数学建模集训讲义（1-5节）

数学建模集训讲义

§１ 数学模型的概念和分类

1.1原型和模型

原型（原始参照物，Prototype）是指人们在现实世界里关心、．．

研究或者从事生产、管理的实际对象，也就是系统科学中所说的实际系统或过程．如电力系统、通信系统、机械系统、生态系统、生命系统、经济系统、管理系统、钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等．

模型(Model)是指人们为了某个特定目的，将原型所具有本．．

质属性的某一部分信息进行适当的简化、提炼而构造的一种原型替代物．如建筑物模型、飞机模型、水坝模型、人造卫星模型、大型水电站模型，这些模型都是实物模型；也有用文字、符号、．．．．图表、公式、框图等描述客观事物的某些特征和内在联系的抽象．．模型，如模拟模型、数学模型等． ．．

模型不是原型原封不动的复制品，它既简单于原型，又高于原型．原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反应与某种目的有关的那些方面和层次的特征．

例如，一个城市的交通图是该城市（原型）的模型，看模型比看原型清楚得多，此时，城市的人口、道路、车辆、建筑物的形状等都不重要．但是，城市的街道、交通线路和各单位的位置等信息都一目了然．

对同一个原型，为了不同的目的，可以建立多种不同的模型．

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比如，作为玩具的飞机模型，在外形上与飞机相似，但不会飞；而参加航模竞赛的模型飞机就必须能够飞行，对外观则不必苛求；对于供飞机设计、研制用的飞机数学模型，则主要是在数量规律上要反映飞机的飞行动态特征，而不涉及飞机的实体．

又如，为了制定某大型企业的生产管理计划，模型就必须反映产品的产量、销售量和库存原料量等变化情况，不必反映各生产装置的动态特性；相反，为了实现各生产装置的最佳运行，模型就必须详细地描述各装置内部状态变化的生产过程动态特性。

模型可以分为实物模型和抽象模型，抽象模型又可以分为模拟模型和数学模型．对我们来说，最感兴趣的是数学模型．

??直观模型:玩具，照片???实物模型?物理模型:风洞中的飞机模型,?? 地震模拟装置?????思维模型:汽车司机???模型???对方向盘的操纵,某??模拟模型?些领导凭经验作决策??抽象模型????符号模型:地图,???????电路图,化学结构式???数学模型??

1.2 数学模型(Mathematical Model) 的概念

广义地说，数学本身就是刻画现实世界的模型．数学的研究既不像物理学、化学、生物学那样以自然界的具体运动形态为对

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象，也不像经济学、社会学、政治学那样以社会的具体运动形态为对象．数学研究的是形式化、数量化的思想材料．思想只能来源于现实世界，但不是原原本本复制现实世界（原型），需要经过一定的加工、抽象．也就是说，在现实世界中大量的数学问题往往并不是自然地以现成数学问题的形式出现．首先，我们需要对要解决的实际问题进行分析研究，经过简化、提炼、归结为一个能够求解的数学问题，即建立该问题的数学模型．这是运用数学的理论与方法解决问题关键的第一步，然后，才能应用数学理论、方法进行分析和求解，进而为解决现实问题提供数量支持与指导．由此可见数学建模的重要性．

现实世界的问题往往比较复杂，在从实际中抽象出数学问题的过程中，我们必须抓住主要因素，忽略一些次要因素，作出必．．．．．．．．．．．．．．．要的简化，使抽象所得的数学问题能用适当的方法进行求解．

例如火箭在作短程飞行时，要研究其运动轨迹，可以不考虑地球自转的影响，但若火箭作洲际飞行，就要考虑地球自转的影响了．又比如同是一次火箭飞行实验，在研究其射程时可不考虑某些段空气阻力的影响，但在研究其命中精度时就必须考虑这些因素。

以解决某个现实问题为目的，经过分析简化，从中抽象、归纳出来的数学问题就是该问题的数学模型，这个过程称为数学建模(Mathematical Modelling)．

一般地说，数学模型可以这样来描述：对于现实世界的一个

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特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构，这个数学结构就是数学模型．

这里的特定对象是指我们所要研究解决的某个具体问题．这里的特定目的是指当研究一个特定对象时所要达到的特定目的，如分析、预测、控制、决策等．这里的数学工具是指数学各分支的理论和方法及数学的某些软件系统．这里的数学结构包括各种数学方程、表格、图形等等．

数学建模对于我们来说并不陌生．如古埃及丈量土地时发明了三角，这就是数学建模；而我们今天熟悉的微积分基本上可以视为是17世纪对力学问题、天文学问题的数学建模．

1.3数学模型的分类

1．按照建立模型所用的数学方法的不同，可分为

?初等模型??几何模型?运筹学模型??数学模型?微分方程模型

?概率统计模型??统计回归模型?数学规划模型??２．按照数学模型的应用领域的不同，可分为

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?人口模型??交通模型?环境模型??污染模型?生态模型??数学模型?金融模型?水资源模型??企业管理模型?经济预测模型??城镇规划模型? 再生资源利用模型??３．按照模型的表现特征可分为

?确定性模型, 数学模型??随机模型?静态模型， 数学模型??动态模型?线性模型， 数学模型??非线性模型?离散模型 数学模型??连续模型４．按照建模目的可分为

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?描述模型??预报模型?数学模型?优化模型

?决策模型???控制模型５．按照对模型结构的了解程度的不同，可分为

?白箱模型:如力学,热学,电学?数学模型?灰箱模型:如生态气象,经济交通

??黑箱模型:如生命科学,社会科学1.4数学模型与数学的区别

数学模型与数学是不完全相同的，主要体现在三个方面． 1．研究内容不同

数学主要是研究对象的共性和一般规律，而数学模型主要是研究对象的个性（针对性）和特殊规律． 2．研究方法不同

数学的主要研究方法是归纳加演绎，而数学模型是将现实对象的信息加以翻译、归纳，经过求解、演绎，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、预报、决策、控制的结果． 3．研究结果不同

数学的研究结果被证明了就一定是正确的，而数学模型的研究结果被证明了未必一定正确，这是因为与模型的简化和模型的假设有关，因此，对数学模型的研究结果必须接受实际的检验．

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鉴于数学模型与数学的关系和区别，我们评价一个数学模型优劣的标准是：模型是否有一定的实际背景、假设是否合理、推理是否正确、方法是否简单、论述是否深刻等等． 1.5对数学模型的一般要求

1.要有足够的精确度，就是要把本质的性质和关系反映进去，把非本质的东西去掉，而又不影响反映现实的本质的真实程度． 2．模型既要精确，又要尽可能的简单．因为太复杂的模型难以求解，而且如果一个简单的模型已经可以使某些实际问题得到满意的解决，那我们就没有必要再来建立一个复杂的模型．因为构造一个复杂的模型并求解它，往往要付出较高的代价． 3．要尽量借鉴已有的标准形式的模型．

4．构造模型的依据要充分，就是说要依据科学规律、经济规律来建立有关的公式和图表，并要注意使用这些规律的条件．

§2 数学建模的方法、步骤与能力培养

2.1数学建模的方法

1.机理分析法

机理分析法就是根据人们对现实对象的了解和已有的知识经验等,分析研究对象中各变量(因素)之间的因果关系,找出反映其内部机理的规律的一类方法.使用这种方法的前提是我们对研究对象的机理应有一定的了解. 2.测试分析法

当我们对研究对象的机理不清楚的时候,可以把研究对象视为一

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个“黑箱”系统，对系统的输入输出进行观测,并以这些实测数据为基础进行统计分析来建立模型，这样的一类方法称为测试分析法. 3.综合分析法

对于某些实际问题,人们常常将上述两种建模方法结合起来使用,例如用机理分析法确定模型结构,再用测试分析法确定其中的参数,这类方法为综合分析法.

2.2数学建模的一般步骤

数学建模是一种创造性的过程，它需要相当高的观察力、想象力和灵感．数学建模的过程是有一定阶段性的，要解决的问题都是来自于现实世界之中．数学建模的过程就是对问题进行分析、提炼，用数学语言做出描述，用数学方法分析、研究、解决，最后回到实际中去应用于解决和解释实际问题，乃至更进一步作为一般模型来解决更广泛的问题．

对我们来说，数学建模的过程可以概括为

问题分析?模型假设?模型建立?模型求解

?解的分析与检验?论文写作?应用实际

1. 问题的分析

数学建模的问题，通常都是来自于实际中的各个领域的实际问题，没有固定的方法和标准的答案，因而既不可能明确给出该用什么方法，也不会给出恰到好处的条件，有些时候所给出的问题本身就是含糊不清的．因此，数学建模的第一步就应该是对问题所给的条件和数据进行分析，明确要解决的问题．通过对问题的分析，明确问题中

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所给出的信息、要完成的任务和所要做的工作、可能用到的知识和方法、问题的特点和限制条件、重点和难点、开展工作的程序和步骤等．同时，还要明确题目所给条件和数据在解决问题中的意义和作用、本质的和非本质的、必要的和非必要的等等．从而，可以在建模的过程中，适当地对已有的条件和数据进行必要的简化或修改，也可以适当地补充一些必要的条件和数据． 2. 模型的假设

实际中，根据问题的实际意义，在明确建模目的的基础上，对所研究的问题进行必要的、合理的简化，用准确简练的语言给出表述，即模型的假设，这是数学建模的重要一步．合理假设在数学建模中除了起着简化问题的作用外，还对模型的求解方法和使用范围起着限定作用．模型假设的合理性问题是评价一个模型优劣的重要条件之一，也是模型的建立成败的关键所在，假设做的过于简单，或过于详细，都会可能使得模型建立的不成功．为此，实际中要做出合适的假设，需要一定的经验和探索，有时候需要在建模的过程中对已做的假设进行不断地补充和修改． 3.模型的建立

在建立模型之前，首先要明确建模的目的，因为对于同一个实际问题，出于不同的目的所建立的数学模型可能会有所不同．在通常情况下，建模的目的可以是描述或解释现实世界的现象；也可以是为了预报一个事件是否会发生，或未来的发展趋势；也可以是为了优化管理、决策或控制等．

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如果是为了描述或解释现实世界，则一般可采用机理分析的方法去研究事物的内存规律；如果是为了预测预报，则常常可以采用概率统计、优化理论或模拟计算等有关的建模方法；如果是为了优化管理、决策或控制等目的，则除了有效地利用上述方法之外，还需要合理地引入一些量化的评价指标以及评价方法．对于实际中的一个复杂的问题，往往是要综合运用多种不同方法和不同学科的知识来建立数学模型，才能够很好地解决这一个问题．

在明确建模目的的基础上，在合理的假设之下，就可以完成建立模型的任务，这是我们数学建模工作中最重要的一个环节．根据所给的条件和数据，建立起问题中相关变量或因素之间的数学规律，可以是数学表达式、图形和表格，或者是一个算法等，都是数学模型的表示形式，这些形式有时可以相互转换． 4.模型求解

不同的数学模型的求解方法一般是不同的，通常涉及不同数学分支的专门知识和方法，这就要求我们除了熟练地掌握一些数学知识和方法外，还应具备在必要时针对实际问题学习新知识的能力．同时，还应具备熟练的计算机操作能力，熟练掌握一门编程语言和一两个数学工具软件包的使用．不同的数学模型求解的难易程度是不同的．一般情况下，对较简单的问题，应力求普遍性；对较复杂的问题，可从特殊到一般的求解思路来完成． 5.解的分析与检验

对于所求出的解，必须要对解的实际意义进行分析，即模型的解

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在实际问题中说明了什么、效果怎样、模型的适用范围如何等等．同时，还要进行必要的误差分析和灵敏度分析等工作．由于数学模型是在一定的假设下建立的，而且利用计算机近似求解，其结果产生一定的误差是必然的．通常意义下的误差主要来自于由模型的假设引起的误差、近似求解方法产生的误差、计算机产生的舍入误差和问题的数据本身误差．实际中，对这些误差很难准确地给出定量估计，往往是针对某些主要的参数做相应的灵敏度分析，即当一个参数有很小的扰动时，对结果的影响是否也很小，由此可以确定相应变量和参数的误差允许范围． 6.论文写作

因为数学建模工作的目的是为了解决实际问题，所以工作完成以后要写出一篇论文，即等于一篇研究报告．论文要力求通俗易懂，能让人明白你用什么方法解决了什么问题，结果如何，有什么特点．为此，应尽可能使论文的表述清晰、主题明确、论证严密、层次分明、重点突出、符合科技论文的写作规范．同时，要注意论文的写作工作是贯穿始终的，在建模的每个阶段都应该把你的主要思想和工作写下来，这是论文写作时的第一手材料． 7.应用实际

对于所建立的数学模型以及求解结果，只有拿到实际中去应用检验后，才被证明是正确的．否则，就需要修正模型的假设或条件，重新建立模型，直到通过实际的检验为止，方可应用于实际．

2.3数学建模与能力培养

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数学建模有利于培养以下几方面的能力． 1．丰富灵活的想象力

数学建模要解决的问题往往都需要多学科的知识和多种不同的方法，因此，需要我们具备丰富的想象力，有人说：“想象力是最高的天赋——是一种把原始经历组合成具体形象的能力，一种把握层次能力，一种把感觉、梦幻和理想等对立因素融合成一个统一整体的能力．”

2．抽象思维的简化能力

实际中的问题往往都是很复杂的，数学建模的过程就是通过对问题进行抽象、简化将其转化为数学问题．因此，这种抽象思维的简化能力是必不可少的，数学建模的学习和训练有利于培养这种能力． 3．一眼看穿的洞察能力

洞察能力是一种直觉的领悟，是把握事物内存的或隐藏的和本质的能力．这种能力对于数学建模是非常重要的，但需要经过艰苦的、长期的经验积累和有针对性地训练． 4．发散思维的联想能力

发散思维是发明创造的一个有力武器，在数学建模的过程中，通过某些关键信息展开联想，这是一种“由此及彼、由彼及此”的能力． 5．与时俱进的开拓能力

随着社会的进步和发展，科学技术也快速发展，实际中的问题复杂多变，数学建模也必须要与时俱进，发扬开拓精神，培养创新能力，这也是新型创新人才素质的一部分．

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6．学以致用的应用能力

学以致用是21世纪高素质应用型人才所具备的一种素质，因为一个人所掌握的知识总和是有限的，但解决实际问题所需要的知识相对是无限的，因此，我们必须具备这种急学先用，学以致用的应用能力，数学建模是培养我们这种能力的一种有效途径． 7．会抓重点的判断能力

数学建模的问题所给条件和数据往往不是恰到好处，有时也可能是杂乱无章的，这就要求我们具备特有的一种会抓重点的判断能力，充分利用已知信息，寻找突破口，来解决问题． 8．高度灵活的综合能力

因为数学建模的问题是综合性的，解决问题所需要的知识和方法也是综合性的，因此，我们的能力也必须是综合性的，否则，我们将会是“只见树木，不见森林”，不可能完整地解决问题． 9．使用计算机的动手能力

数学建模必须要熟练掌握计算机的操作，以及工具软件的使用和计算编程，这是因为对实际问题进行分析和建立数学模型以后的求解都有大量的推理运算、数值计算、作图等工作，这都需要通过机算机和软件技术来实现． 10．信息资料的查阅能力

信息资料的查阅能力是科技人才所必备、数学建模所必需的能力．

11．科技论文的写作能力

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论文的写作能力是数学建模的基本技能之一，也是科技人才的基本能力之一，是表达我们所做工作的惟一方式．通过论文，要让读者清楚地知道用什么方法解决了什么问题，结果为何，效果怎么样等． 12．团结协作的攻关能力

数学建模都是以小组为单位开展工作的，体现的是团队精神，培养的是团结协作的能力，也是未来科研工作所必备的能力，不具备这种能力的人则将一事无成．

§３流言蜚语(或小道消息)的传播问题

假设某地区的总人口为N，在短期内不变．x(t)表示t时刻知道消息的人数占人数的百分比，初始时刻的百分比为x?0??x0?1，传播率为h，则可以建立的数学模型为

?dx?dt?h?1?x?, ??x?0??x.0?求解得x?t??x?1e?0??ht?1．

limx?t??1，显然是不符合实际情况的，实际情况是未知者

t???会从传播中得知，传播率为h，而有一部分人虽知消息，但不轻信，不去传播，于是可设不传播率为r，则数学模型为

?dx?dt?h?1?x??rx, ??x?0??x.0?

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h?求解得 x?t???x??0h?rh???h?r?t， ??eh?r?hh?r?1．

于是有 limx?t??t???此表明随时间的增长，消息会慢慢地会淡化，逐步被人遗忘，是符合实际情况的．

§4 椅子能在不平的地面上放稳吗？

问题的提出 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放

不稳，然后只需稍挪动几下，就可以使四只脚同时着地，放稳了．这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？

模型假设 对椅子和地面应该作一些必要的假设：

1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形．

2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面．

3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．即排除这样的情况：地面上与椅脚的间距和椅腿的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），致使三只脚无法同时着地．

模型分析 设开始时椅脚连线为正方形ABCD，对角线AC与x轴重

合，当椅子绕中心O旋转角度?后，正方形ABCD转至A?B?C?D?的

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位置．记A、C两脚与地面距离之和为f???，B、D两脚与地面距离之和为g???．显然f(?)?0，g(?)?0．

由假设2，f和g都是连续函数．由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，所以对于任意的?，f???和g???中至少有一个为零．不妨设g(0)?0，f(0)?0．这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：

已知f???和g???都是?的连续函数，对于任意的?，

，f(0)?0．证明存在?0，使f(?)?g????0，且g(0?)0f(?0)?g??0??0．

B B? A?

C O

C? D? D A x 模型求解 将椅子旋转

?2，对角线AC与BD互换．由g(0)?0，

??f(0)?0知g??2??????0，f???0． ??2????0．由于h连续，???令h????f(?)?g(?)，则h(0)?0，h??2 16

??根据连续函数的基本性质，必存在??0???0?02即f(?)?g???，使h(?0)?0，?0?0?．

0 最后，因为f(?)?g??0??0，所以f(?0)?g??0??0．

进一步讨论 利用中心对称性及旋转90?并不是本质的．模型假设中

“四脚的连线呈正方形”可以改为“四脚的连线呈长方形”，其余不变．

此时改设相邻两椅脚与地面距离之和分别为f???和g???，将椅子旋转90改为旋转180．其余作法相同．

??§5发射卫星为什么用三级火箭

问题的提出 现代使用的航天火箭几乎都分成几级．在使用时，总是

让第一级火箭先燃烧，当燃尽了全部推进剂以后，就被丢弃并点燃第二级火箭??．

采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？为什么一般都采用三级火箭系统？

5．1为什么不能用一级火箭发射人造卫星

5.1.1卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度

模型假设 （1）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；

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（2）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心； （3）其它星球对卫星的引力忽略不计．

建模与求解 设地球半径为Ｒ，中心为Ｏ，质量为Ｍ，曲线Ｃ表示地球表面，C?表示卫星轨道，C?的半径为ｒ，卫星质量为ｍ，如图所示．

C 卫星

r R M C?

根据假设(2)和(3)，卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为

F?G其中Ｇ为引力常数．

Mmr2， （1）

为消去常数Ｇ，把卫星放在地球表面，则由（1）式得

mg?G再代入（1）式，得

MmR2 或 GM?Rg，

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?R? F?mg??， （2）

?r?其中g?9.81ms2?2?为重力加速度.

根据假设（1），若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为v，则其向心力为

mvr2．因为卫星所受的地球引力就是它作匀速圆周运动

的向心力，故有

2?R?mv． mg???r?r?2由此便推得卫星距地面为（ｒ－Ｒ）km，必须的最低速度的数学模型为

v?Rgr. （3）

取R?6400 km，r?R?600 km，代入（3）式，得

v?7.6 km/s,

即要把卫星送入离地面600km高的轨道，火箭的末速度最低应为7.6 km/s．

5.1.２火箭推进力及升空速度

模型假设 （1）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计；

（2）在t时刻火箭质量为m?t?，速度为v?t?，且均为时间t的连续可微函数；

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（3）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数u． 建模与分析 火箭在运动过程中不断喷出气体，使质量不断减少，在

?t,t??t?内的减少量为m?t??m?t??t?．因为喷出的气体相对于

地球的速度为v?t??u，由动量守恒定律，有

m?t?v?t??m?t??t?v?t??t???m?t??m?t??t??v?t??u

???d??m?t?v?t???dt?dm?t?dt???v?t??u?．

dvdm于是得火箭推进力的数学模型为

dtdt令t?0时，v?0??v0，m?0??m0，求解上式，得火箭升空速度的

数学模型为

m??u． （4）

v?t??v0?ulnm0m?t?． （5）

（4）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度（相对火箭）u的乘积．（5）式表明，在v0，m0一定的条件下，升空速度

v?t?由喷气速度（相对火箭）u及质量比

m0m?t?决定．这为提高火箭

速度找到了正确途径：从燃料上设法提高u值；从结构上设法减少

m?t?．

5.1.3一级火箭末速度上限

mF(燃火箭系统的质量可分为三部分:mp(有效负载，如卫星)，

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料质量)，m(结构质量，如外壳、燃料容器及推进器)．一级火箭末

s速度上限主要是受目前技术条件的限制．

模型假设 （1）目前技术条件为：相对火箭的喷气速度u=3km/s及

?．

mF?ms9（2）初速度忽略v0不计，即v0?0．

建模与求解 因为升空火箭的最终（燃料耗尽）质量为mp?ms，由（5）式及假设（2）得到末速度为

ms1v?uln0． （6） m?mpsm令ms???mF?ms???m0?mp，代入上式，得

??v?ulnm0?m0??1???m， （7）

p于是，当卫星脱离火箭，即mp?0，便得火箭末速度上限的数学模型为

v?uln由假设（1），取u= 3km/s，??01?． （8）

19，便得火箭末速度上限

v0?3ln9?6.6 km/s．

因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到在相应高度所需的速度．

5.2理想火箭模型

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从前面对问题的假设和分析可以看出：火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然而随着燃料的不断消耗，所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，故效益低，浪费大．

所谓理想火箭，就是能够随着燃料的不断燃烧不断抛弃火箭的无用结构．下面建立它的数学模型．

模型假设 在?t,t??t?时段丢弃的结构质量与烧掉质量以?与1??的比例同时进行．

建模与分析 由动量守恒定律，有

m?t?v?t??m?t??t?v?t??t????m?t??m?t??t??v?t???

??1????m?t??m?t??t??v?t??u????dm?t?dtv?t???1?????d??m?t?v?t???dtdv?t??dm?t?dt?v?t??u?

dtdt由v?0??0，m?0??m0及上式，便得理想火箭升空速度的数学模型

为

?m?t????1???udm?t?.

v?t???1???ulnm0m?t?． （9）

由上式知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便只剩下卫星质量

mp，从而最终速度的数学模型为

v?t???1???ulnm0mp． （10）

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（10）式表明：当m足够大时，便可使卫星达到我们所希望它具有

0的任意速度．例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使v= 10.5km/s才行,如果取u= 3km/s，??0.1，则可推出

m0mp?50，即

发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭．

5.3多级火箭卫星系统

理想火箭是设想把无用的结构质量连续抛弃以达到最佳的上升速度，虽然这在目前的技术条件下办不到，但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标．目前已商业化的多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈出的第一步．多级火箭是从末级开始，逐级燃烧，当第i级燃烧尽时，第i?1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级（这里用m表示第i级火箭质量，mip表示有效负载）．

模型假设 （1）设各级火箭具有相同的?，?m表示第i级的结构质

i量，?1???m表示第i级的燃料质量．

i（2）喷气相对火箭的速度u相同，燃烧级的初始质量与其负载之比保持不变，记该比值为K．

先考虑二级火箭．由（5）式，当第一级火箭燃烧完时，其速度为

v1?ulnm1?m2?mp?m1?m2?mp，

当第二级火箭燃烧完时，其速度为

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v2?v1?uln将v代入上式，得

1m2?mp?m2?mp，

v2?uln?????m1?m2?mp?m1?m2?mp?m2?mp，m?K?m2?mp?? ?． （11）

p??Km据假设（2），m?21??m?2??mp??，代入（11）式，??仍取u= 3km/s，近似取??0.1，可得

0.1K?1欲使v=10.5km/s，由（12）式，K?11.2，从而

2m1?m2?mpmp?149．

v2?6lnK?1． （12）

同理，可推算得三级火箭的末速度为

v3?uln及

?????m1?m2?m3?mp?m1?m2?m3?mp?m2?m3?mp?m3?m?m2?m3?mp?m3?mp???p??

0.K1?1欲使v= 10.5km/s，应该K?3.25，从而

3m1?m2?m3?mpmp?77．

v3?9lnK?1．

与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭的质量几乎节省了一半．

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现记n级火箭的总质量(包括有效负载mp)为m,在相同假设

0下(u=3km/s，可以算出相应的m0mp值,v=10.5km/s，??0.1)，

末现将计算结果列于下表中:

n（级数） 1 2 3 4 5 ? ?（理想） m0mp × 149 77 65 60 ? 50 实际上，由于受技术条件的限制，采用四或四级以上的火箭，经济效益是不合算的，因此采用三级火箭是最好的方案．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j2q.html