小学奥数(三年级金典讲义资料全集)

小学奥数（三年级金典讲义资料全集）

第一讲从数表中找规律

在前面学习了数列找规律的基础上，这一讲将从数表的角度出发，继续研究数列的规律性。

例1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字

分析与解答这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第5行中的括号内填20，第6行中的括号内填 24。

例2 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：①这个三角阵的排列有何规律？②根据找出的规律写出三

角阵的第6行、第7行。③推断第20行的各数之和是多少？

分析与解答

①首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=3＋3。

②根据由①得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1。

③要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。

至此，我们可以推断，第20行各数之和为219。

[本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用]

例3将自然数中的偶数2，4，6，8，10…按下表排成5列，问2000出现在哪一列？

分析与解答

方法1：考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组8个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察2000是第几组中的第几个数就可以了，因为2000是自然数中的第1000个偶数，而1000÷8＝125，即2000是第125组中的最后一个数，所以，2000位于数表中的第250行的A列。

方法2：仔细观察数表，可以发现：A列中的数都是16的倍数，B列中数除以16余2或者14，C列中的数除以16余4或12，D列的数除以16余6或10，E列中的数除以16余8.这就是说，数表中数的排列与除以16所得的余数有关，我们只要考察2000除以16所得的余数就可以了，因为2000÷16=125，所以 2000位于A列。

学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法.一道题做完了，我们还应该仔细思考一下，哪种方法更简洁，题目主要考察的问题是什么…这样学习才能举一反三，不断进步。

就例 3而言，如果把偶数改为奇数， 2000改为 1993，其他条件不变，你能很快得到结果吗？

例4按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？ 1993呢？

分析与解答

方法1：同例3的考虑，把数表中的每两行分为一组，则第一组有9个数，其余各组都只有8个数。（1500-9）÷8＝186…3（1993—9）÷8＝248

所以，1500位于第188组的第3个数，1993位于第249组的最后一个数，即1500位于第④列，1993位于第①列。

方法2：考虑除以8所得的余数.第①列除以8余1，第②列除以8余2或是8的倍数，第③列除以8余3或7，第④列除以8余4或6，第⑤列除以8余5；而1500÷8=187…4，1993÷8=249…1，则1993位于第①列，1500位于第④列。

例5从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，能否使这九个数的和等于①1993；②1143；

③1989.若能办到，请写出平行四边形框内的最大数和最小数；若不能办到，说明理由.

分析与解答

我们先来看这九个数的和有什么规律.仔细观察，容易发现：12+28＝2×20，13+27=2×20，14+26=2×20，19+21＝ 2 × 20，即： 20是框中九个数的平均数.因此，框中九个数的和等于20与9的乘积.事实上，由于数表排列的规律性，对于任意由这样的平行四边形框出的九个数来说，都有这样的规律，即这九个数的和等于平行四边形正中间的数乘以9。

①因为1993不是9的倍数，所以不可能找到这样的平行四边形，使其中九个数的和等于1993。

②1143÷9＝127，127÷8＝15…7.这就是说，如果1143是符合条件的九个数的和，则正中间的数一定是127，而127位于数表中从右边数的第2列.但从题中的图容易看出，平行四边形正中间的数不能位于第1行，也不能位于从左数的第1列、第2列、第7列和第8列，因此，不可能构成以127为中心的平行四边形。

③ 1989÷9=221，221÷8=27…5，即1989是9的倍数，且数221位于数表中从左起的第5列，故可以找到九个数之和为1989的平行四边形，如图：

其中最大的数是229，最小的数是213.

习题一

1.观察下面已给出的数表，并按规律填空：

2.下面一张数表里数的排列存在着某种规律，请你找出规律之后，按照规律填空。

3.下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，1993在哪一列？

4.从1开始的自然数如下排列，则第2行中的第7个数是多少？

习题一解答

1.第5行的括号中填25；第6行的括号中填37。

2.这个数表的规律是：第二行的数等于相应的第三行的数与第一行的数的差的2倍.即：8=2×（6—2），10＝2×（10—5），4=2×（9—7），18=2×（20—11）.因此，括号内填12。

3.1993应排在B列。

4.参看下表：

第2行的第7个数为30

第四讲最短路线问题

在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。

例1下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？

分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母.如图4—2.在这里，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长？从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD＋DB.因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB.这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。

有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：

A→C→D→G→B A→C→F→G→B

A→C→F→I→B A→E→F→G→B

A→E→F→I→B A→E→H→I→B

通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的。

现在观察这种题是否有规律可循。

1.看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线.因此，从A到C只有一条路线。

同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。

我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4—2。

2.看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法.我们在图4—2中的F点标上数字“2”.2=1＋1.第一个“1”是从A→C的一种走法；第二个“1”是从A→E的一种走法。

3.看G点：从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G

我们在G点标上数字“3”.3＝2+1，“2”是从A→F的两种走法，“1”是从A→D的一种走法。

4.看I点：从上向下走是F→I，从左向右走是H→I，那么从出发点

在I点标上“3”.3=2+1.“2”是从A→F的两种走法；“1”是从A→H的一种走法。

5.看B点：从上向下走是G→B，从左向右走是I→B，那么从出发点A→B可以这样走：

共有六种走法.6=3＋3，第一个“3”是从A→G共有三种走法，第二个“3”是从A→I共有三种走法.在B点标上“6”。

我们观察图4—2发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数.这样，我们可以通过计算来确定从A→B的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也“不漏”。解：由上面的分析可以得到如下的规律：每个格右上角与左下角所标的数字和即为这格右下角应标的数字.我们称这种方法为对角线法，也叫标号法。

根据这种“对角线法”，B点标6，那么从A到B就有6条不同的最短路线（见图4—3）。

答：从A到B共有6条不同的最短路线。

例2图4—4是一个街道的平面图，纵横各有5条路，某人从A到B处（只能从北向南及从西向东），共有多少种不同的走法？

分析因为B点在A点的东南方向，题目要求我们只能从北向南及从西向东，也就是要求我们走最短路线。解：如图4—5所示。答：从A到B共有70种不同的走法。

例3如图4—6，从甲地到乙地最近的道路有几条？

分析要求从甲地到乙地最近的道路有几条，也就是求从甲地到乙地的最短路线有几条.把各交叉点标上字母，如图4—7.这道题的图形与例1、例2的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的。

①由甲→A有1种走法，由甲→F有1种走法，那么就可以确定从甲→G共有1＋1＝2（种）走法。

②由甲→B有1种走法，由甲→D有1种走法，那么可以确定由甲→E共有1+1＝2（种）走法.

③由甲→C有1种走法，由甲→H有2种走法，那么可以确定由甲→J共有1+2=3（种）走法。

④由甲→G有2种走法，由甲→M有1种走法，那么可以确定从甲→N共有2＋1=3（种）走法。

⑤从甲→K有2种走法，从甲→E有2种走法，那么从甲→L共有2＋2=4（种）走法。

⑥从甲→N有3种走法，从甲→L有4种走法，那么可以确定从甲→P共有3＋4=7（种）走法。

⑦从甲→J有3种走法，从甲→P有7种走法，那么从甲→乙共有3+7=10（种）走法。

解：在图4—7中各交叉点标上数，乙处标上10，则从甲到乙共有10条最近的道路。

例4某城市的街道非常整齐，如图4—8所示，从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（因正在修路）.问共有多少种不同的走法？

分析因为B点在A点的东北角，所以只能向东和向北走.为了叙述方便，在各交叉点标上字母，如图4—9.

①从A→A1有1种走法，A→A11有1种走法，那么可以确定从A→A10共有1＋1=2（种）走法。

②从A→A2有1种走法，A→A10有2种走法，那么可以确定从A→A9共有1+2=3（种）走法。

③从A→A3有1种走法，A→A9有3种走法，那么可以确定从A→A8共有1+3=4（种）走法.

④从A→A4有1种走法，A→A8有4种走法，那么可以确定A→A7，共有1+4=5（种）走法。

⑤从A→A5有1种走法，A→A7有5种走法，那么可以确定A→A6共有1＋5＝6（种）走法。

⑥从A→C1有1种走法，A→A10有2种走法，那么可以确定从A→C2共有1+2=3（种）走法。

⑦从A→C2有3种走法，A→A9有3种走法，那么可以确定A→C3共有3+3=6（种）走法。

⑧从A→C4可以是A→C→C4，也可以是A→A7→C4，因为C处正在修路，所以A→C→C4行不通，只能由A7→C4，由于A→A7有5种走法，所以A→C4也有5种走法，从A→A6有6种走法，所以从A→C5共有5+6＝11（种）走法。

⑨从A→B6有1种走法，A→C2有3种走法，那么可以确定从A→B7共有1＋3=4（种）走法。

⑩从A→B7有4种走法，A→C3有6种走法，那么可以确定从A→B8共有4＋6=10（种）走法。

⑾从A→B9可以是A→B8→B9，也可以是A→C→B9，因为C处正在修路，所以A→C→B9行不通，只能由B8→B9，由于A→B8有10种走法，所以A→B9。也有10种走法.从A→C4有5种走法，所以从A→B10共有10+5=15（种）走法。

⑿从A→C5有11种走法，A→B10有15种走法，那么从A→B11共有15+11=26（种）走法。

⒀从A→B5有1种走法，A→B7有4种走法，那么可以确定从A→B4共有1+4=5（种）走法。

⒁从A→B4有5种走法，A→B8有10种走法，那么可以确定从A→B3共有5+10=15（种）走法.

(15)从A→B3有15种走法，A→B9有10种走法，那么可以确定从A→B2共有15＋10=25（种）走法。

(16)从A→B2有25种走法，A→B10有15种走法，那么可以确定从A→B1共有25+15=40（种）走法。

(17)从A→B1有40种走法，A→B11有26种走法，那么可以确定从A→B共有40+26=66（种）走法。

解：如图4-10所示。答：从A到B共有66种不同的走法.

习题四

1.如果沿图4-11中的线段，以最短的路程，从A点出发到B点，共有多少种不同的走法？

2.从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通.如图4-12，李楠从学校出发，步行到少年宫（只许向东和向南行进），最多有多少种不同的行走路线？

3.如图 4-13，从P到Q共有多少种不同的最短路线？

4.如图4-14所示为某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南、由西向东），则共有多少种不同的走法？

5.如图4-15所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？

6.图4-16为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条？

7.如图4-17所示是一个街道的平面图，在不走回头路、不走重复路的条件下，可以有多少种不同的走法？

8.图4-18是某城市的主要公路示意图，今在C、D、E、F、G、H路口修建立交桥，车辆不能通行，那么从A到B的最近路线共有几条？

习题四解答

1.解：

答：从A到B共有126种走法。

2.解：

答：从学校到少年宫最多有10种不同的行走路线。

3.解：

答：从P到Q共有126条不同的最短路线.

4.解：

答：从A到B共有12种走法。

5.解：

答：从甲到乙最近的道路有11条。

6.解：

答：从A到B的最短路线有431条.

7.解：

答：从A到B有25种不同的走法。

8.解：

答：从A到B最短的路线有699条

第五讲归一问题

为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法.除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！

归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？

正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。

例1一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？

分析为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果。

解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）② 1小时爬几米？1小时=60分。

2×60=120（分米）=12（米）答：小蜗牛1小时爬行12米。

还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60分是6分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解。

解：1小时=60分钟12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）

或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）答：小蜗牛1小时爬行12米。

例2一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？

方法1：

分析通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求。

解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）答：磨完剩下的面粉还要7小时。

方法2：用比例关系解。

解：设磨剩下的面粉还要x小时。

6000x＝3×14000x=7（小时）答：磨完剩下的面粉还要7小时。

例3学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？

分析要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个），总价差355-281＝74（元）.74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。

解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5）=37元②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）

答：买5个足球，4个篮球共花308元。

例4一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空？

分析要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度.当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差.解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所需时间。

解：①进水速度：480÷8=60（吨/小时）②排水速度：480÷6=80（吨/小时）

③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）列综合算式：

480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）答：两管齐开需24小时把满池水排空。

例5 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？

方法1：

分析要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。

解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？336÷6÷7=56÷7=8（吨）

②560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？560÷5＝112（吨）

③需要增加同样的卡车多少辆？112÷8-7＝7（辆）列综合算式：

560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（辆）答：需增加同样的卡车7辆。

方法2：

在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：①336÷6÷7，②336÷7÷6.算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量。

在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：

求出一共用车14辆后，再求增加的辆数就容易了。

例6某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？

分析我们把1个工人工作1小时，作为1个工时.根据已知条件，加工这批零件，原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，使我们知道了工作总量.有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数，问题就解决了。

解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：8×18×7.5=1080（工时）

②增加6人后每天工作几小时？1080÷（18+6）÷4=11.25（小时）

③每天加班工作几小时？ 11.25-8=3.25（小时）答：每天要加班工作3.25小时。

例7甲、乙两个打字员4小时共打字3600个.现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个.求甲、乙二人每小时各打字多少个？

分析已知条件告诉我们：“在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.”既然知道了“时间相同”，问题就容易解决了.题目里还告诉我们：“甲、乙二人4小时共打字3600个.”这样可以先求出“甲乙二人每小时打字个数之和”，就可求出所用时间了.

解：①甲、乙二人每小时共打字多少个？3600÷4＝900（个）

②“相同时间”是几小时？（2450＋2050）÷900＝5（小时）

③甲打字员每小时打字的个数： 2450÷5=490（个）

④乙打字员每小时打字的个数：2050÷5=410（个）

答：甲打字员每小时打字490个，乙打字员每小时打字410个。

还可以这样想：这道题的已知条件可以分两层.第一层，甲乙二人4小时共打字3600个；第二层，在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.由这两个条件可以求出在相同的时间内，甲乙二人共打字 2450+2050=4500（个）；打字 3600个用4小时，打字4500个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时间”。

解：①“相同时间”是几小时？4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小时）

②甲每小时打字多少个？2450÷5=490（个）③乙每小时打字多少个？2050÷5=410（个）

答：甲每小时打字490个，乙每小时打字410个.

习题五

1.花果山上桃树多，6只小猴分180棵.现有小猴72只，如数分后还余90棵，请算出桃树有几棵？

2.5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？

3.4辆汽车行驶300千米需要汽油240公升.现有5辆汽车同时运货到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，问是否够用？

4.5台拖拉机24天耕地12000公亩.要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？

习题五解答

1.180÷6×72+90=2250（棵）或：180×（72÷6）+90=2250（棵）答：桃树共有2250棵。

2.300÷（75÷5）-5=15（箱）或 5×[（300-75）÷75]=5×3=15（箱）答：要增加 15箱蜜蜂。

3.提示：要想得知1000公升汽油是否够用，先算一算行800千米需要的汽油，然后进行比较.如果大于1000公升，说明不够用；小于或等于 1000公升，说明够用。240÷4÷300×5×800=800（公升）800公升＜1000公升，说明够用.答：1000公升汽油够用。

4.提示：先求出1台拖拉机1天耕地公亩数，然后求出18天耕54000公亩需要拖拉机台数，再求增加台数。

答：需要增加25台拖拉机

第六讲平均数问题

求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……”。

平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。

解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。

一、算术平均数

例1用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？

分析求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。

解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。

例2蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？

分析解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。

解：①英语：（84×2+10）÷2=89（分）②语文： 89-10=79（分）③政治：86×2-89＝83（分）④数学： 91.5×2-83＝100（分）⑤生物： 89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分）

答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。

二、加权平均数

例3果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？

分析要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。

解：①什锦糖的总价：4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）②什锦糖的总千克数： 2＋3＋5＝10（千克）③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元）答：混合后的什锦糖每千克5.74元。

我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。

例4甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？

分析此题是已知两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数，求另一个数的权数的问题.甲棉田平均亩产籽棉203斤比甲乙棉田平均亩产多18斤，5亩共多出90斤.乙棉田平均亩产比甲乙棉田平均亩产少15斤，乙少的部分用甲多的部分补足，也就是看90斤里面包含几个15斤，从而求出的是乙棉田的亩数，即“权数”。

解：①甲棉田5亩比甲乙平均亩产多多少斤？（203-185）×5=90（斤）②乙棉田有几亩？90÷（185-170）=6（亩）答：乙棉田有6亩。

三、连续数平均问题

我们学过的连续数有“连续自然数”、“连续奇数”、“连续偶数”.已知几个连续数的和求出这几个数，也叫平均问题。例5已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。

分析已知偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时，它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和，等于第三项与倒数第三项之和……即每两个数分为一组，八个数分成4组，每一组两个数的和是144÷4＝36.这样可以确定出中间的两个数，再依次求出其他各数。

解：①每组数之和：144÷4=36②中间两个数中较大的一个：（36＋2）÷2＝19③中间两个数中较小的一个：19-2=17 ∴这八个连续奇数为11、13、15、17、19、21、23和25。

答：这八个连续奇数分别为：11、13、15、17、19、21、23和25。

四、调和平均数

例6一个运动员进行爬山训练.从A地出发，上山路长11千米，每小时行4.4千米.爬到山顶后，沿原路下山，下山每小时行5.5千米.求这位运动员上山、下山的平均速度。

分析这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题.解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念.速度的平均数=（上山速度+下山速度）÷2，而平均速度=上、下山的总路程÷上、下山所用的时间和。

解：①上山时间： 11÷4.4=2.5（小时）②下山时间：11÷5.5=2（小时）

五、基准数平均数

例7中关村三小有15名同学参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别为93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每个人平均每分钟跳绳多少个？

分析从他们每人跳绳的个数可以看出，每人跳绳的个数很接近，所以可以选择其中一个数90做为基准数，再找出每个加数与这个基准数的差.大于基准数的差作为加数，如93＝90+3，3作为加数；小于基准数的差作为减数，如 87=90-3，3作为减数.把这些差累计起来，用和数的项数乘以基准数，加上累计差，再除以和数的个数就可以算出结果。

解：①跳绳总个数。93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89

=90×15+（3+4+2+4+1+2+3）-（5+4+2+2+1+4+1）=1350+19-19=1350（个）

②每人平均每分钟跳多少个？1350÷15=90（个）答：每人平均每分钟跳90个.

习题六

1.某次数学考试，甲乙的成绩和是184分，乙丙的成绩和是187分，丙丁的成绩和是188分，甲比丁多1分，问甲、乙、丙、丁各多少分？

2.求1962、1973、1981、1994、2005的平均数。

3.缝纫机厂第一季度平均每月生产缝纫机750台，第二季度生产的是第一季度生产的2倍多66台，下半年平均月生产1200台，求这个厂一年的平均月产量。

4.甲种糖每千克8.8元，乙种糖每千克7.2元，用甲种糖5千克和多少乙种糖混合，才能使每千克糖的价钱为8.2元？

5.7个连续偶数的和是1988，求这7个连续偶数。

6.6个学生的年龄正好是连续自然数，他们的年龄和与小明爸爸的年龄相同，7个人年龄一共是126岁，求这6个学生各几岁？

7.食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到十种不同的重量（千克）：47、50、51、52、53、54、55、57、58、59.问这五只羊各重多少千克？

习题六解答

1.∵甲+乙=184 （1）乙+丙=187 （2）丙+丁=188 （3）（2）-（1）丙-甲=3 （4）

（3）-（4）丁+甲=185∴甲=（185+1）÷2=93（分）丁=93-1=92（分）乙=184-93=91（分）

丙=187-91=96（分）答：甲、乙、丙、丁的成绩分别为93分、91分、96分、和92分。

2.1962+1973＋1981+1994+2005=1981×5+（13+24）-（8＋19）=9915。9915÷5＝1983。

3.①上半年总产量：750×3+750×3×2＋66=6816（台）②下半年总产量：1200×6=7200（台）

③平均月产量：（6816＋7200）÷12=1168（台）答：平均月产量是1168台。

4.（8.8-8.2）×5÷（8.2-7.2）=3（千克）答：与乙种糖3千克混合。

5.分析已知奇数个偶数的和，可以用和除以个数求出中间数，再求出其他各偶数。中间数：1988÷7=284 其他六个数分别为278、280、282、284、286、288、290。答：这7个偶数分别为：278、280、282、284、286、288、290。

6.分析 6个孩子年龄和与小明爸爸年龄相同，说明小明爸爸年龄是126岁的一半，是63岁.其他6个学生的年龄和也是63岁. 63÷3＝21（岁）， 21=10＋11为中间两个数，所以其他四人年龄依次为8、9、12、13岁。答：这六个学生的年龄分别为：8、9、10、11、12、13岁。

7.解：设5只羊的重量从轻到重依次为A1、A2、A3、A4、A5.A1+A2=47，A1+A3=50……A3+A5=58，A4+A5=59.10次称重5只羊各称过4次，所以它们的重量和应是：

A1＋A2＋A3＋A4＋A5=（47+50+51＋52＋53+54+55+57+58+59）÷4=134

A3=134-（A1+A2）-（A4+A5）=28 A1＝50-28＝22 A2＝47-22＝25

A5＝58-28=30 A4=59-30=29

答：这5只羊的重量分别为22千克、25千克、28千克、29千克、30千克.

第七讲和倍问题

和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

分析设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：

解：乙班：160÷（3+1）=40（本）甲班：40×3=120（本）或 160-40=120（本）

答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。这道应用题解答完了，怎样验算呢？

可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。

验算：120＋40=160（本）120÷40=3（倍）。

例2甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？

分析解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。

解：①甲、乙两班共有图书的本数是：30＋120=150（本）

②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：2＋1＝3（倍）

③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）

综合算式：（30＋120）÷（2+1）=50（本）50-30=20（本）

答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。

验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）120-20）+（30+20）＝150 （本）。

例3光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

分析把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。

解：①女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）②男生人数：200×3-40=560（人）

或 760-200=560（人）答：男生有560人，女生有200人。

验算：560＋200=760（人）（560+40）÷200=3（倍）。

例4 果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

分析下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。

解：①梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵）

②桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）③苹果树的棵数： 140-20=120（棵）

答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。

例5549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？

分析上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，再分别求出其他各数。解：①丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）=549÷9=61②甲数是：61×2-2=120

③乙数是：61×2＋2=124④丁数是：61×4=244验算：120+124＋61+244=549

120＋2=122 124-2=12261×2＝122 244÷2＝122

答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.

第八讲差倍问题

前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。

“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。

例1甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

分析上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。

解：①乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）②甲班的本数： 40×3=120（本）或40＋80=120（本）。验算：120-40＝80（本）120÷40=3（倍）

答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2 菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？

分析这样想：根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。

解：①运来萝卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）②运来白菜： 750×3=2250（千克）

验算：2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）

答：菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。

例3有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

分析上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。

解：①第一根截去12米剩下的长度：（12+14）÷（3-1）＝13（米）

②两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）答：两根绳子原来各长25米。

自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长.

小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出1倍数，也就是较小的数，再求几倍数。

解题规律：差÷倍数的差=1倍数（较小数） 1倍数×几倍=几倍的数（较大的数）

或：较小的数+差=较大的数。

例4三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？

分析两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本，即增加了74本；三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图书减少了96本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三（2）班所剩图书的3-1=2倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。

解：①后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？74＋96=170（本）

②三（2）班剩下的图书是多少本？170÷（3-1）=85（本）

③三（2）班原有图书多少本？85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）

综合算式：（74＋96）÷（3-1）＋96＝170÷2+96＝85＋96=181（本）

验算：181+74=255（本）181-96=85（本）255÷85=3（倍）

答：两班原来各有图书181本。

例5两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？

分析已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出（见上图）。

解：①第二块布比第一块布多剩多少米？31-19＝12（米）

②第一块布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米）

③第一块布原有多少米？4+31=35（米）（两块布原有长度相等）

综合列式：（31-19）÷（4-1）+31 =12÷3+31=4＋31=35（米）

验算：35-31=4（米）35-19＝16（米）16÷4＝4（倍）答：每块布原有35米长。

习题八

1.一只大象的体重比一头牛重4500千克，又知大象的重量是一头牛的10倍，一只大象和一头牛的重量各是多少千克？

2.果园里的桃树比杏树多90棵，桃树的棵数是杏树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？

3.有两块布，第一块长74米，第二块长50米，两块布各剪去同样长的一块布后，剩下的第一块米数是第二块的3倍，问每块布各剪去多少米？

4.甲、乙两校教师的人数相等，由于工作需要，从甲校调30人到乙校去，这时乙校教师人数正好是甲校教师人数的3倍，求甲、乙两校原有教师各多少人？

5.两筐重量相同的苹果，从甲筐取出7千克，乙筐加入19千克，这时乙筐是甲筐苹果的3倍，问两筐原有苹果多少千克？

6.甲、乙两个数，如果甲数加上320就等于乙数了.如果乙数加上460就等于甲数的3倍，两个数各是多少？

7.有两块同样长的布，第一块卖出25米，第二块卖出14米，剩下的布第二块是第一块的2倍，求每块布原有多少米？

习题八解答

1.一头牛重量是：4500÷（10-1）=500（千克）一只大象重量：500×10=5000（千克）。

2.杏树棵数：90÷（3-1）=45（棵）桃树棵数：45×3=135（棵）。

3.把第二块布剩下的米数看作1倍数：（74-50）÷（3-1）＝12（米）剪去的米数： 50-12=38（米）。

4.把甲校调走30人后的甲校人数看作1倍：（30×2）÷（3-1）=30（人）甲、乙两校原有教师各 30+30=60（人）。

5.甲筐重量：（19＋7）÷（3-1）＝13（千克）乙筐重量：13×3=39原有重量：13＋7=20（千克）。

6.甲数：（320+460）÷2＝390乙数：390+320=710。

7.（25-14）÷（2-1）+25=11÷1+25 =11+25=36（米）.

第九讲和差问题

和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

例：“把姐姐的铅笔拿出3支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.”这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差3支。

再例：“把姐姐的铅笔给弟弟3支后，两人铅笔支数就同样多.”如果认为姐姐的铅笔比弟弟多3支（差是3），那就错了.实际上姐姐比弟弟多2个3支.姐姐给弟弟3支后，自己留下3支，再加上他们原有的铅笔数，他们的铅笔支数才可能一样多.这里3×2=6支，就是暗差。

“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支”，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多3×2＋1＝7（支）。

例1两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？

分析这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）.

解法1：①第二筐重多少千克？（150-8）÷2=71（千克）

②第一筐重多少千克？71＋8=79（千克）或 150-71=79（千克）

解法2：①第一筐重多少千克？（150+8）÷2＝79（千克）

②第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或150-79=71（千克）

答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？

分析题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。解：①爸爸的年龄：[58＋（35-7）]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43（岁）

②小强的年龄：58-43＝15（岁）答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。

例3小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？

分析解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.

解：①语文和数学成绩之和是多少分？94×2＝188（分）②数学得多少分？（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）③语文得多少分？（188-8）÷2=180÷2=90（分）或 98-8=90（分）

答：小明期末考试语文得90分，数学得98分.

例4甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？

分析这样想：甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）. 112是两校人数差。

解：①乙校原有的学生：（864-32×2-48）÷2＝376（人）

②甲校原有学生：864-376=488（人）

答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。

小结：从以上4个例题可以看出题目给的条件虽然不同，但是解题思路和解题方法是一致的.和差问题的一般解题规律是：（和+差）÷2=较大数较大数-差=较小数

或（和-差）÷2=较小数较小数+差=较大数

也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.下面我们用和差问题的思路来解答一个数学问题。

例5在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 9=5

分析这样想：从1至9这几个数字相加是不会得到5的，只能从一部分数字相加再减去一部分字后差是5，也就是说1

到9的和是45，而两部分的差是5，先要求出这两部分数字，利用和差问题的方法便可以求出。（45-5）÷ 2=20，20+5=25

可求出其中几个数的和是25，而另外几个数的和是20.在组成和是25的几个数前面添上“+”号，而在组成和是20的几个数前面添上“-”号，此题就算出来了。

例如：5+6+9=20可得到。1+2+3+4-5-6+7+8-9=5又如：5+7+8=20可得到。1+2+3+4-5+6-7-8+9=5又如：3+4+6+7=20可得到。1+2-3-4+5-6-7+8+9=5

同学们，这道题你还有其他解法吗？试试看！

习题九

1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？

2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？

3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？

4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？

5.甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？

6.三个物体平均重量是31千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？

7.甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？

8.四年级有3个班，如果把甲班的1名学生调整到乙班，两班人数相等；如果把乙班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人，问甲班和丙班哪班人数多？多几人？

习题九解答

1.桃树的棵树：（150+ 20）÷2= 85（棵）梨树的棵树：150- 85= 65（棵）

答：有桃树85棵，梨树65棵。

2.甲桶油重：（30+ 6×2）÷2= 21（千克）乙桶油重：30-21=9（千克）

答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。

3.锡的重量：（500-100）÷2= 200（千克）铝的重量：500- 200= 300（千克）

答：锡重量是300千克，铝的重量是200千克。

4.今年的产值：（96×2+10）÷2=101（万元）去年的产值：101-10=91（万元）

答：今年的产值是101万元，去年的产值是91万元。

5.乙校原有人数：[1245-（20×2+5）]÷2=600（人）甲校原有人数：1245-600＝645（人）

答：甲校原有学生645人，乙校原有学生600人。

6.三个物体的总重量：31×3=93（千克）甲物体的重量：（93-1）÷2=46（千克）

丙物体的重量：（93-46-2）÷（2+1）=15（千克）乙物体的重量： 93-46-15=32（千克）

答：甲、乙、丙三个物体的重量分别为46千克、32千克、15千克。

7.甲队原有人数：（285×2+ 24+198O）÷ 2=1287（人）乙队原有人数：1287-594= 693（人）

答：甲队原有1287人，乙队原有693人。

8.解（略），答：甲班比丙班人数多，多2名学生.

第十讲年龄问题

年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合.它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。

年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同.我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差。

例1爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？

分析五年后，爸比妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁.它是一个不变量.所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁.这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题。

解：①爸爸年龄：（72+6）÷2=39（岁）②妈妈的年龄：39-6=33（岁）

答：爸爸的年龄是39岁，妈妈的年龄是33岁。

例2在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？

分析根据四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁，可以求出到现在每个人长4岁以后的实际年龄和是58+4×4=74（岁）。

但现在实际的年龄总和只有73岁，可见家庭成员中最小的一个儿子今年只有3岁.女儿比儿子大2岁，女儿是3+2=5（岁）.现在父母的年龄和是73-3-5=65（岁）.又知父母年龄差是3岁，可以求出父母现在的年龄。

解：①从四年前到现在全家人的年龄和应为：58+4×4=74（岁）

②儿子现在几岁？ 4-（74-73）=3（岁）③女儿现在几岁？3+2=5（岁）

④父亲现在年龄：（73-3-5+3）÷2=34（岁）⑤母亲现在年龄： 34-3=31（岁）

答：父亲现在34岁，母亲31岁，女儿5岁，儿子3岁。

例3父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5倍？

分析父女年龄差是50-14=36（岁）.不论是几年前还是几年后，这个差是不变的.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁.这36岁是父亲比女儿多的5-1=4（倍）所对应的年龄。

解：（50-14）÷（5-1）=9（岁）当时女儿9岁，14-9=5（年），也就是5年前。

答：5年前，父亲年龄是女儿的5倍.

例4 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是78岁.问：母亲今年多少岁？

分析 6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是 78-6×2=66（岁）.6年前母子年龄和是 66-6×2=54（岁）.又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄。

解：①母子今年年龄和： 78-6× 2=66（岁）②母子6年前年龄和： 66-6×2=54（岁）

③母亲6年前的年龄：54÷（5+1）×5=45（岁）④母亲今年的年龄：45+6=51（岁）

答：母亲今年是51岁。

例5 10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍.15年后，吴昊的年龄是他儿子的2倍.现在父子俩人的年龄各是多少岁？

分析根据15年后吴昊的年龄是他儿子年龄的2倍，得出父子年龄差等于儿子当时的年龄.因此年龄差等于10年前儿子的年龄加上25岁。

10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍，父子年龄差相当于儿子当时年龄的7-1=6倍。

由于年龄差不变，所以儿子10年前的年龄的6-1=5倍正好是25岁，可以求出儿子当时的年龄，从而使问题得解。

解：①儿子10年前的年龄：（10+15）÷（7-2）=5（岁）②儿子现在年龄：5+10=15（岁）

③吴昊现在年龄： 5×7+10=45（岁）答：吴昊现在45岁，儿子15岁.

例6甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半.”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7.”问：甲、乙二人现在各多少岁？

分析从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量。

甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”，意思是说几年以前.这几年就是甲乙的年龄差.因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半.

乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”，意思是说几年后.因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7。

即甲今+年龄差=2×乙今-7 （2）把甲乙的对话用下图表示为：

由（1）得甲今=2×乙今-2×年龄差（3）由（2）得甲今=2×乙今-7一年龄差（4）

由（3）（4）年龄差=7（岁）…

从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差.乙现在的年龄相当3个年龄差。

乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差.甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁。

解：①乙现在年龄： 7×3=21（岁）②甲现在年龄：7×4=28（岁）

答：乙现在21岁，甲现在28岁.

习题十

1.兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，哥哥今年几岁？

2.赵、田、钱、李、吴五位老师，赵老师比田老师大4岁，钱老师比赵老师大3岁，李老师比赵老师小3岁，吴老师比钱老师小2岁.这五位老师的年龄加在一起是122岁.问：五位老师各多少岁？

3.哥哥6年前的岁数等于弟弟8年后的岁数.哥哥5年后与弟弟3年前的年龄和是38岁.求兄弟二人今年各几岁？

4.母女的年龄和是64岁，女儿年龄的3倍比母亲大8岁，求母女二人的年龄各是多少岁？

5.哥哥今年比小丽大12岁，8年前哥哥的年龄是小丽的4倍，今年二人各几岁？

6.爷爷今年72岁，孙子今年12岁，几年后爷爷的年龄是孙子的5倍？几年前爷爷的年龄是孙子的13倍？

习题十解答

1.提示：根据条件“当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半”，说明兄弟二人的年龄和30岁正好相当5个年龄差.其中哥哥今年年龄相当3个年龄差.所以30÷5×3=18（岁）就是今年哥哥的年龄。答：哥哥今年18岁。

2.提示：解题时先确定以赵老师年龄为标准量.

①赵老师年龄的五倍：122+ 4-3+3-1=125（岁）

②赵老师年龄：125÷5=25（岁）

③田老师年龄：25- 4= 21（岁）

④钱老师年龄：25+ 3= 28（岁）

⑤李老师年龄：25- 3= 22（岁）

⑥吴老师年龄：25+ 1= 26（岁）

答：赵、田、钱、李、吴这五位老师的年龄分别是：25岁、21岁、28岁、22岁、26岁。

3.解：①今年哥哥比弟弟大几岁？ 6+ 8= 14（岁）

②哥、弟今年年龄和：38-5+ 3= 36（岁）

③哥哥今年年龄：（36+14）÷2=25（岁）

④弟弟今年年龄： 25-14=11（岁）

答：哥哥今年25岁，弟弟今年11岁。

4.①女儿的年龄：（64+8）÷（3+1）=18（岁）②母亲的年龄：3×18-8=46（岁）

答：母亲今年46岁，女儿今年18岁。

5.①8年前小丽的年龄：12÷（4-1）= 4（岁）②今年小丽的年龄：4+8=12（岁）

③哥哥今年的年龄：12+12= 24（岁）答：哥哥今年24岁，小丽今年12岁。

6.①爷爷是孙子年龄5倍时，孙子的年龄：（72-12）÷（5-1）=15（岁）

②几年后：15-12=3（年）③爷爷年龄是孙子的13倍时，孙子的年龄：（72-12）÷（13-1）= 5（岁）④几年前：12- 5= 7（年）

答：3年后，爷爷是孙子年龄的5倍；7年前，爷爷年龄是孙子的13倍.

第十一讲鸡兔同笼问题

例1（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

分析如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

解：①鸡有多少只？（4×6-128）÷（4-2）=（184-128）÷2=56÷2=28（只）

②免有多少只？46-28=18（只）答：鸡有28只，免有18只。

我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=（每只兔脚数×兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数当然，也可以先假设全是鸡。

例2鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？

假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。

解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。

答：鸡与兔分别有80只和20只。

例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？

分析1 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。

结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？

解法1：一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3=44（人）二班：44+5=49（人）

三班：49-7=42（人）答：三年级一班、二班、三班分别有44人、 49人和 42人。

分析2 假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？

解法2：（135+ 5+ 7）÷3=147÷3=49（人）49-5=44（人），49-7=42（人）

答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。

想一想：根据解法1、解法2的思路，还可以怎样假设？怎样求解？

例4刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？分析我们分步来考虑：

①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。

②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。

③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。

解：[6×10-(41+1）÷（6-4）= 18÷2=9（条）10-9=1（条）

答：有9条小船，1条大船。

例5有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？

分析这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.

解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？6×18=108（条）

②有蜘蛛多少只？（118-108）÷（8-6）=5（只）

③蜻蜒、蝉共有多少只？18-5=13（只）

④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）

⑤蜻蜒多少只？（20-13）÷ 2-1）= 7（只）答：蜻蜒有7只.

习题十一

1.小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张，问两种邮票各买多少张？

2.有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？

3.松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个.问这几天当中有几天有雨？

4.蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现有这三种动物共21只，共140条腿和 23对翅膀，问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？

5.体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？

6.鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？

习题十一解答

1.解：二元五角= 250分；1角=10分；2角=20分.

①假设都是10分邮票：10×17=170（分）②比实际少了多少钱？ 250-170=80（分）

③每张邮票相差钱数：20-10=10（分）④有二角邮票多少张？ 80÷10=8（张）

⑤有一角邮票多少张？17-8=9（张）答：二角的邮票有8张，一角的邮票有9张。

2.解：假设全是鸡，则可求得到兔子只数：（44-2×20）÷（4-2）=2（只）鸡的只数：20- 2=18（只）答：鸡有18只，免有2只。

3.解：①松鼠妈妈一共采了几天松子？112÷14= 8（天）

②假设8天全是睛天，一共应采松子20×8=160（个）

③比实际采的松子多多少？160- 112=48（个）

④晴天和雨天每天采的松子相差个数：20-12= 8（个）

⑤用晴天换雨天的天数：48÷8=6（天）答：这几天中有6天有雨。

4.解：蜘蛛数：（140- 6×21）÷（8-6）=14÷2=7（只）

蝴蝶和蝉共有只数：21-7=14（只）

蝉的只数：（2×14-23）÷（2-1）=5（只）

蝴蝶只数：14-5=9（只）

答：蜘蛛有7只，蝴蝶有9只，蝉有5只。

5.解：裤子：（24×21-439）÷（24-19）=13（件）上衣：21-13=8（件）

答：买来上衣8件，裤子13件。

6.设鸡与兔只数一样多：274-2×26=222（只）每一对鸡、兔共有足：2+4=6（只）

鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222÷6=37（对）则鸡有 37+26=63（只）

答：兔的只数为37，鸡的只数为63.

第十二讲盈亏问题

解盈亏问题，常常用到比较法。

例1三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？

分析比较两种搬砖法中各个量之间的关系：

每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5-4=1（块）。

第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9（块）

每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）。

共有砖：4×9＋7＝43（块）。

解：（7+2）÷（5-4）=9（人）4×9+7=43（块）或 5×9-2=43（块）

答：共有少先队员9人，砖的总数是43块。

如果把例1中的“少2块砖”改为“多1块砖”，你能计算出有多少少先队员，有多少块砖吗？

由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不同搬法产生的总差数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对这题来说就是搬砖的人数.

例2妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？

分析题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。

解：（48+8）÷（6-4）=56÷2=28（天）

6×28-8=160（个）或 4×28＋48=160（个）答：妈妈买回苹果160个，计划吃28天。

如果条件“每天吃4个，多出48个”不变，另一条件改为“每天吃6个，则还多出8个”，问苹果应该有多少个，计划吃多少天？

分析改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃2个条件没变，苹果总数由原来多出48个变为多出8个.那么所需苹果总数要相差：48-8=40（个）

解：（48-8）÷（6-4）=40÷2＝20（天）4×20＋48=128（个）或 6×20＋8=128（个）

答：有苹果128个，计划吃20天.

例3学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？

分析小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10=600（米）；如果每分钟走50米，可提早8

分钟到校，即到校后还可多走50×8=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50＝10（米），就可以多走600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间。

解：①10分种走多少米？60×10＝600（米）② 8分种走多少米？50×8＝400（米）

③需要多长时间？（600+400）÷（60-50）=20（分钟）

④由家到校的路程：60×（20-10）=600（米）或：50×（20-8）=600（米）

答：小明7点40分离家去上学刚好8时到校；小明的家离校有600米。

例4学校为新生分配宿舍.每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间.问宿舍有多少间？新生有多少人？

分析每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是5×3＝15（人）.由此可见，每一个房间增加5-3=2（人）.两次安排人数总共相差23+15＝38（人），因此，房间总数是：38÷2=19（间），学生总数是：3×19+23＝80（人），或者5×19-5×3=80（人）。

解：（23+5×3）÷（5-3）＝（23＋15）÷2＝38÷2＝19（间）

3×19+23=80（人）或 5×19-5×3＝80（人）。答：有19间宿舍，新生有80人。

例5少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？

分析这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6-4）×2＝4（棵）.因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？

解：[3+（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人）5×7+3＝38（棵）或6×7-4＝38（棵）

答：有7个少先队员，一共种38棵树。

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