初中数学因式分解（精华例题）（学案）

初中因式分解的常用方法

一、提公因式法.

如多项式am?bm?cm?m(a?b?c),

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用

a2?b2?(a?b)(a?b), a2?2ab?b2?(a?b)2,

a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)写出结果． 三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am?an?bm?bn

例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx

练习：分解因式1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x2?y2?ax?ay

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例4、分解因式：a2?2ab?b2?c2

练习：分解因式3、x2?x?9y2?3y 4、x2?y2?z2?2yz

综合练习：（1）x3?x2y?xy2?y3 （2）ax2?bx2?bx?ax?a?b

（3）x2?6xy?9y2?16a2?8a?1 （4）a2?6ab?12b?9b2?4a

（5）a4?2a3?a2?9 （6）4a2x?4a2y?b2x?b2y

（7）x2?2xy?xz?yz?y2 （8）a2?2a?b2?2b?2ab?1

（9）y(y?2)?(m?1)(m?1) （10）(a?c)(a?c)?b(b?2a)

（11）a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc（12）a3?b3?c3?3abc

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四 十字相乘法

1．二次三项式 （1）多项式ax例如：x22?bx?c，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．

?2x?3和x2?5x?6都是关于x的二次三项式．

2（2）在多项式x式．

?6xy?8y2中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项

（3）在多项式2a22b?7ab?3中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式(x?y)2?7(x?y)?12，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．

2．十字相乘法的依据和具体内容 (1)对于二次项系数为1的二次三项式x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b) 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”

当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；

当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式ax它的特征是“拆两头，凑中间”

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；

常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同

注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 二、典型例题 例1 把下列各式分解因式： (1)x

例2 把下列各式分解因式： (1)2x

例3 把下列各式分解因式： （1）x (3)(a

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22?bx?c?a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2) 2?2x?15； (2)x2?5xy?6y2．

2?5x?3； (2)3x2?8x?3．

4?10x2?9； (2)7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)；

?8a)2?22(a2?8a)?120．

例4 分解因式：(x2?2x?3)(x2?2x?24)?90． 例5分解因式6x4?5x3?38x2?5x?6．

例6分解因式x2?2xy?y2?5x?5y?6． 例7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．

例8、已知x4?6x2?x?12有一个因式是x2?ax?4，求a值和这个多项式的其他因式．

把下列各式分解因式： (1)2x2?15x?7 (2) 3a2?8a?4 (3) 5x2?7x?6

(4) 6y2?11y?10 (5) 5a2b2?23ab?10 (6) 3a2b2?17abxy?10x2y2

(7) x2?7xy?12y2 (8) x4?7x2?18 (9) 4m2?8mn?3n2 (10) 5x5?15x3y?20xy2

综合练习 1．

如果x2?px?q?(x?a)(x?b)，那么p等于 (

)

A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b) 2．如果x2?(a?b)?x?5b?x2?x?30，则b为 (

)

A．5 B．－6 C．－5 D．6 3．多项式x2?3x?a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 (

)

A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2

4．不能用十字相乘法分解的是 ( )

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A．x2?x?2 B．3x2?10x2?3x C．4x2?x?2 D．5x2?6xy?8y2

5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 ( ) A．2(x?y)2?13(x?y)?20 B．(2x?2y)2?13(x?y)?20 C．2(x?y)2?13(x?y)?20 D．2(x?y)2?9(x?y)?20

6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有 ( ) ①x2?7x?6； ②3x2?2x?1； ③x2?5x?6；

④4x2?5x?9； ⑤15x2?23x?8； ⑥x4?11x2?12

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．x2?3x?10?__________．

8．m2?5m?6?(m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________． 9．2x2?5x?3?(x－3)(__________)．

10．x2?____?2y2?(x－y)(__________)． 11．a2?nma?(_____)?(____?____)2． 12．当k＝______时，多项式3x2?7x?k有一个因式为(__________)．

13．若x－y＝6，xy?1736，则代数式x3y?2x2y2?xy3的值为__________． 14．把下列各式分解因式：

(1)x4?7x2?6； (2)x4?5x2?36； (3)4x4?65x2y2?16y4； (4)a6?7a3b3?8b6； (5)6a4?5a3?4a2； (6)4a6?37a4b2?9a2b4．

15．把下列各式分解因式： (1)(x2?3)2?4x2； (2)x2(x?2)2?9； (3)(3x2?2x?1)2?(2x2?3x?3)2； (4)(x2?x)2?17(x2?x)?60； (5)(x2?2x)2?7(x2?2x)?8

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(6)(2a?b)2?14(2a?b)?48．

16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，x3?y3?26，求a的值． 思考：分解因式：abcx2?(a2b2?c2)x?abc

五、主元法.

例11、分解因式：x2?3xy?10y2?x?9y?2

练习11、分解因式(1)x2?y2?4x?6y?5 (2)x2?xy?2y2?x?7y?6

(3)x2?xy?6y2?x?13y?6 (4)a2?ab?6b2?5a?35b?36

六、双十字相乘法。

定义：双十字相乘法用于对Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F型多项式的分解因式。 条件：（1）A?a1a2，C?c1c2，F?f1f2

（2）a1c2?a2c1?B，c1f2?c2f1?E，a1f2?a2f1?D 即： a1 c1 f1

a2 c2 f2

a1c2?a2c1?B，c1f2?c2f1?E，a1f2?a2f1?D 则Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?(a1x?c1y?f1)(a2x?c2?f2)

例12、分解因式（1）x2?3xy?10y2?x?9y?2 （2）x2?xy?6y2?x?13y?6

练习12、分解因式（1）x2?xy?2y2?x?7y?6 （2）6x2?7xy?3y2?xz?7yz?2z2

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七、换元法。

例13、分解因式（1）2005x?(2005?1)x?2005 （2）(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x

22222练习13、分解因式（1）(x?xy?y)?4xy(x?y)

22222222（2）(x?3x?2)(4x?8x?3)?90 （3）(a?1)?(a?5)?4(a?3)

432例14、分解因式（1）2x?x?6x?x?2

观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

4322432练习14、（1）6x?7x?36x?7x?6（2）x?2x?x?1?2(x?x)

八、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）x?3x?4

42243练习15、分解因式（1）x?9x?8 （2）(x?1)?(x?1)?(x?1)

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32222

（3）x4?7x2?1 （4）x4?x2?2ax?1?a2

（5）x4?y4?(x?y)4 （6）2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4

九、待定系数法。

例16、分解因式x2?xy?6y2?x?13y?6

例17、（1）当m为何值时，多项式x2?y2?mx?5y?6能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果x3?ax2?bx?8有两个因式为x?1和x?2，求a?b的值。

练习17、（1）分解因式x2?3xy?10y2?x?9y?2

（2）分解因式x2?3xy?2y2?5x?7y?6

（3）已知：x2?2xy?3y2?6x?14y?p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。

（4）k为何值时，x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第 8 页 共 8 页 8

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