矩阵的运算及其运算规则

矩阵的运算及其运算规则

一、矩阵的加法与减法

1、运算规则

设矩阵 则

，，

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！

注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．

2、 运算性质 （假设运算都是可行的） 满足交换律和结合律 交换律 结合律

；

．

二、矩阵与数的乘法

1、 运算规则

数乘矩阵A，就是将数

乘矩阵A中的每一个元素，记为

或．

特别地，称称为

的负矩阵．

2、 运算性质

满足结合律和分配律

结合律： (λμ)A=λ(μA) ； (λ+μ)A =λA+μA． 分配律： λ (A+B)=λA+λB．

典型例题

例6.5.1 已知两个矩阵

满足矩阵方程，求未知矩阵

．

解 由已知条件知

三、矩阵与矩阵的乘法

1、 运算规则

设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：

．

列元素对应相乘，再取

(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 (2) C的第行第乘积之和．

典型例题 例6.5.2 设矩阵

列的元素

由A的第行元素与B的第

计算 解

是

的矩阵．设它为

想一想：设列矩阵是多少呢

课堂练习

是3×3的矩阵，

，行矩阵，和的行数和列数分别

是1×1的矩阵，即只有一个元素．

1、设，，求．

2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．

3、设列矩阵能得出什么结论吗？

，行矩阵，求和，比较两个计算结果，

4、设三阶方阵，三阶单位阵为，试求和，

并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．

解： 第1题

．

第2题 对于

，

求

是有意义的，而

是无意义的．

．

结论1 只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数． 第3题

是

矩阵，

是

的矩阵．

．

结论2 在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在也未必有 第4题 计算得：

．

=

成立．可见矩阵乘法不满足交换律．

与

均有意义时，

结论3 方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即 单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．

．

典型例题

例6.5.3 设，试计算和．

解

．

，不能得出

或

结论4 两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若

的结论．

例6.5.4 利用矩阵的乘法，三元线性方程组

可以写成矩阵的形式

＝

若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为

，

，

，

则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：．

2、 运算性质（假设运算都是可行的） (1) 结合律 ．

(2) 分配律 （左分配律）； （右分配律）．

(3)

． 3、 方阵的幂

定义：设A是方阵，是一个正整数，规定

，

显然，记号

表示个A的连乘积．

四、矩阵的转置

1、 定义

定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作

或．

例如，矩阵的转置矩阵为2、运算性质（假设运算都是可行的） (1)

(2)

(3) (4) ，

是常数．

典型例题

例6.5.5 利用矩阵

验证运算性质：

解 ；

而

．

所以

．

定义：如果方阵满足称矩阵．

，即，则称A为对

对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

五、方阵的行列式

1、定义

定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作

或．

2 、运算性质

(1) （行列式的性质）

(2) (3)

思考：设A为是

，而是

，特别地：（

是常数，A的阶数为n）

的行列式

阶方阵，那么

？

与A的行列式之间的关系为什么不

不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．

例如，则．

于是，而 ．

思考：设

解 方法一：先求矩阵乘法 方法二：先分别求行列式

，有几种方法可以求？

，得到一个二阶方阵，再求其行列式．

，再取它们的乘积．

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