2007年5月西城区高三二模理科数学

北京市西城区2007年抽样测试

高三数学试卷（理科）

2007.5

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟.

第 Ⅰ 卷（选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知集合≠A?{1，2，3}，且A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集

合A共有（ ）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．若p:lg(x?1)?0,q:|1?x|?2,则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知函数f(x)?1?logax(a?0,且a?1),f?1(x)是f(x)的反函数. 若f象过点（3，4），则a等于（ ） A．2 B．3 C．33 D．2

4．在正三棱锥P—ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断： ①AC?PB； ②AC//平面PDE； ③AB?平面PDE. 其中正确论断的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．若(x?1)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4,则a0?a2?a4的值为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6

6．已知a，b是不共线的向量，AB??a?b,AC?a??b(?,??R）那么A，B，C

三点共线的充要条件为（ ） A．????2 B．????1 C．??=－1 D．??=1

?1(x)的图

5x2y27．设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的半焦距为c，离心率为.若直线y?kx与

4ab双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（ ）

4399 A．? B．? C．? D．?

5202558．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、

E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有（ ） A．30种 B．27种 C．24种 D．21种

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.） 9．设甲、乙、丙三个加工厂共生产玩具6000件，其中甲厂生产了1440件. 现采

用分层抽样的方法从三个加工厂抽取一个容量为500件的样本进行质量检测，则应从甲加工厂抽取

件玩具.

a?i?b?2i,其中a,b?R，i是虚数单位，则a2?b2= . 10．若i12?2)= . 11．lim(2x?0x?xx?2x3?12．设x?R，函数y?k?sinx?sin(?x)的最小值是－2，则实数k= .

213．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD边长为1，高AA1=2，它的

八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是 ；A，B两点的球面距离为 . 14．按下列程序框图运算：

规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算.

若x=5，则运算进行 次才停止；若运算进行k (k?N*）次才停止，则

x的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.）

15．（本小题满分12分）

34已知?为第二象限的角，sin??,?为第三象限的角，tan??.

53???)的值. （I）求tan( （II）求cos(2???)的值.

16．（本小题满分12分）

设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验

方案中至少有一套试验成功的概率为0.51. 假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响. （I）求p的值；

（II）设试验成功的方案的个数为?，求?的分布列及数学期望E?.

17．（本小题满分14分）

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1. （I）求证：A1C//平面AB1D； （II）求二面角B—AB1—D的大小； （III）求点c到平面AB1D的距离.

18．（本小题满分14分）

设直线l:y?k(x?1)与椭圆x2?3y2?a2(a?0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.

3k2 （I）证明：a?； 21?3k2 （II）若AC?2CB,求?OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.

19．（本小题满分14分）

设a>0，函数f(x)?x?ax2?1?a．

（I）若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围； （II）求f(x)在区间(0,1]上的最大值．

20．（本小题满分14分）

设a1,a2,?,a20是首项为1，公比为2的等比数列. 对于满足0?k?19的整数

?a,k，数列b1,b2,?,b20由bn??n?k?an?k?20,（I）当k=1时，求M的值；

20?当1?n?20?k时,确定．记M??anbn． ?n?1?当20?k?n?20时,（II）求M的最小值及相应的k的值．

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．120 10．5 11．?1? 12．?3 13．1（2分），（3分） 2314．4（2分），k?1时,x?(82,??);k?2时,x?1?35?k,1?36?k（3分）

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）

（I）解：因为α为第二象限的角，sin??所以，cos???1?sin???2??3， 54，???????????????2分 5sin?3??. ????????????????????? 4分 cos?44又tan??，

3tan?????)?所以，tan(tan??tan?7?. ??????????? 6分

1?tan??tan?244， 3 （II）解：因为β为第三象限的角，tan??所以，sin???43,cos???. ????????????????8分 55247,cos2??1?2sin2??又sin2??2sin?cos???，???10分 25253所以，cos(2???)?cos2?cos??sin2?sin??. ??????12分

516．（本小题满分12分）

（I）解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，则至少有一套试验成功

的事件为A.

由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1－p.

所以，P(A)?(1?p)，

2

从而，P(A)?1?(1?p)2.

令1?(1?p)2?0.51,解得p?0.3. ???????????????6分 （II）解：ξ的可取值为0，1，2. ?????????????????7分

P(??0)?(1?0.3)2?0.49,

P(??1)?2?0.3?(1?0.3)?0.42,P(??2)?0.32?0.09. ????????????????????10分

所以ξ的分布列为

ξ P 0 0.49 1 0.42 2 0.09 ξ的数学期望E??0?P(??0)?1?P(??1)?2?P(??2)?0.6.??12分 17．（本小题满分14分）

解法一（I）证明：

连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE. ∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB， ∴四边形A1ABB1是正方形， ∴E是A1B的中点， 又D是BC的中点，

∴DE∥A1C. ?????????? 3分 ∵DE?平面AB1D，A1C?平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D. ????????4分

（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG.

∵平面A1ABB1⊥平面ABC， ∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影， ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1 ∴∠FGD是二面角B—AB1—D的平面角 ??????????7分 设A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

3. 4在△ABE中，FG?332?BE?， 48

在Rt△DFG中，tanFGD?DF6， ?FG36. ??????????9分 3所以，二面角B—AB1—D的大小为arctan （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B1BCC1，又AD?平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D. 在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，

则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离. ???????????12分 由△CDH∽△B1DB，得CH?BB1?CD5?.

B1D55. ??????????????14分 5即点C到平面AB1D的距离是解法二：

建立空间直角坐标系D—xyz，如图， （I）证明：

连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE. 设A1A = AB = 1， 则D(0,0,0),A1(0,31311,1),E(?,,),C(,0,0). 24422

13131?A1C?(,?,?1),DE?(?,,),

22442?A1C??2DE,?A1C//DE. ??????????3分 ?DE?平面AB1D,A1C?平面AB1D，

?A1C//平面AB1D. ??????????????4分

（II）解：?A(0,3131,0),B1(?,0,1)， ?AD?(0,,0),B1D?(,0,?1)， 2222设n1?(p,q,r)是平面AB1D的法向量，则n1?AD?0,且n1?B1D?0，

故?31q?0,p?r?0.取r?1,得n1?(2,0,1)； 22同理，可求得平面AB1B的法向量是n2?(3,?1,0). ????????7分 设二面角B—AB1—D的大小为θ，?cos??n1?n215， ?|n1||n2|5∴二面角B—AB1—D的大小为arccos15. ??????????9分 5 （III）解由（II）得平面AB1D的法向量为n1?(2,0,1)，

取其单位法向量n?(25,0,11),又DC?(,0,0).

25∴点C到平面AB1D的距离d?|DC?n|?18．（本小题满分14分）

5. ????????14分 51y?1. k （I）解：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故y?k(x?1)可化为x?将x?1y?1代入x2?3y2?a2,消去x，得 k12(2?3)y2?y?1?a2?0. ① ?????????? 3分

kk由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得

??2412?4(?3)(1?a)?0,22kk整理得(12?3)a?3， 2k3k2. ???????????????????? 5分 即a?21?3k （II）解：设A(x1,y1),B(x2,y2).由①，得y1?y2?2k

1?3k2?2k. ?????8分 因为AC?2CB,得y1??2y2，代入上式，得y2?21?3k13于是，△OAB的面积 S?|OC|?|y1?y2|?|y2|

22 ?3|k|3|k|3??. ??????11分 221?3k23|k|其中，上式取等号的条件是3k?1,即k??23. ????????12分 3由y2??2k3,可得y??. 231?3k233332这两组值分别代入①，均可解出a?5. ,y2??及k??,y2?3333将k?所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x2?3y2?5. ??????14分 19．（本小题满分14分）

（I）解：对函数f(x)求导数,得f?(x)?1?axx?12. ????????? 2分

要使f(x)在区间?0,1?上是增函数，只要f?(x)?1?axx?12?0在?0,1?上恒成立，

即a?x2?11?1?2在?0,1?上恒成立 ??????????????4分 xx11??上单调递减，所以在0,11?在?0,1?上的最小值是2， 22xx因为1?注意到a > 0，所以a的取值范围是0,2. ??????????????6分 （II）解：①当0?a????0,1?上是增函数， 2时，由（I）知，f(x)在区间?0,1?上的最大值是f(1)?1?(1?2)a. ????????8分 此时f(x)在区间②当a?2时,令f?(x)?1?1a?11a?122axx?12?0，

解得x??(0,1). ????????????????????10分

1a?12因为0?x?时,f?(x)?0;?x?1时,f?(x)?0，

所以f(x)在(0,1a?12)上单调递增,在(11a?12,1)上单调递减，

此时f(x)在区间?0,1?上的最大值是f(a2?1)?a?a2?1.???? 13分

综上，当0?a?当a??0,1?上的最大值是1?(1?2)a； 2时，f(x)在区间?0,1?上的最大值是a?a2?1. ?????14分 2时，f(x)在区间20．（本小题满分14分）

（I）解：显然an?2n?1,其中1?n?20. ??????????????1分

当k?1时,bn??20?an?1,当1?n?19时,?a1,nnn?20时.19 ??????????????3分

1919所以，M??ab??aann?1n?1n?1?a20a1??2n?1n?1?2?2??22n?1?219

n19n?12[(22)19?1]239?21919?2??2. ??????????6分 ?322?1 （II）解：

M??anbn?n?12020?kn?1?aann?k?a20a1?n?21?k?2020?kanan?k?20??2n?1n?1?2n?k?1?n?21?k?220n?1?2n?k?21

20?k ??2n?1k2n?k?2?n?21?k?2202n?k?22??????????????????9分

k420?k?11120?k4?1?2??(240?k?2k)?(220?k?220?k) ?2?4?14?133220?1?k220?220?1231?21120? ?2?k???22?. ??????12分 ?3?332??220231?211. 当2?k,即k?10时,M?32k231?211,此时k?10. ????????????14分 所以，M的最小值为

3

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