高中数学第二章平面解析几何初步2.1.1数轴上的基本公式练习(含解析)新人教B版必修2

高中数学第二章平面解析几何初步2.1.1数轴上的基本公式练习

（含解析）新人教B版必修2

对应学生用书P45

知识点一

数轴上的点的坐标1．下列各组点中，M点一定位于N点右侧的是( )

A．M(－x)与N(x) B．M(x)与N(x＋a)

C．M(x3)与N(x2) D．M(2x)与N(2x－1)

答案 D

解析A项，x的符号不确定，∴－x与x的大小关系不确定，故不能确定两点的相对位置．B项，由于a的值不确定，故不能确定x与x＋a的相对位置．C项，x3与x2的大小关系不确定，故不能确定x3与x2的相对位置．D项，∵2x>2x－1对任意实数x都成立，∴点M一定位于点N的右侧．

知识点二

向量及其有关概念

A．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量

B．两个相等的向量的起点可以不同

C．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量

D．AB

→

的大小是数轴上A，B两点到原点距离之差的绝对值

答案 B

解析一个点的坐标没有大小，每一个实数对应着无数个位移向量．|AB

→

|＝|x B－x A|，不一定为|AB

→

|＝||

|x B|－|x A|．故选B．

知识点三

数轴上两点间距离公式3．若A(a)与B(－5)两点对应的向量AB的数量为－10，则a＝______，若A与B的距离

为10，则a＝______．

答案 5 5或－15

解析∵AB＝x B－x A，|AB|＝|x A－x B|，

∴－5－a＝－10，解得a＝5．

|－5－a|＝10，解得a＝5或a＝－15．

4．已知数轴上三点A(x)，B(2)，P(3)．

(1)当AP＝2BP时，求x；

(2)当AP＞2BP时，求x的取值范围；

(3)当AP＝2PB时，求x．

解由题意，可知AP＝3－x，BP＝3－2＝1．

(1)当AP＝2BP时，有3－x＝2，解得x＝1．

(2)当AP＞2BP时，有3－x＞2，解得x＜1．

(3)由AP＝2PB，可得3－x＝2(－1)，解得x＝5．

对应学生用书P45

一、选择题

1．下列说法正确的是( )

A．零向量有确定的方向

B．数轴上等长的向量叫做相等的向量

C．向量AB

→

的坐标AB＝－BA

D．|AB

→

|＝AB

答案 C

解析零向量的方向是任意的，数轴上等长的向量方向不一定相同，不一定是相等向量；向量AB

→

的坐标AB＝－BA，正确；AB为负数，|AB

→

|＝AB不正确．

2．数轴上的点A(－2)，B(3)，C(－7)，则有：

①AB＋AC＝0；②AB＋BC＝0；③BC>CA；④|AB

→

|＋|AC

→

|>|BC

→

|．

其中，正确结论的个数为( )

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

答案 C

解析 由数轴上的点A(－2)，B(3)，C(－7)得，AB ＋AC ＝5－5＝0，①正确； AB ＋BC ＝5－10＝－5，②不正确；

BC ＝－10>CA ＝5，③不正确；

|AB →|＋|AC →|＝5＋5＝10＝|BC →|，④不正确．

3．已知数轴上两点A ，B ，若点B 的坐标为3，且A ，B 两点间的距离d(A ，B)＝5，则点A 的坐标为( )

A ．8

B ．－2

C ．－8

D ．8或－2

答案 D

解析 已知B(3)，记点A(x 1)，则d(A ，B)＝|AB|＝|3－x 1|＝5，解得x 1＝－2或x 1＝8．

4．数轴上点P(x)，A(－8)，B(－4)，若|PA|＝2|PB|，则x 等于( )

A ．0

B ．－163

C ．163

D ．0或－163

答案 D

解析 ∵|PA|＝2|PB|，

∴|x＋8|＝2|x ＋4|，解得x ＝0或－163

． 5．当数轴上的三个点A ，B ，O 互不重合时，它们的位置关系共有六种情况，其中使AB

＝OB －OA 和|AB →|＝|OB →|－|OA →|同时成立的情况有( )

A ．1种

B ．2种

C ．3种

D ．4种

答案 B

解析 AB ＝OB －OA 恒成立，而|AB →|＝|OB →|－|OA →|成立，则只有点A 在O 和B 中间，共有

2种可能．

二、填空题

6．已知A(2)，B(－3)两点，则AB ＝________，|AB|＝________．

答案 －5 5

解析 AB ＝－3－2＝－5，|AB|＝|－5|＝5．

7．在数轴上，已知AB →＝2，BC →＝3，CD →＝－6，则AD →＝________．

答案 －1

解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝2＋3－6＝－1．

8．数轴上的点A(3a＋1)总在点B(1－2a)的右侧，则a的取值范围是________．答案(0，＋∞)

解析因为A(3a＋1)在B(1－2a)的右侧，所以3a＋1＞1－2a，所以a＞0．

三、解答题

9．已知数轴上的点P(x)的坐标分别满足以下情况，试指出x的各自的取值范围．(1)|x|＝2；(2)|x|＞2；(3)|x－2|＜1．

解(1)|x|＝2表示与原点距离等于2的点，

∴x＝2或x＝－2．

(2)|x|＞2表示与原点距离大于2的点，

∴x>2或x<－2．

(3)|x－2|<1表示与点P(2)的距离小于1的点，

∴1

10．在数轴上，已知AB

→

＝3，BC

→

＝－2，

(1)求|AM

→

＋BC

→

＋MB

→

|；

(2)若A(－1)，线段BC的中点为D，求DC．

解(1)|AM

→

＋BC

→

＋MB

→

|＝|AM

→

＋MB

→

＋BC

→

|

＝|AB

→

＋BC

→

|＝1．

(2)由于A(－1)，AB

→

＝3，BC

→

＝－2，

得x B－x A＝3，x C－x B＝－2，

即x B＝3＋x A＝2，x C＝x B－2＝0．

所以线段BC的中点D的坐标为1．∴DC＝－1．

?2．1．2 平面直角坐标系中的基本公式

对应学生用书P47

知识点一

两点间距离公式

1．已知A(1，2)，B(a ，6)，且|AB|＝5，则a 的值为( )

A ．4

B ．－4或2

C ．－2

D ．－2或4

答案 D

解析 a －12＋6－22＝5，∴a＝4或－2．

2．已知△ABC 的三个顶点A(－1，0)，B(1，0)和C ? ??

??12，32，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．斜三角形

答案 C

解析 ∵d(A，B)＝[1－－1]2＋02＝2，

d(B ，C)＝? ????12－12＋? ??

??32－02＝1， d(A ，C)＝??????12－－12＋? ??

??32－02＝3， ∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，

∴△ABC 为直角三角形．故选C ．

知识点二 中点坐标公式 是( )

A ．4

B ．13

C ．15

D ．130

答案 D

解析 根据中点坐标公式，得????? －3＝x ＋12，－2＝5＋y 2

， 解得????? x ＝－7，y ＝－9.∴|PO|＝－72＋－92＝130．

4．已知点P(a ＋3，a －2)在y 轴上，则点P 关于原点的对称点的坐标为________． 答案 (0，5)

解析 由点P(a ＋3，a －2)在y 轴上，得a ＋3＝0，

a ＝－3，∴a－2＝－5，

即点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为P′(0，5)．

知识点三 坐标法的应用

5．用坐标法证明?ABCD 的对角线相交且平分．

解 取AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy(如图)．

设A 点，B 点，C 点的坐标分别为A(－a ，0)，B(a ，0)(a>0)，C(b ，c)，

由平行四边形的性质知D 点的坐标为(－2a ＋b ，c)．再设AC ，BD 的中点分别为E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，

由中心公式得????? x 1＝－a ＋b 2，y 1＝0＋c 2，即E －a ＋b 2，c 2

． ????? x 2＝a －2a ＋b 2，y 2＝0＋c 2，即F －a ＋b 2，c 2

． ∴点E 与点F 重合，

∴?ABCD 的对角线相交且平分．

对应学生用书P47

一、选择题

1．点A(2，－3)关于坐标原点的中心对称点是(

)

A ．(3，－2)

B ．(－2，－3)

C ．(－2，3)

D ．(－3，2) 答案 C

解析 设所求点的坐标为B(x ，y)，则由题意知坐标原点是点A ，B 的中点，则????? 2＋x 2＝0，－3＋y 2＝0，

解得????? x ＝－2，y ＝3.故选C ．

2．已知直线上两点A(a ，b)，B(c ，d)，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( )

A ．原点一定是线段A

B 的中点

B ．A ，B 一定都与原点重合

C ．原点一定在线段AB 上，但不是中点

D ．以上结论都不对

答案 D

解析 由 a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0得 a 2＋b 2

＝

c 2＋

d 2，即A ，B 两点到坐标原点的距离相等，所以原点在线段AB 的垂直平分线上，故选D ．

3．已知A(1，3)，B(5，－2)，点P 在x 轴上，则使|AP|－|BP|取最大值时的点P 的坐标是( )

A ．(4，0)

B ．(13，0)

C ．(5，0)

D ．(1，0)

答案 B

解析 如图，点A(1，3)关于x 轴的对称点为A′(1，－3)，连接A′B 交x 轴于点P ，即为所求．利用待定系数法可求出一次函数的表达式为：

y ＝14x －134

，令y ＝0，得x ＝13． 所以点P 的坐标为(13，0)．

4．已知A ，B 的坐标分别为(1，1)，(4，3)，点P 在x 轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )

A．20 B ．12 C．5 D．4

答案 C

解析如图，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，由平面几何知识得|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|＝

1－42＋－1－32

＝9＋16＝5．

5．如果一条平行于x轴的线段的长为5，它的一个端点是(2，1)，那么它的另一个端点是( )

A．(－3，1)或(7，1) B．(2，－3)或(2，7)

C．(－3，1)或(5，1) D．(2，－3)或(2，5)

答案 A

解析由线段平行于x轴知，两个端点的纵坐标相等，都是1，故可设另一个端点为(x，

1)，则|x－2|＝5，所以x＝7或x＝－3，即端点坐标为(7，1)或(－3，1)．

二、填空题

6．已知点M(2，2)平分线段AB，且A(x，3)，B(3，y)，则x＝________，y＝________．答案 1 1

解析“点M(2，2)平分线段AB”的含义就是点M是线段AB的中点，可以用中点坐标公式把题意转化为方程组进行求解．∵点M(2，2)平分线段AB，

∴

??

?

??x＋32＝2，

3＋y

2

＝2，

解得

??

?

??x＝1，

y＝1.

7．已知A(1，5)，B(5，－2)，则在坐标轴上与A，B等距离的点有________个．

答案 2

解析若点在x轴上，设为(x，0)，则有(x－1)2＋25＝(x－5)2＋4，∴x＝

3

8

；若点在y 轴上，设为(0，y)，则有1＋(5－y)2＝25＋(－2－y)2，∴y＝－

3

14

．

8．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a等于________．答案

1

2

解析 |AB|2＝(5－a －1)

2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2? ????a －122＋492

，所以当a ＝12时，|AB|取得最小值．

三、解答题

9．已知△ABC 的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，求点C 的坐标．

解 设点C(x ，y)．由直线AB 与x 轴不平行，可设边AC 的中点为D ，BC 的中点为E ，则DE 綊12

AB ． 线段AC 的中点D 的坐标为?

????3＋x 2，7＋y 2， 线段BC 的中点E 的坐标为? ??

??－2＋x 2，5＋y 2． 若点D 在y 轴上，则3＋x 2

＝0，所以x ＝－3，此时点E 的横坐标不为零，点E 要在坐标轴上只能在x 轴上，

所以5＋y 2

＝0，所以y ＝－5，即C(－3，－5)． 若点D 在x 轴上，则7＋y 2

＝0，所以y ＝－7，此时点E 只能在y 轴上，

即－2＋x 2

＝0， 所以x ＝2，此时C(2，－7)．

如图所示．

综上可知，符合题意的点C 的坐标为(2，－7)或(－3，－5)．

10．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求点P ，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2

最小，并求出最小值．

解 以正三角形的一边所在直线为x 轴，此边中线所在直线为y 轴建立坐标系，如图．

则A ? ????－a 2，0，B ? ????a 2，0，C ? ??

??0，32a ． 设P(x ，y)，则有

|PA|2＋|PB|2＋|PC|2

＝? ????x ＋a 22＋y 2＋? ????x －a 22＋y 2＋x 2＋?

????y －32a 2 ＝3x 2＋3y 2－3ay ＋54a 2＝3x 2＋3?

????y －36a 2＋a 2， ∴当P ? ??

??0，

36a 时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a 2．

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