?e2，根222据e?(1,??)解出e?5?1; 22（Ⅱ）设?F2OB2??,很显然知道?F2A2O??AOB2??,因此S2?2asin(2?).在?F2OB2中求得

——5——

22代入椭圆方程得m?5y?4my?16?0，

?? 设P?x1,y2?,Q?x2,y2?，则y1,y2是上面方程的两根，因此

4m16y?y??, 1222m?5m?5??????????又B2P??x1?2,y1?,B2Q??x2?2,y2?，所以 y1?y2???????????B2P?B2Q??x1?2??x2?2??y1y2

??my1?4??my2?4??y1y2

2 ?m?1y1y2?4m?y1?y2??16

?? ??16?m2?1?m2?516m2?2?16 m?516m2?64 ??

m2?5??????????由PB2?QB1,得B2P?B2Q?0,即16m2?64?0，解得m??2，

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：x?2y?2?0和x?2y?2?0。 26.【2012高考四川理21】(本小题满分12分)

?MAB，设动点M的轨迹为如图，动点M到两定点A(?1,0)、B(2,0)构成?MAB，且?MBA?2C。

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y??2x?m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|?|PR|，求

|PR|的取|PQ|yMA值范围。

OBx

【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想 [解析]（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,y?0. 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3） 当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,

——16——

|y||y|x?1??2tan?MAB|y|2 x?2有tan∠MBA=,即1?()1?tan2?MABx?12化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）

22

综上可知，轨迹C的方程为3x-y-3=0（x>1）…………………5分

?y??2x?m22x?4mx?m?3?0。(II)由方程?2消去y，可得（*） 2?3x?y?3?0由题意，方程（*）有两根且均在（1，+?）内，设f(x)?x2?4mx?m2?3

??4m??2?1??所以?f(1)?12?4m?m2?3?0

???(?4m)2?4(m2?3)?0???解得，m>1,且m?2

设Q、R的坐标分别为(x0,y0),(xR,yR)，由PQ?PR有

xR?2m?3(m2?1),x0?2m?3(m2?1)

1)2PRxR2m?3(m?1)4m?????1?所以

2PQxQ2m?3(m?1)112?3(1?2)2?3(1?2)mm22?3(1?由m>1，且m?2，有

1??1?42?3(1?1)m2?7?43,且?1??7. 12?（31?2）m4所以

PR的取值范围是?1,7??(7,7?43)................................................ 12分 PQ[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。 27.【2012高考新课标理20】（本小题满分12分）

设抛物线C:x?2py(p?0)的焦点为F，准线为l，A?C，已知以F为圆心，

2FA为半径的圆F交l于B,D两点；

0（1）若?BFD?90，?ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；

（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，

——17——

求坐标原点到m,n距离的比值.

【答案】（1）由对称性知：?BFD是等腰直角?，斜边BD?2p

点A到准线l的距离d?FA?FB?2p

1 S?ABD?42??BD?d?42?p?2

2 圆F的方程为x2?(y?1)2?8

2x0p （2）由对称性设A(x0,)(x0?0)，则F(0,)

22p22x0x0p2 点A,B关于点F对称得：B(?x0,p?)?p????x0?3p2

2p2p23pp?p3p3p?0 )，直线m:y?22x??x?3y? 得：A(3p,2223px2x333pp x?2py?y?,) ?y????x?p?切点P(362pp332 直线n:y?p33p3?(x?)?x?3y?p?0 63363p3p:?3. 26坐标原点到m,n距离的比值为

28.【2012高考福建理19】如图，椭圆E：

过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.

的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.

（Ⅰ）求椭圆E的方程.

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

解答：（Ⅰ）设c?a2?b2 ——18——

则e?c1??a?2c?3a2?4b2 a2 ?ABF2的周长为

AB?AF2?BF2?8?AF1?AF2?BF1?BF2?8?4a?8?a?2,b?3,c?1

x2y2 椭圆E的方程为??1

43（Ⅱ）由对称性可知设P(x0,y0)(y0?0)与M(x,0)

x2y23 ??1?y?3?x2?y???4343x3x?k??0

4y0343?x24 直线l:y?y0??3x03(1?x0)(x?x0)?Q(4,) 4y0y0?????????3(1?x0) MP*）3 )?MQ?0?(x?0x)(?x4)?0y??0?x(?0x(x?1)?(x?1)（

y0 （*）对x0?(?2,2)恒成立?x?1， 得M(1,0)

29.【2012高考上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x?y?1． （1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，求证：OP?OQ；

22（3）设椭圆C2：4x?y?1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM?ON，求证：O到直线

22MN的距离是定值.

[解]（1）双曲线C1:x212?y2?1，左顶点A(?22,0)，渐近线方程：y??2x.

2(x?22 过点A与渐近线y?2x平行的直线方程为y?)，即y?2x?1.

??y??2x?x?? 解方程组?，得?1??y?2x?1?y?224. ……2分

28 所以所求三角形的面积1为S?1|OA||y|?2 故

|b|2. ……4分

（2）设直线PQ的方程是y?x?b.因直线与已知圆相切，

?1，即b2?2. ……6分

由??y?x?b22，得x?2bx?b?1?0. 22?2x?y?1?x1?x2?2b 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则?.（lb ylfx） 2xx??b?1?12 又2，所以

OP?OQ?x1x2?y1y2?2x1x2?b(x1?x2)?b2

——19——

?2(?b2?1)?b?2b?b2?b2?2?0，

故OP⊥OQ. ……10分

（3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=

22，则O到直线MN的距离为

2233.

当直线ON不垂直于x轴时，

设直线ON的方程为y?kx（显然|k|?2??y?kx?x? 由?2，得?224x?y?1???y?2同理|OM|?1?k22k2?1），则直线OM的方程为y??1x. k1?k24?k214?k2k24?k22，所以|ON|?.

. ……13分

3k2?3k2?1 设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2?|ON|2)d2?|OM|2|ON|2， 所以d12?1|OM|21?|ON?|2?3，即d=

33.

综上，O到直线MN的距离是定值. ……16分

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为y??x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．

30.【2012高考陕西理19】本小题满分12分）

x2?y2?1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率。 已知椭圆C1:4（1）求椭圆C2的方程；

????????（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB?2OA，求直线AB的方程。

y2x2??1?a?2? 【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆C2的方程为a2， 4a2?433a?4?其离心率为2，故，则， a2y2x2??1 C故椭圆2的方程为164（Ⅱ）解法一 A,B 两点的坐标分别为?xA,yA?,?xB,yB?， 由AB?2OA及（Ⅰ）知，O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上， 因此可设直线AB的方程为y?kx.

x242??y2?1中，得1?4k2x2?4，所以xA将y?kx代入， 241?4k??——20——

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