2012全国各地中考数学解析汇编--第44章 阅读理解型问题B(已排版)

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（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）

四十四章 阅读理解型问题B

（2012浙江省嘉兴市，23，12分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′ C′ ,即如图①,∠BAB′ ＝θ,换记为[θ,n].

(1)如图①,对△ABC作变换[60°

得△AB′ C′ ,则S AB 'C :S ABC =_______;直线BC与

直线B′C′所夹的锐角为_______度;

(2)如图② ,△ABC中,∠BAC=30° ,∠ACB=90° ,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′ C′ ,使 点B、C、C 在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值;

(3)如图③ ,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36° ,BC=1,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′ , 使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值.

AB B C AC

n,我们将这种变ABBCAC

第23题图①

第23题图②第23题图③

【解析】(1) 由题意知, θ为旋转角, n为位似比.由变换[60°和相似三角形的面积比等于相似比的平方,得S AB 'C :S ABC = 3, 直线BC与直线B′C′所夹的锐角为60°; (2)由已知条件得θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝60°.由直角三角形中, 30°锐角所对的直角边等于斜边的一半得n＝

AB

＝2. AB

(3) 由已知条件得θ＝∠CAC′＝∠ACB

＝72°.再由两角对应相等,证得△ABC∽△B′BA,由相似三角形的性质求得n＝

B C BC【答案】(1) 3;60°.

(2) ∵四边形ABB′C′是矩形,∴∠BAC′＝90°.

∴θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝90°－30°＝60°. 在Rt△ABB′中，∠ABB′＝90°, ∠BAB′＝60°, ∴n＝

AB

＝2. AB

(3) ∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC′∥BB′,又∵∠BAC＝36° ∴θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°

∴∠C′AB′＝∠ABB′＝∠BAC＝36°,而∠B＝∠B, ∴△ABC∽△B′BA,∴AB2＝CB·B′B＝CB·(BC+CB′),

2

而CB′＝AC＝AB＝B′C′, BC＝1, ∴AB＝1·(1+AB)

1 ,∵AB＞0, 2

B C ∴n＝BC∴AB

＝

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【点评】本题是一道阅读理解题.命题者首先定义了一种变换,要求考生根据这种定义解决相关的问题. 读懂定义是解题的关键所在.

本题所涉及的知识点有相似三角形的面积比等于相似比的平方,黄金比等.

（2011江苏省无锡市，27，8′） 对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),我们把x1-x2+y1-y2叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d(P1,P2).

(1)已知O为坐标原点，动点P(x,y)满足d(O，P)=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中出所有符合条件的点P所组成的图形；

（2）设P0(x0,y0)是一定点，Q(x,y)是直线y=ax+b上的动点，我们把d(P0，Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离，试求点M（2,1）到直线y=x+2的直角距离。

【解析】本题是信息给予题，题目中已经把相关概念进行阐述，按照给出的定义题就可以。（1）已知O(0,0)和P(x,y)利用定义可知 （2）由d(P0，Q)=x0-x+y0-(ax+b)， d(O，P)=0-x+0-y=x+y=1；

则d(M，Q)=2-x+-y=2-x+（x+2=x-2+x+利用绝对值的几何意义可以求出点M（2,1）到直线y=x+2的直角距离为3. 【答案】解：（1）有题意，得x+y=1，

所有符合条件的点P组成的图形如图所示。

（2）∵

d(M，Q)=2-x+1-y=2-x+1-（x+2=x-2+x+

∴xx-2+x表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1

所对应的点的距离之和，其最小值为3. ∴M（2,1）到直线y=x+2的直角距离为3. 【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力和现学现用的及时应用能力。这是中考的发展的大趋势。

（2012江苏盐城，27，12分）知识迁移

aa2

当a＞0且x＞0时，因为

）≥0，所以

≥0，从而x+≥

xxa

时取等号）．记函数y= x+( a＞0,x＞0),由上述结论可知：当

时，该函数有最小

x

值为

直接应用

1

已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0）,则当x= 时，y1+y2取得最小值为 .

x

变形应用

y

已知函数y1=x+1（x＞-1）与函数y2=(x+1)2+4（x＞-1）,求2的最小值，并指出取得该最

y1

小值时相应的x的值. 实际应用

已知某汽车的依次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001，设汽车一次运输路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？

【解析】本题考查了函数等知识．掌握和理解阅读材料是解题的关键.（1

）通过阅读发现

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a

≥

．然后运用结论解决问题； x

a

（2）构造x+≥

2.

x

（3）解决实际问题. 【答案】直接应用1,2

y2(x 1)2 4y44

变形应用=≥4，所以2的最小值是4，此时x+1=,(x+1)2=4， (x 1)

x 1x 1x 1y1y1

x+

x=1.

实际应用

设该汽车平均每千米的运输成本为y，则y=360+1.6x+0.01x2，当x=8时，y有最小值，最低运输成本是424（元）. 【点评】数学的建模思想是一种重要的思想，能体现学生综合应用能力，具有一定的挑战性，特别是运用函数来确定最大（小）值时，要运用配方法得到函数的最小值.

（2012四川省资阳市，24，9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、

CP、OP．

（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由； （2）(3分)求∠BOP的度数；

（3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；[w@ww.︿zzste~p.c%om&] 如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：

为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

A

O

PB

C

（第24题图）

【解析】（1）连接AD，由∵AB是直径得∠ADB=90°及等腰三角形的三线合一性质得出BD＝DC

（2）由∠BAD=∠CAD得弧BD=弧DE，得BD=DE，得出∠DEC=∠DCE=75°，所以∠EDC=30°，BP∥DE，∴∠PBD=∠EDC=300，∴∠OBP=∠OPB=75°-30°=45°，∴∠BOP=90°

（3）要证CP是⊙O的切线即证OP⊥CP，在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴∵

OG1

又AG2

OPOP1OPOG

， ∴ACAB2ACAG

，∴

OGGP

AGGC

又∵∠AGO=∠CGP[w&@%ww︿.zzst~]

∴△AOG∽△CPG得∠GPC=∠AOG=90°得证结论成立.

【答案】（1）BD=DC 1分

连结AD，∵AB是直径,∴∠ADB=90° 2分 ∵AB=AC，∴BD=DC 3分

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A

O

PC

（2）∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线 ∴∠BAD=∠CAD ∴弧BD与弧DE是等弧， ∴BD=DE 4分

∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30° ∴∠DCE=∠ABC=

1

(180°－30°)=75°，∴∠DEC=75° 2

∴∠EDC=180°－75°－75°=30°

∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30° 5分 ∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°－30°=45°

∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90° 6分 （3）证法一：设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°

A

O

P

H

C

OG1

7分 AG2

OPOP1OPOGOGGP

，∴ 又∵，∴ ACAB2ACAGAGGC

在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴

又∵∠AGO=∠CGP[w&@%ww︿.zzst~]

∴△AOG∽△CPG 8分

∴∠GPC=∠AOG=90°∴CP是⊙O的切线 9分 证法二：过点C作CH⊥AB于点H，则∠BOP=∠BHC=90°，∴PO∥CH 在Rt△AHC中，∵∠HAC=30°，∴CH 又∵PO

1

AC 7分 2

11

AB AC，∴PO=CH，∴四边形CHOP是平行四边形 22

∴四边形CHOP是矩形 8分

∴∠OPC=90°，∴CP是⊙O的切线 9分[来@源#:︿%中*教网] 【点评】本题属于几何知识综合运用题，主要考查了等腰三角形的三线合一性质及常用辅助线、三角形相似判定、圆的性质及圆切线的判定等知识．解答此类题应具备综合运用能力，包括知识综合、方法综合以及数学思想的综合运用，能较好地区分出不同数学水平的学生，保证区分结果的稳定性，从而确保试题具有良好的区分度，进而有利于高一级学校选拔新生．难度较大．

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（2012浙江省绍兴，22，12分）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索.

思如图，一架2.5米工的梯子AB斜靠在竖直 考的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为 题

0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米， 那么点B将向外移动多少米？

（1）请你将小明对“思考题的解答补充完整：

解：设点B将向外移动x米，即BB1=x， 问则B2

2

1C=x+0.7,A1C=AC－AA1=2.5 0.7 0.4 2，

题 而A2

1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B1， ①

得方程 ▲ ，

解方程x1= ▲ ，x2= ▲ ， ∴点B将向外移动 ▲ 米.

问 （2）解完“思考题”后，小陪提出了如下两个问题：

题在“思考题”中将“下滑0.4米”改 ②

为“下滑0.9米”，那么该题的答案

会是0.9米吗？为什么？

在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？

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请你解答小聪提出的这两个问题. 【解析】（1）根据题意求解一元二次方程即可；（2）根据题意建立勾股定理模型，通过计算验证它是否符合题意；（3）在假设结论成立的条件下，建立一元二次方程模型，看看方程是否有实数解即可 ． 【答案】解：（1）(x 0.7)2 22 2.52，

0.8，－2.2（舍去），0.8.

（2）①不会是0.9米.

若AA1=BB1+0.9，则A1C=2.4－0.9－1.6，A1C－0.7+0.9=1.6

1.52 1.62 4.81，2.52 6.25.

∵A1C2+B1C2≠A1B12，∴该题的答案不会是0.9米. ②有可能.

设梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，脚梯子顶端从A 处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等. 【点评】这是一道实际应用题，解答本题的关键是借助勾股定理将实际问题转化为一元二次方程问题来求解.．

(2012湖北随州，25，13分) 在一次数学活动课上，老师出了一道题：

（1）解方程x2 2x 3 0 巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）.接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二题：

（2）解关于x的方程mx2 (m 3)x 3 0（m为常数，且m≠0）.

老师继续巡视，及时观察、点拨大家.再接着，老师将第二道题变式为第三道题： （3）已知关于x的函数y mx2 (m 3)x 3（m为常数）.

①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定

点为A，y轴上的定点为C）； ②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B.当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，直接写出m的取值范围. 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题

.

解析：（1）、（2）两问，用十字相乘法即可解决问题；（3）中的第①个问题，只要说明档x=0或y=0时，对应的函数值或自变量的值是一个常数即可，注意要分m=0和m≠0两侦破那个情况讨论；第②小题也要根据m的值的不同情况进行分类讨论.

2

答案：解：（1）由x－2x－3＝0，得（x+1）(x－3)=0∴x1=1,x2=3

（2）：由mx2+(m－3)x－3=0得（x+1）·(mx－3)=0

∵m≠0, ∴x1=－1,x2=

3

m

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（3）①1°当m=0时，函数y= mx2+(m－3)x－3为y=－3x－3，令y=0,得x=－1

令x=0,则y=－3. ∴直线y=－3x－3过定点A（－1,0）,C（0，－3） 2°当m≠0时，函数y= mx2+(m－3)x－3为y=（x+1）·(mx－3)

∴抛物线y=（x+1）·(mx－3)恒过两定点A（－1，0）,C（0，－3）和B（

3

，0） m

②当m>0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（－1，0）,C（0，－3）和

B（

3

，0）， 1分 m

观察图象，可知，当⊿ABC为Rt⊿时， 则⊿AOC∽⊿COB∴∴OC

2

AOCO

COBO

OA OB∴32=1×

∴OB=9.即B(9,0)

13

9.即：m＞ ∴当0

3m

1

当m>时，⊿ABC为锐角三角形

3

观察图象可知 当0<m<

1

时，则B点在（9,0）的右边时，∠ACB>90º, 3

当m<0且m≠－3时，点B在x轴的负半轴上，B与A不重合. ∴⊿ABC中的∠ABC>90º ∴⊿ABC是钝角三角形. ∴当0<m<

1

或m<0且m≠－3时， 3

⊿ABC为钝角三角形 2分

点评：本题综合考查了十字相乘法的因式分解、二次函数的图象和性质、相似三角形的性质等.考查了学生综合运用数学知识和数形结合思想、分类讨论思想、函数的思想和方程的思想等多种数学思想方法来解决问题的能力. 其中两处分类讨论，就可以将中下层面的学生拒之题外.难度较大.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j431.html