2012年中考复习精讲精练 二次函数（含答案）

第三章 函数

第10讲二次函数

◎◎◎中考知识清单◎◎◎

中考目标

1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义. 2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质. 3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题. 4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

知识要点：

1. 二次函数的概念

形如 ① （a,b,c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数.

【注意】结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.

（2）二次项系数a≠0

2. 二次函数的三种表达式

（1）一般式： ② （a,b,c为常数，a≠0） （2）顶点式： ③ （a≠0，a、h、k为常数），

它直接显示二次函数的顶点坐标是 ④ . （3）两点式： ⑤ （a≠0，a、x1、x2为常数），其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标. （4）三种表达式之间的关系：

??一般式?????两点式 顶点式 ??3. 二次函数的图象及性质

二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图象是一条抛物线，

对称轴是直线x= ⑥ ，顶点坐标是 ⑦ .

2（1）当a＞0时，抛物线y?ax?bx?c?a?0?开口向上，当x??配方因式分解b时，函数的最小2a值为 ⑧ ；在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而 ⑨ .

2（2）当a＜0时，抛物线y?ax?bx?c?a?0?开口向下，当x??b时，函数的最 ⑩ 2a4ac?b2值为 ；在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大

4a而减小.

- 1 -

重难点剖析

１.二次函数的图象特征与a，b，c及判别式b?4ac的符号之间的关系

（1）字母a决定抛物线的形状. 即开口方向和开口大小；决定二次函数有最大值或最小值. a＞0时开口向上，函数有最小值； a＜0时开口向下，函数有最大值；

2a相同，抛物线形状相同，可通过平移、对称相互得到； a越大，开口越小.

（2）字母b、a的符号一起决定抛物线对称轴的位置. ab=0 （a≠0，b=0）， 对称轴为y轴； ab＞0（a与b同号），对称轴在y轴左侧； ab＜0（a与b异号），对称轴在y轴右侧. （3）字母c决定抛物线与y轴交点的位置. c=0， 抛物线经过原点；

c＞0，抛物线与y轴正半轴相交； c＜0，抛物线与y轴负半轴相交. （4）b?4ac决定抛物线与x轴交点的个数.

2b2?4ac=0，抛物线与x轴有唯一交点（顶点）； b2?4ac＞0抛物线与x轴有两个不同的交点； b2?4ac＜0抛物线与x轴无交点.

２.任意抛物线y?a?x?h??k都可以由抛物线y?ax2经过平移得到，具体平移方法如

2下：

- 2 -

【注意】 二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数间的平移. 二次函数图象间对称变换也是同样的道理. ３.用待定系数法求二次函数的解析式

确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件，根据不同条件选不同的设法

（1）设一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数、a≠0）

若已知条件是图象上的三点，将已知条件代入所设一般式，求出a,b,c的值 （2）设顶点式：y?a?x?h??k（a,h,k为常数，a≠0）

2若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），将已知条件代入所设顶点式，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式. （3）设两点式：y?a?x?x1??x?x2?（a≠0，a、x1、x2为常数）

若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为?x1,0??x2,0?，将第三点（m,n）的坐标（其中m，n为已知数）或其他已知条件代入所设交点式，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式.

2４. 二次函数y?ax?bx?c（a≠0）与一元二次方程ax?bx?c?0的关系

22（1）二次函数y?ax?bx?c（a≠0）中，当y=0时，就变成了一元二次方程

ax2?bx?c?0

2（2）一元二次方程ax?bx?c?0的根就是二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴

2交点的横坐标.

（3）二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致.

- 3 -

（4）在它俩的关系中，判别式△=b?4ac起着重要作用. 二次函数的图象与x轴有两个交点?对应方程的△＞0 二次函数的图象与x轴有一个交点?对应方程的△=0 二次函数的图象与x轴无交点 ?对应方程的△＜0

５.二次函数应用 包括两方面

（1）用二次函数表示实际问题中变量之间的关系； （2）用二次函数解决最大化问题即最值问题.

温馨提示：①y?ax2?bx?c ②y?ax2?bx?c ③y?a?x?h??k ④

22?h,k?

?b4ac?b2b⑤y?a?x?x1??x?x2? ⑥? ⑦???2a,4a2a?大 ⑩大

?4ac?b2? ⑨增? ⑧4a?◎◎◎典型例题剖析与互练◎◎◎

考点1：二次函数的图象与性质

例1［2011辽宁大连，16］如图，抛物线y＝－x+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、 B（x2，0），点A在点B的左侧．当x＝x2－2时，y______0（填“＞”“＝”或“＜”号）． 【分析】由抛物线解析式得对称轴为x=1，又因为

OABx2

yx1?x2?1，所以x1?x2?2 2

所以x1?2?x2，所以?x1?x2?2.如图所示作点A关于y轴的对称点C，则点C的坐标为??x1,0?即?x2?2,0?由图象得当x＝?x1时y＜0.即当x＝x2－2时，y＜0.

互动练习

1-1.［2011江苏宿迁，8］已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下 列结论中正确的是（ ）

A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大 C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根

1-2.已知抛物线y?ax2?bx?c（a＜0）过A（?2，0）、O（0，0）、B（?3，y1）、C

（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＞y2

B．y1?y2

C．y1＜y2 D．不能确定

- 4 -

1-3.已知函数y1＝x2与函数y2＝－

范围是（ ）．

1x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值23＜x＜2 23C．－2＜x＜

2A．－

3 23D． x＜－2或x＞

2B．x＞2或x＜－

1-4.［2011江苏无锡，10］如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=

A的横坐标是1，则关于x的不等式

k的交点xk+ x2+1<0的解集是 ( ) xA．x>1 B．x<－1 C．0

【答案】1-1.D

1-2.A【解析】由抛物线过A（?2，0）、O（0，0）两点可得对称轴为

x??2?0??1，如图所示 2由图象得y1＞y2且都小于0.

1-3.C【解析】由x2 =－

1x＋3，先求出两图象交点的横坐标，解得x= -2或2x=1.5 . y1＜y2，即抛物线在直线的下方，观察图象得对应自变量x的范围是－2＜x＜

3. 21-4.D【解析】由题意可得点A的坐标为（1,2）.+ x2+1<0即如图作出y=－（x2+1）的图象和双曲线y=

kxk＜－（x2+1），xk交于点B,由中心对称性得点Bxk的坐标为（-1,-2）,结合图象得：当－1

xk（x2+1）的下面，即满足不等式＜－（x2+1）.所以选D

x

- 5 -

考点2：二次函数解析式的求法

例2［2011浙江舟山，15］如图，已知二次函数y?x2?bx?c的图象经过点（-1，

0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ． 【分析】将点（-1，0）和点（1，-2）代入y?x2?bx?c解得b= -1，c= -2.所以y?x2?x?2，对称轴为x=【答案】x＞互动练习

2-1.［2011四川佛山，21］如图，已知二次函数y?ax2?bx?c的图象经过A(?1,?1)、

11，所以当x＞时y随x的增大而增大. 221 2yB(0,2)、C(1,3)；

BC（1）求二次函数的解析式； （2）画出二次函数的图象；

2-2.如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l

的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

2

oA1x图8

- 6 -

2-3.［2011湖南益阳，20］如图，已知抛物线经过定点．．A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D．．两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与y CB的比值：

（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值； （2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否 与?所求的比值相同？请说明理由． ．

D . C P . O 1 . A x B . . . P?图9 ?a?b?c??1?a??1??c?2答案：2-1.解：（1）由题意得 ? 解得?c?2

?b?2?a?b?c?3??所以二次函数的解析式为y??x2?2x?2 （2）图略. 画图象注意顶点、对称性、光滑.

??16?4b?c?0?b?4,?, 2-2.解：(1) 抛物线y＝－x＋bx＋c过点A(4,0)B(1,3).∴??1?b?c?3c?0??2

2∴y??x?4x，y??(x?2)?4，对称轴为直线x?2，

2顶点坐标为(2,4)

（2）∵直线EP∥OA,E与P两点关于直线x?2对称，∴OE=AP,∴梯形OEPA为等腰梯形，

∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF, ∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFE=∠APE,∴OF∥AP,

∴四边形OAPF为平行四边形，∵四边形OAPF的面积为20，

2∴4(m?4m)?20，

∴m1??1(舍）m2?5，∴n??5.

- 7 -

22-3.解：? 由题意设抛物线的解析式为y?ax?1(a?0) ，

?抛物线经过A?1,0? ，?0?a?1,a??1 ?y??x?1.

?P?、P关于x轴对称,且P?0,1?,?P?点的坐标为?0，－1?

2 ?P?B∥x轴, ?B点的纵坐标为?1, 由?1??x+1 解得x??2，

?B2?2,?1,?P?B?2.

??OA??P?B，??CP?B∽?COA， ?CAOA12???． CBP?B22? 设抛物线的解析式为y?ax2?m(a?0) ?抛物线经过A?01，?，

?0＝a?m,a??m

?y??mx2?m． ?P?B∥x轴?B点的纵坐标为?m，

当y??m时，?mx2?m??m

?m?x2?2??0，?m?0，?x2?2?0，?x??2，?B?同?得

2,?m，?P?B?2，

?CA2CAOA12???. ?m为任意正实数时，?

CB2CBP?B22

考点3：求二次函数解析式中字母系数a、b、c

例3［2011湖北孝感，12］如图，二次函数y?ax?bx?c的图像与y轴正半轴相交，2y112其顶点坐标为（,1），下列结论：①ac＜0；②a?b?0； ③4ac?b?4a；④2a?b?c＜0.

其中正确结论的个数是 （ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

【分析】由抛物线开口向下，得a＜0，因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c＞0，

O12x1b14ac?b2?，?1， 所以.ac＜0故①正确.又因为顶点坐标为（,1），即?2a224a所以a+b=0， 4ac?b?4a 故②③正确.观察图象得x=1时y＞0，即a+b+c＞0.故④错

2- 8 -

误.

【答案】C 互动练习

3-1.［2011山东菏泽.８］如图为抛物线y?ax2?bx?c的图像,A B C 为抛物线与坐标轴

的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）

A. a?b??1 B. a?b??1 C. b<2a D. ac<0

3-2. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a、b异号；②当x=1和x=3

时，函数值相等；③4a+b=0，④当y=4时，x的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个

A．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

3-3. 设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax+bx+a-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（ ）

y y y y 2

2

－1 O 1 x －1 O 1 x O x O x

A. 6或－1 B. －6或1 C. 6 D. －1

答案：3-1.B 【解析】由题意得c=1，当x= -1时，y=0 所以a-b+1=0，所以a-b=-1. 3-2.C 【解析】由抛物线开口向下得a＜0.由抛物线可得对称轴为x??2?6?2，即2?b?2,则b??4a＞0故①③正确.因为3-2=2-1所以②正确. 当y=4时，直线y=4与抛2ab＜0，排2a物线有两个交点即x有两个值.故④错误.

3-3.D 【解析】由b＞0得对称轴不是y轴，排除前两个图.当a＞0时对称轴?2

除第三个图，故第四个图正确.由抛物线过原点得a-5a-6=0解得a=6或a=-1，又因为开口向下，所以a=-1，选D.

- 9 -

考点4：二次函数图象的平移、对称变换

例4

2?x?1?1?x≤3????［2011湖北黄冈，15］已知函数y??，则使y=k成立的x值恰好有三个，

2???x?5??1?x＞3?则k的值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】本题是分段函数，两个解析式中a都是1，所以它们的图象是相互平移得来的.第一段抛物线是将抛物线y?x2先向右平移1个单位长度再向下平移1个单位长度得来的. 第二段是将抛物线

y?x2先向右平移5个单位长度再向下平移1个单位长度得来的.如

图所示，当y=3时，x恰好有三个对应值，所以k=3.本题利用数形结合思想很明朗. 【答案】D 互动练习

4-1.如图，两条抛物线y1=-

121χ+1、y2=χ2-1 与分别经过点（-2，0），（2，0）且平22行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）

A．8 B．6 C．10 D．4

4-2.［2011广西桂林，11］在平面直角坐标系中，将抛物线y?x?2x?3绕着它与y轴的交点旋转

180°，所得抛物线的解析式是（ ）．

A．y??(x?1)?2 B．y??(x?1)?4 C．y??(x?1)?2 D．y??(x?1)?4

4-3.把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为

- 10 -

222222

y=x－3x＋5，则（ ）

A．b=3，c=7 B．b=6，c=3 C．b=?9，c=?5 D．b=?9，c=21

4-4.已知函数y?3?(x?m)(x?n)，并且a,b是方程3?(x?m)(x?n)?0的两个根，则实数m,n,a,b的大小关系可能是（ ）

2m?a?b?n B．m?a?n?b C．a?m?b?n D．a?m?n?b A．

答案：4-1.A【解析】如图，抛物线y1=-

121χ+1可看作是由抛物线y2=χ2-1向上平移222个单位长度得来的.则相应地AB向上平移2个单位长度得到CD，所以图中阴影部分的面积

等于2个平行四边形ABDC的面积=2×2×2=8

4-2.B【解析】将y?x2?2x?3化成y??x?1??2，则其顶点M坐标为（-1,2），与y

2轴交点为（0,3）因为旋转前后抛物线形状不变（但开口向下，a= -1），只是旋转前后顶点M,N关于点（0,3）中心对称，(如图所示)由中心对称性得旋转后抛物线顶点N坐标为（1,4）所以解析式为y??(x?1)?4.故选B.

4-3.A. 【解析】因为抛物线y=x－3x＋5的顶点坐标为?,22?311??，把这个顶点向左平移324??个单位，再向上平移2个单位，得到的坐标为???319?,?，抛物线能互相平移，所以a=1，?24?- 11 -

3?19?所以y??x???

2?4?化成一般式得y?x2?3x?7，所以b=3，c=7.

4-4.D【解析】 因为抛物线y?3?(x?m)(x?n)是由抛物线

2y??(x?m)(x?n)向上平移3个单位长度得来的.如草图所示，即抛物线y?3?(x?m)(x?n)与x轴两个交点一定在抛物线y??(x?m)(x?n)与x轴两个交点的外侧.可能的情况有：a?m?n?b；a?n?m?b；

b?m?n?a； b?n?m?a

考点5：二次函数的应用

例5［2011四川南充，20］某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每1千度电产

生的利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每1千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图所示：

（1）当电价为600元/千度时，工厂每消耗1千度电产生利润是多少元？21世纪教育网 （2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)

的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电能产生的利润最大是多少元？

解：（1）设工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度) 的函数解析式为：y=kx+b 该函数图象过点（0，300），（500，200）

1??500k?b?2001?k??解得?∴ ? ∴y=-x+300(x≥0) 5b?3005???b?300当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润y= -

1×600+300=180元. 5（2）设工厂每天消耗的电能产生的利润为w元，由题意得：

W=my=m(-

1?1?x+300)=m???10m?500??300? 5?5?化简配方，得：w= -2(m-50)2+5000 由题意，m≤60, ∴当m=50时，w最大=5000

即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为5000元.

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互动练习

5-1［2011四川佛山，24］商场对某种商品进行市场调查，1至6月份该种商品的销售情况如下：

销售成本p（元/千克）与销售月份x的关系如图所示：

p(元/千克) 3x?15； 2销售量m（千克）与销售月份x满足m?100x?200；

销售收入q（元/千克）与销售月份x满足q??试解决以下问题：

（1） 根据图形，求p与x之间的函数关系式；

（2） 求该种商品每月的销售利润y（元）与销售月份x的函数关系

式，并求出哪个月的销售利润最大？

94o16x(月份)

5-2.［2011湖北武汉， 23］星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边

靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.

（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围.

5-3.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）． （1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？

答案：5-1.

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5-2.解：（1）y=30-2x(6≤x<15)

22

（2）设矩形苗圃园的面积为S则S=xy=x(30-2x)=-2x+30x ∴S=-2(x-7.5)+112.5由

（1）知，6≤x<15, 又因为-2<0 ∴当x=7.5时,S最大值＝112.5

即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 （3）6≤x≤11 5-3.解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）．

则M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（

3，0） 2设抛物线的解析式为y?ax2?k，抛物线过点M和点B，则k?5，

55a??． 即抛物线解析式为y??x2?5．

4431535当x＝1时，y＝；当x＝时，y＝．

241633515即P（1，），Q（，）在抛物线上．

216433当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶总高＝×5＝．

210315335∵ ＜且＜，∴网球不能落入桶内．

2216435315（2）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内， 由题意，得，≤m≤．

1610471 解得，7≤m≤12 ∵ m为整数，∴ m的值为8，9，10，11，12．

242∴ 当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内．

◎◎◎2011中考真题再现◎◎◎

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【时间：80分钟 满分：100分】

一、选择题（每小题3分，共54分）

1.［2011深圳，10］对抛物线y??x2?2x?3而言，下列结论正确的是（ ） A. 与x轴有两个交点 B.开口向上

C. 与y轴交点坐标是（0,3） D. 顶点坐标是（1，-2）

2．［2011威海，7］二次函数y=x2－2x－3的图象如图所示。当y＜0时，自

变量x的取值范围是（ ）

A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－3或x＞3 3.［2011甘肃兰州，5］抛物线y?x2?2x?1的顶点坐标是( )

A. （1,0） B. （-1,0） C. （-2,1） D. (2,-1)

4.［2011河北,8］一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面的函数关系式：h=－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是（ ）

A．1米 B．5米 C．6米 D．7米 5.［2011山东潍坊，12］已知一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实效根x1、x2满足x1+x2=4和x1?x2=3，那么二次函救y?ax?bx?c?0(a?0)的图象有可能是( )

6. ［2011浙江温州，9］已知二次函数的图象如图所示，下列关于该函数在

所给自变量取值范围内的说法正确的是（ ）

A. 有最小值0，最大值3 B. 有最小值-1，最大值0 C. 有最小值-1，最大值3 D. 有最小值-1，无最大值

7.［2011湖南株洲，8］某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y??x?4x（单位：

222- 15 -

米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）

A．4米 B．3米

C．2米

D．1米

8.［2011湖南湘潭，8］在同一坐标系中，一次函数y?ax?1与二次函数y?x2?a的图像可能是（ ）

9.［2011重庆，7］已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)在平面直角坐标系中的位置如图 所示，则下列结论中，正确的是（ ）

A .a>0 B. b<0 C . c<0 D. a+b+c>0

10.［2011安徽芜湖,10］二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则反比例函数y?与 一次函数y?bx?c在同一坐标系中的大致图象是( )

2ax

11.［2011湖北襄阳，12］已知函数y??k?3?x?2x?1的图象与x轴有交点，则k 的取

2

值范围是（ ）

A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D． k≤4且k≠3

212.［2011呼和浩特，8］已知一元二次方程x?bx?3?0的一根为 ?3，在二次函数y?x2?bx?34??1??5?的图象上有三点???,y1?、??,y2?、?,y3?，y1、y2、y3的大小关系是 （ ）

?5??4??6?A. y1?y2?y3 B. y2?y1?y3 C. y3?y1?y2 D. y1?y3?y2

13.［2011四川乐山，5］将抛物线y??x向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是

- 16 -

2

（ ）．

(A) y??(x?2)2 (B) y??x2?2（C）y??(x?2)2 （D）y??x2?2

14.［2011烟台，10］如图在平面直角坐标系中，两抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）

A. m=n，k＞h B. m=n，k＜h C. m＞n，k=h D. m＜ n，k=h

15.［2011甘肃兰州，9］如图所示的二次函数y?ax?bx?c的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b?4ac＞0；（2）c＞1；(3)2a-b＜0；(4)a+b+c＜0.你认为其中错误的有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个

16.［2011甘肃兰州，14］如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）

22

17.［2011湖北黄石，9］设一元二次方程(x?1)(x?2)?m(m?0)的两根分别为?,?，且

???，则?,?满足（ ）

- 17 -

A. 1?????2 B. 1???2?? C. ??1???2 D. ??1且 ??2 18.［2011 山东聊城.12］某公园草坪的防护栏是由

100段形状相同的抛物线形成组成的.为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图）则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A.50m D.200m

二、填空题（每小题3分，共18分）

19.［2011宜宾，14］如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD

y∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且经 AD过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部份的面 积是 . O20.［2011山东枣庄，18］抛物线y?ax2?bx?c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应CB值如下表： x y … … －2 0 －1 4 0 6 1 6 2 4 … … (14题图)

B.100m

C.160m

x从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）

①抛物线与x轴的一个交点为（3,0）； ②函数y?ax2?bx?c的最大值为6； ③抛物线的对称轴是x?1； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大． 221.［2011浙江湖州，15］如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点?0,?3?，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在?1,0?和?3,0?之间，你确定的b的值是

32与y?ax?bx（a＞0，b＞0）的图x32象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax?bx??0的解为

x22. ［2011扬州，17］如图已知函数y??

23.［2011河南，11］.点A?2,y1?、B?3,y2?是二次函数y?x?2x?1的图象上

2的两点，则y1与y2的大小关系为y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”号）.

- 18 -

24.［2011日照，17］如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1； ④a-2b+c＞0． 其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）

二、解答题（共28分）

25.［2011广西桂林，26］已知二次函数y??123x?x的图象如图. 42（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、

B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式.

1

26.［2011江苏连云港，25］如图，抛物线y＝ x2－x＋a与x轴交于点A，B，与y轴交于2

点C，其顶点在直线y＝－2x上． （1）求a的值； （2）求A，B的坐标；

（3）以AC，CB为一组邻边作□ACBD，则点D关于x轴的对称点D′ 是 否在该抛物线上？请说明理由．

ACOBy x - 19 -

27.［2011江西，24］将抛物线c1：y=?3x2?3沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示. （1）请直接写出抛物线c2的表达式.

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴

的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E. ①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值； ②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

y y c2 O c1 x O x

备用图

答案:1.D 2.A 3.C 4.C

5.C【解析】由题意得两根为1和3，所以对称轴是x=2， 6.C【解析】观察图象得当0?x?3时，?1?y?3，故选C.

7.A【解析】解得二次函数的最大值4即可 8.C解析】由二次函数解析式得抛物线开口向上, 由一次函数解析式得直线与y轴交于正半

轴，排除B、D当a＞0时抛物线与y轴交于正半轴，所以A错. 故只有C正确.

9.D【解析】抛物线开口向下则a＜0.由抛物线与y轴交于正半轴得c＞0.由抛物线对称轴

在y轴有侧得b＞0.当x=1时，y=a+b+c＞0.所以只有D正确. 10.D【解析】10.D【解析】由所给抛物线得a＜0，c=0，b＜0.所以双曲线分布在二、四象限，直线过原点且经过二、四象限.故选D.

11.B【解析】当k-3=0时即k=3是一次函数必然与x轴有交点，所以k=3否合题意.当k≠3

2时函数y??k?3?x?2x?1的图象与x轴有交点，则4?4?k?3??0解得k?4.

综上两种情况得k?4.

12.A 【解析】把-3代入x?bx?3?0得b=2，所以 y?x2?2x?3.把 三点的横坐标分别代入y?x2?2x?3求出y1,y2,y3的值即可比较大小.

13..A【解析】抛物线能互相平移，所以a= -1不变，由题意得抛物线顶点由（0,0）平移到

了（-2,0），所以y??(x?2)，故选A.

22- 20 -

14.A【解析】有相同的对称轴所以m=n，由图象可知k＞h.

15.D【解析】因为抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b?4ac＞0. （1）正确.因为抛物线与y轴交点在点（0，1）下方，所以c＜1.（2）错误.因为?2b??1，又因为a＜0，2a所以b＞2a即2a-b＜0

(3)正确.观察图象得x=1时y＜0即a+b+c＜0，(4)正确. 综上只有（2）错误.故选D 16.B【解析】由题意可得AH=1-x，所以s?EH2?x2??1?x??2x2?2x?1?0?x?1?2所以选B .

17.D【解析】一元二次方程(x?1)(x?2)?m(m?0)的根可看作是抛物线

y??x?1??x?2?与直线y?m的交点的横坐标.如图所示，所以??1且

??2

18.C 【解析】如图以防护栏底部所在的直线为x轴，底部的中垂线为y轴建立直角坐标系，可设抛物线解析式为y?ax?0.5。把A点坐标（1,0）代入得a= - 0.5，所以抛物线解析式为y??0.5x?0.5如图分别把

x1=0.2和x2=0.6带入得y1=0.48，y2=0.32，所以需要不锈钢支柱的总长度为：

22100?2?0.48?0.32??160m .

19. ２ 20..①③④

21.-1（答案不唯一）【解析】由抛物线可知c= -3，当x=1时，y＜0，＞当x=3时，y＞0.即??1?b?3?0所以-2＜b＜2在其中任意取值即可.

9?3b?3?0?222.【解析】原方程可化为ax?bx??y=1代入y??3，此方程的解就是两函数图象交点P的横坐标.把x3得x= -3.所以原方程的解为x= -3. x23.【解析】因为对称轴为x=1，抛物线开口向上，则在对称轴的右侧y随x的增大而增大，

所以y1＜y2.或直接代入计算求出y1与y2的值，再比较大小.

24.①③. 【解析】观察图象得x=1时y=0，即a+b+c=0，故①正确.因为对称轴为

- 21 -

x= -1，即?x?x21?x2b??1，1??1即??1，所以b=2a，x2??3故②2a22错误 ③正确.因为b=2a所以a-2b+c=a-4a+c=-3a+c而a＞0，c＜0，则-3a+c＜0即a-2b+c＜0．故④错误.所以答案是①③.

123bx?x得 x???3 ∴Ｄ（３，０） 422a123?9?（2）∵ y??x?x ∴顶点坐标?3,?

42?4??9?设抛物线向上平移h个单位,则得到C?0,h?,顶点坐标M?3,?h?

?4?192∴平移后的抛物线: y???x?3???h

44192当y?0时, ??x?3???h?0, 得 x1?3?4h?9 x1?3?44∴ A(3?4h?9,0) B(3?4h?9,0)

25.解: （1）由y??∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB ∴OC?OA·OB

2 4h?9h2??4h?9?3??4h?9?3 得 h1?4,h2?0?舍去?

1912522?x?3???4???x?3?? 4444?∴平移后的抛物线: y??1

26.解：（1）抛物线的顶点坐标为(1,a－ )

2

13

∵顶点在直线y＝－2x上，∴a－ ＝－2．即a＝－

2213

（2）由（1）知，抛物线表达式为y＝ x2－x－ ，

22

13

令y＝0，得 x2－x－ ＝0．解之得：x1＝－1，x2＝3． 22

∴A的坐标 (－1,0)，B的坐标 (3,0)； （3）可求得C的坐标为 (?y D ACO∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点C，D关于对角线交点(1,0)对称

E 3,0) 2?3?∴D的坐标?2,?

?2?Bx 又∵点D′ 是点D关于x轴的对称点，

∴D′的坐标为?2,?? 把x＝2代入函数关系式得

?32?11332

y＝ ×2－2－ ＝ ×4－2－ ＝－ 22222∴D′ 在抛物线上．

27.解：（1）y?3x2?3.

D’ ?3?- 22 -

（2）①令?3x2?3?0，得：x1??1,x2?1，

则抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.

∴A（-1-m，0），B（1-m，0）.

同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.

111当AD?AE时，如图①，， ∴. m?1?m??1?m???1?m????1?m????????233?11当AB?AE时，如图②， ∴m?2. ?1?m????1?m????1?m????1?m???，33? ∴当m?1或2时，B，D是线段AE的三等分点. 2A y y M M B A B D O E x O N 图① 图②

②存在.理由如下：如图连接AN、NE、EM、MA、MN.依

D E x N 题意可得：M?m,3,Nm,?3.由坐标特征得M，N关于原点O中心对称，

∴OM?ON.

又∵A??1?m,0?,E?1?m,0?， ∴A，E也关于原点O中心对称， ∴OA?OE，

∴四边形ANEM为平行四边形.

要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM?OA,

即m?(3)???1?m?， ∴m?1

222????∴当m?1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.

◎◎◎2012中考预测演练◎◎◎

- 23 -

1.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2011)(x-2012)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ） A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位

2.定义[a,b,c]为函数y?ax2?bx?c的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是( ② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ③ 当m < 0时，函数在x >

18，)； 333； 21时，y随x的增大而减小； 4 ④ 当m ? 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ）

A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④

3.如图在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－2，4)，过点A作AB垂直于y轴，垂足为B，连接OA. （1）求△OAB的面积.

（2）若抛物线y??x2?2x?c经过点A.

①求c的值

②将抛物线向下平移m个单位，是平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）

4.已知抛物线y1?x2?4x?1的图象向上平移m个单位（m?0）得到的新抛物线过点（1，8）.

（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成y2?a(x?h)?k的形式；

（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有

变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在?3?x≤?的取值范围；

23时对应的函数值y2- 24 -

（3）设一次函数y3?nx?3(n?0)，问是否存在正整数n使得（2）中函数的函数值y?y3时，对应的x的值为?1?x?0，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由. y

5 4 3 2 1 -5-4-3-2-11 -1O -2 -3 -4

-55.如图，抛物线y＝ 1

2

x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．

6. 孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y?ax2(a?0)的

性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA?OB?22（如图1），求a的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF?x- 25 -

2345x

轴于点F，测得OF?1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； ．．．

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连

线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

7.［2011上海，24］已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y?轴交于点A，点M在正比例函数y?＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M． （1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数y?的坐标．

8.设函数y?kx?(2k?1)x?1（k为实数）

（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，

用描点法画出这两个特殊函数的图像；

（2）根据所画图像，猜想出：对任意实数k，函数的图像都具有的特征，并给予证明； （3）对任意负实数k，当x?m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值 ．

答案：1.B

2. B【解析】把m = – 3代入得a=-6，b=4，c=2，解析式为y??6x?4x?2，得顶点坐标

- 26 -

223x?3的图像与y43x的图像上，且MO＝MA．二次函数y23x?3的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C4

1822，)，①对.因为△=b2?4ac??1?m??4?2m??1?m???3m?1??0，由求根33m?1公式得x1?1,x2??

2m为(

所以x1?x2?1?m?131，所以②正确.因为抛物线对称轴为??2m22mx??b1?m111????，当m < 0时对称轴在x =的右侧，所以③错误.因为当x=1

42a4m44m时，y=0，所以④正确. 3. 【解析】（1）S?OAB?11AB?BO??2?4?4 22（2）把点A的坐标是(－2，4)代入y??x2?2x?c得c=4

所以y??x2?2x?4???x?1??5即抛物线顶点为(－1，5).又可求

2OA中

点坐标为(－1，2) 由图得要使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部

则1＜m＜3.

4.解：（1）由题意可得y2?x?4x?1?m

又点（1，8）在图象上 ∴ 8?1?4?1?1?m

∴m?2 ∴ y2?(x?2)?1

2??x?4x?3（2）y??2???x?4x?322(x??3或x??1)（?3?x??1)3时，0?y??1 2

图略 当?3?x??（3）不存在

理由：当y?y3且对应的?1?x?0时，

x2?4x?3?nx?3 ∴ x1?0，x2?n?4 且?1?n?4?0 得

3?n?4

∴ 不存在正整数n满足条件 .

- 27 -

3 1

5.解：（1）把点A(－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y＝x2＋bx－2， 整理后解得b??，

22所以抛物线的解析式为 y?123x?x?2． 顶点D22?325???． ?，8??2（2）

AB?5．

AC2?OA2?OC2?5，BC2?OC2?OB2?20，

?AC2?BC2?AB2．

?△ABC是直角三角形．

（3）作出点C关于x轴的对称点C?，则C?(连接C?D交x轴于点M， 02，)，OC??2．

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC?MD的值最小．

设抛物线的对称轴交x轴于点E．△C?OM∽△DEM．

?OMOC?24m2?．?．?m?． ?325EMED41?m28

6. 解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， yOFBx? OA?OB?22，?AOB?90?， ?AC?OC?BC?2，?B(2，?2)

将B(2，?2)代入抛物线y?ax2(a?0)得，a??（2）过点A作AE?x轴于点E，

E1. 2A1OF1?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ?tan?OBF???2 2BF12 ? ?AOB?90?，易知?AOE??OBF， ?AE1?tan?AOE?tan?OBF?2，?AE?2OE. 设点A（-m，?m2）OE2121m，?m2?2m 22（m?0），则OE?m，AE??m?4，即点A的横坐标为?4.

（3）设A（m，?121m）（m＜0），B（n，?n2）（n?0）， 2212mn 同（2）得tan∠AOE= tan∠OBF 所以 化简得：mn= -4. ?212?mn2- 28 -

11?n2?m22设直线AB的解析式为：y?kx?b，由斜率公式得：k?2化简得：n?mk??1?m?n? 21?m?n?x?b，把B（n，?1n2）代入：?1n2??1?m?n?n?b 化简2222所以y??得：

b?111mn. 所以b?mn????4???2 222由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，?2）.

7.解：（1）由题意可求得点A的坐标为（0,3）又因为MO＝MA

0?33?， 2233又点M在正比例函数y?x的图像上，所以点M的坐标为（1, ）

22所以点M在OA的中垂线上，如图所示，则点M的纵坐标为

13?3?所以AM=OM=1????.

2?2?22（2）将A的坐标为（0,3），M的坐标为（1, 以这个二次函数的解析式为：y?x?235）代入y＝x2＋bx＋c得c=3，b=?. 所225x?3. 2（3）由题意设B（0，m）（m＜3），C?n,n???25??3?n?3?，D?n,n?3?，如图所示 2??4?则AB=3-m， DC=

3513n?3?n2?n?3?n?n2， 42425?3?AD=n??n?3?3??n4?4?2

由因为四边形ABCD是菱形,所以AB=AD=DC 即：

5?13?m?n?m?3???m?14 解得?（舍去），?22 ?13?n1?0??3?m?n?n2?n2?24?52将n=2即x=2代入y?x?x?3得y=2，即点C的坐标为（2,2）.

28.解：（1）如两个函数为y?x?1,y?x?3x?1，函数图形略；

2- 29 -

（2）不论k取何值，函数y?kx2?(2k?1)x?1的图象必过定点(0,1),(?2,?1)，

且与x轴至少有1个交点.证明如下：

由y?kx2?(2k?1)x?1，得k(x2?2x)?(x?y?1)?0

当x2?2x?0,且x?y?1?0，即x?0,y?1上式对任，或x??2,y??1时，意实数k都成立，所以函数的图像必过定点(0,1),(?2,?1). 又因为当k?0时，函数y?x?1的图像与x轴有一个交点；

当k?0时，所以函数图像与x轴有两个交点. ???(2k?1)2?4k?4k2?1?0，所以函数y?kx2?(2k?1)x?1的图象与x轴至少有1个交点.

（3）只要写出m??1的数都可以.

?k?0，?函数y?kx2?(2k?1)x?1的图像在对称轴直线x?? 的左侧，y随x的增大而增大. 根据题意，得m?? 所以m??1.

2k?1 2k2k?12k?11??1???1 ，而当k?0时，?2k2k2k- 30 -

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